如何在小学数学教学中培养学生的图形与位置想象力与位置关系?

1.能想象物体的方位和相互之间的位置关系是学生认识客观世界的重要途径

方位与现实生活是密切相关的，它能帮助人们更好地认识客观世界。走进校园，想要了解教室的北面有什么、操场在教学楼的哪一面，房间的东面和西面各有什么；如果在野外迷了路，需要辨认方向，沟通路线；玩耍时，需要和同伴们分享各种运动变化；开车时，需要选择路线。要回答这些问题，需要对方位的感知、需要把握物体之间的相互位置关系。这些因素都是空间观念的重要表现。这些生活中经常出现的情况时时刻刻提醒着我们，想象出物体的方位和相互之间的位置关系对我们认识和理解自己的生存空间有着重要的意义。

此外，想象物体的方位和相互之间的位置关系，对于今后学习立体几何和解析几何也有很大的帮助。

2.建立物体的方位和相互之间的位置关系的想象是发展空间观念的难点之一

位置与方向在日常生活中有着广泛的应用。不少学生在学习《位置与方向》这部分内容前，就对相关位置有了一定的了解。如“上北下南左西右东”这句话，学生们非常熟悉。但是许多学生对于方向的认知还停留在这种相对固定的认识水平。我们对学生进行过一组测试，具体情况如下。

测试对象：三年级学生65名

测试基础：学生已完成第一单元《位置与方向（一）》的学习

测试题目：

第1题

第2题

测试结果：

从测试结果中我们不难看出，当图片与“上北下南左西右东”的规定保持一致时，学生能够正确判断物体的位置。但当图片中的方向与“上北下南左西右东”的规定不一致时，许多学生就出现了无法正确判断位置关系的情况。这就反映出学生在理解位置关系的时候，更多地停留于记忆知识的阶段，不具备借助相互位置关系灵活确定方向的空间想象力。

再如学生学习用各种方法表示位置的时候，他们能准确表示出图中有明确标记的位置，但是对图中延展部分的位置，往往无法正确表示，这与学生无法想象可视范围外的物体位置有着密切的关系。以上种种现象，都说明了建立物体的方位和相互之间的位置关系的想象对于学生而言是一件困难的事情。

3.教师对“位置与方向”部分的教学任务认识停留于知识层面，未关注能力培养

日常交流中，我们常常听到老师们反映“位置与方向”这部分内容比较简单，学生学起来不难。可是仔细想想，这部分内容真的简单吗？老师们口中说的“简单”“学起来不难”背后映射的是什么呢？我想所谓的“简单”，更多指的是知识形成的过程。

我们在教学中经常会看到这样的情况，在认识方向时，教师提供的学习资源都是以“上北下南左西右东”为标准的位置图。学生在这种单一的标准下进行训练，反复强化记忆的都是“上北下南左西右东”这个知识，老师没有涉及对物体在空间中的相对位置关系进行想象的活动，孩子的经验和概念里上面永远是北，只要背口诀就能知道方向了。可是这样的标准并不是唯一的，学习中、生活中会有各种各样的变化，如果在教学中教师不提供丰富的训练，引导学生想象出物体的方位和相互之间的位置关系，发展空间想象力又将从何说起呢？

基于以上思考，将如何在“图形与位置”教学中引导学生想象出物体的方位和相互之间的位置关系作为一个教学关键问题。

案例ZG-2-1：《建立联系　发展想象》（《东南西北》，三年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在‘图形与位置’教学中引导学生想象出物体的方位和相互之间的位置关系”。

教学内容分析

数学课程标准表明空间观念源于对周遭环境的进一步感受和认知，生活中不可避免地要接触到周围各式各样的物体，对于其形状、大小及其方位都有一定的感知。人教版教材将“图形与位置”安排在“图形与几何”领域教学，因为这一内容是发展学生空间观念很好的载体。空间观念是物体的大小、形状和相对位置关系在人脑中的表象，不谈方向和位置，空间观念是很难建立的。重视这些内容对学生兴趣、自信心、想象力、表述能力的发展都很有帮助。

人教版小学数学教材中，《位置与方向（一）》教学内容包括四个例题。例1认识东、南、西、北四个方向，学习用给定的一个方向辨认其余的三个方向，使学生形成辨认方向的技能，而且初步建立了空间观念；例2学习看懂简单的平面图，学会辨认平面图上的东、西、南、北方位和他们掌握空间方位知觉是有联系的；例3认识东北、东南、西北、西南四个方向；例4综合运用方位知识解决问题。

学情分析

围绕教学关键问题，针对教学任务对学生进行调研。

前测题1：地图通常是按上（　）、下（　）、左（　）、右（　）绘制的。

前测题2：

（1）书店在学校的（　）面，邮局在学校的（　）面，超市在学校的（　）面，小明家在学校的（　）面。

（2）小明家的（　）方向有超市，（　）方向有书店，邮局的（　）方向是超市，邮局的（　）方向是书店。

调研结果：

前测题1：

前测题2：

从调研结果可知，三年级的学生以具体形象思维为主，抽象逻辑思维在很大程度上仍然直接与感性经验相联系，具有很大成分的具体形象性。因此，空间想象能力和识别能力较差，但学生在日常生活中对东、南、西、北等方向的知识已经积累了一些感性经验。学生在学习中遇到的思维障碍主要有两个方面：一是分不清实际的四个主方向以及它们之间的关系；二是很难将实际方向与平面图上的方向对应与联系起来。基于此，我们将教学关键问题解构为下面两个小问题：

（1）设计怎样的活动，发展学生想象八个方向间的相互位置关系的能力？

（2）建立怎样的联系，帮助学生更好地进行物体方位之间相互位置关系的想象？

教学目标

在游戏活动中，体验四个方向相互位置关系。借助相对的位置关系，想象东、南、西、北四个方向的相对位置，发展学生的空间观念和推理能力。

基本设计思路

借助游戏活动，让学生借助相对的关系和顺（逆）时针的顺序建立起东、南、西、北四个方向间的相互位置关系。通过变换学生面对的方向，激发学生想象方向间的相互位置关系，发展空间观念。

片段回放

片段一：建立相对关系，助力想象

师：我们想想太阳每天从哪边升起？

生：早晨，太阳在东方。

师：（教师走到东边）请大家一起面朝东坐。这边是东，那么哪边是西？你是怎么知道的？

生：背对的方向是西。

师：我们面向东，背对的方向是西。那如果面向西呢，背对哪个方向？

生：背对的是东。

师：你们想想东和西有什么位置关系？

生：东的对面是西，西的对面是东。

师：那么东与西相对。（引导学生用手指一指，边指边说）

师：你们真厉害，这就是数学上的相对性，方向具有相对性。还有像这样的相对方向吗？

生：南和北。

师：指一指，哪儿是南？哪儿是北？同样一个方向，怎么有的同学跟大家指的不一样？到底哪儿是南，哪儿是北呢？我们一起来看一看。（课件出示方位图）

师：请大家闭上眼睛，想象一下。早上起床，面向太阳，那我们的前面就是？后面是？左面是？右面是？

学生随着教师的提示语展开想象，积累经验。

片段二：建立相邻关系，助力想象

师：回答得真好，现在咱们来玩个“转身说方向”的游戏，听老师口令，全体起立，此时你们面对的方向是东，向右转，这时面对的方向是——

生：南。

师：再向右转呢？

生：西。

师：再向右转呢？

生：北。

师：像刚才这样的旋转方向我们也可以说成是按照顺时针方向旋转。想一想，在刚才的活动中你们从哪个方向开始顺时针旋转，依次面对了哪些方向呢？

生：我们是从东开始顺时针旋转，依次是东、南、西、北这四个方向。

师：闭上眼睛想一想，刚才我们依次面对了哪四个方向。自己想一想，指一指，说一说。

师：顺时针旋转大家能辨认方向了，如果像这样逆时针旋转，你们还能想象出四个方向在什么位置吗？先闭眼想一想，一会儿和大家交流。

片段三：运用关系，助力想象

师：通过刚才的学习，同学们面向东能知道其他三个方向，如果告诉你们任意一个方向，还能知道其他三个方向吗？现在我们来玩“蒙眼辨方向”的小游戏，看一看大家掌握得怎么样。

出示游戏规则：一个同学上台，请先戴上眼罩，再原地顺时针、逆时针转几圈，下边的同学告诉你面向的是什么方向，请你说出其他三个方向。

学生活动。

师：同学们掌握得真好，不管我们怎么转动身体，东、南、西、北的位置是不会变的。

深度思考

本案例的核心任务是培养学生想象出物体的方位和相互之间的位置关系，本案例设计了三个活动，来发展学生的空间观念。

片段一的教学中，教师帮助学生借助“东与西相对，南与北相对”这两组相对的位置关系，帮助学生建立空间观念。初步建立后，教师还留给学生闭眼想象的时间，帮助学生在头脑中积累想象出物体的方位和相互之间的位置关系的经验。

片段二的教学中，通过“转身说方向”的游戏，帮助学生从“顺时针”的角度建立起相邻方向间的位置关系。然后老师让学生闭眼，想象“逆时针”旋转所面对的方向。正向建立关系，逆向想象方向的设计，帮助学生发展了空间想象力。

片段三的教学中，教师设计了“蒙眼辨方向”的游戏，打破学生从找“北”开始辨认方向的习惯，通过“转身”的方式，不断调整学生面对的方向，让学生想象并判断各方向之间的相互位置关系，起到了帮助学生发展空间想象力的作用。

深入分析本案例，在解决教学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）现实空间做游戏，促进想象。

“游戏激趣”是教学中常用的方法。在“图形与位置”的教学中，“转身说方向”“蒙眼辨方向”等游戏的使用能够帮助学生发展想象八个方向间的相互位置关系的能力。学生在现实空间中，不断感受方向间的位置关系，理解东、南、西、北这四个方向不会因观察者位置的变化而变化，为进一步想象物体的方位和物体相互之间的位置关系，发展空间想象力奠定了重要基础。

（2）“成对”建立联系，促进想象。

“成对”建立联系的方式能够帮助学生更好地进行物体方位之间相互位置关系的想象。教学中，教师可以引导学生借助位置间相对、相邻等“成对”的关系，帮助学生建立联系，促进学生展开想象。“转身说方向”的游戏，可以引导学生在任意标准下，借助“相邻”的位置关系想象方位间相互位置关系。“成对”的位置关系为学生展开想象提供了“脚手架”，对助力学生空间想象力的发展起到了重要的作用。

（案例撰写人：北京明远教育书院实验小学　蔡方圆　陶文迪）

案例ZG-2-2：《时有时无　助力想象》（《数对表示位置》，五年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在‘图形与位置’教学中引导学生想象出物体的方位和相互之间的位置关系”。

教学内容分析

《义务教育数学新课程标准（2011年版）》中指出：“空间观念主要是指根据实物的具体特点和特征想象出相应的几何图形，由几何图形联想出其描绘的实际物体；能够用适当的方式描绘出物体之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。”图形与位置这部分知识的主要内容是使学生了解刻画物体或图形位置的方式，尝试运用不同的方式确定物体的位置。通过教学不仅有助于学生从不同角度丰富对图形及其相互关系的认识，发展空间观念，而且能为他们以后进一步学习平面直角坐标系、平面极坐标系等知识积累初步经验，提供必要支持。

人教版小学数学教材中，“图形与位置”的教学内容分为两个层次。第一层次：一维空间刻画位置的方法。学生在一年级的学习中就获得了用左右、前后、上下来刻画位置的经验。第二层次：二维空间刻画位置的方法。首先学生积累了用东、南、西、北刻画位置的经验。而后又正式学习用数学表达点的位置。教材中主要涉及了两种确定位置的方法，分别是“某行某列”和“方向和距离”。这两个内容实际上是为今后继续学习平面直角坐标系和极坐标系奠定了基础，它们都是平面上确定位置的方法。

学情分析

调研题目：

明明喜获一张藏宝图，宝物的地点就是图中点的位置，你能告诉明明藏宝地点在图中的位置吗？

调研结果：

有策略：36人　约占97.3%；

没策略：1人　约占2.7%。

有策略学生作品如下：

（1）利用区间套确定位置的方法。

（2）利用点和边线的距离确定位置的方法。

（3）利用网格图确定交叉点来确定位置的方法。

（4）利用方向和距离确定位置的方法。

调研分析

从调研结果可知，学生确定位置依托于生活经验和一、二年级已有的知识，缺乏对确定位置本质的理解，学生头脑中并没有方向和数据两个确定位置的要素。所以才会出现有的同学确定位置的条件重叠，有的同学确定位置的条件不够等现象。基于此，我们将教学关键问题解构为下面两个小问题：

（1）如何引导学生借助数对准确地想象物体相互之间的位置关系？

（2）如何借助数对外化学生对物体相互之间的位置关系的想象？

教学目标

在现实情境中，通过想象给方格外一点确定位置的活动中，体会确定位置的要素，发展学生的空间想象能力。

基本设计思路

借助给报亭、古塔定位的活动，让学生经历从“有格”到“无格”的过程，产生想象需求，确定相对位置。借助给三角形各点确定位置的活动，让学生经历从“无标准”到“有标准”的过程，借助想象找寻确定位置的要素，发展空间想象力。

片段回放

片段一：由“有格”到“无格”，助力学生想象

师：瞧，把公园里的各个景点画在方格图上，也可以用数对表示它们的位置了。想不想试试？

师：看来，用数对确定位置时，哪个数在前、哪个数在后还真的很重要。这儿还有一个超市，它用数对表示是（3，1）。你能在平面图形中找到它的位置吗？

生：在第3列第1行。

师：观察一下平面图，怎么啦？

生：都出格了。

师：想象一下，这个点会在哪儿呢？

先让学生独立思考，再指名回答。

师：还能用数对表示它们的位置吗？

生：我是估计的。我发现古塔大约在第7列第2行，所以古塔的数对应该是（7，2），报亭大约在第8列第4行，所以报亭的数对应该是（8，4）。

师：有没有什么办法能确认一下这两个数对呢？

生：很简单，只要把格子再往外画一些就行了。

师：那游乐场呢？

生1：游乐场不行，因为它在下面，下面已经没数了。

生2：不对，游乐场也行，可以用负数。

生3：是的，游乐场可以用（2，-1）来表示。

师：能具体说说你的想法吗？

生：因为它在第2列，可它在第0行的下一行，应该算负一行，所以可以用（2，-1）来表示。

师：想一想，如果再往下一些，或者干脆到了左边，我们还能用数对来表示这些点的位置吗？

生：能！

片段二：从“无标准”到“有标准”，激发学生想象

师：下面，我就不给你行数和列数。但我相信，只要善于思考，你也一定能根据前面的规则找出相应的数对。

（师出示下图，生思考）

生：我觉得B点的数对应该是（7，4）。

师：奇怪，不是没行数和列数了吗？你又是怎么判断的？

生：A点的数对是（3，4），说明A在第3列，照这样数下去，B就在第7列。而B点和A点在同一行，所以行数应该相同，都是4，所以B点的数对是（7，4）。

师：真了不起，借助点与点之间的位置关系，再根据数对进行推理，同样可以找到B点的数对。用类似的方法，你能找到C点的数对吗？

生：能！是（6，7）。既然A点在第3列第4行，照这样数一数，我们便发现，C点在第6列第7行，所以可以用数对（6，7）来表示。

师：现在看来，没有行数和列数，我们能找出相应的数对吗？

生：能！

生：其实，这道题中的行数和列数还是告诉我们了。只不过没有直接告诉我们而已。因为，根据A点的数对，我们便可以判断行数和列数了。所以我觉得，要找到相应的数对，还是需要行数和列数的。

师：果然厉害！一下子就发现了问题的关键。

深度思考

本案例的核心任务是培养学生想象出物体的方位和相互之间的位置关系，它被解构为两个关键小问题，教师在教学中设计了一下教学环节。

片段一的教学中，教师先让学生用数对表示方格内的位置，帮助学生巩固知识。然后教师将位置点由方格内延伸到方格外，给报亭、古塔定位。由于失去了方格做参照，学生需要经历从“有格”到“无格”的过程，在头脑中想象方格延展的过程和结果，并据此确定方格外某点的位置。这样的活动激发了学生的想象需求，助力空间想象力的发展。

片段二的教学中，教师设计了给三角形各点定位置的活动。教师在一个没有给出坐标原点的方格纸上，为学生提供了三角形三个顶点中的一个点所在的位置，让学生确定其他点的位置。由于题目中没有给出坐标原点，学生需要自己想象出整个方格纸的样子，找到坐标原点，并据此进行推理，确定其他几个点所在的位置。学生确定各点位置的过程，就是将想象的过程外化的过程。这种从“无标准”到“有标准”的过程，能外化学生空间想象结果。

深入分析本案例，在解决教学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）从“有”到“无”，激发学生想象。

教师在教学中，借助从“有”到“无”的策略，激发学生进行想象。这就迫使学生需要进行想象，借助方格内与方格外不同位置的点之间关系的想象，确定方格外的点所在的位置。方格从“有”到“无”的变化，为发展学生的空间想象能力提供了可能。

（2）从“无”到“有”，外化学生想象。

发展想象能力的过程是隐性的，但是发展想象力的结果是可以外化体现出来的。教师巧妙运用从“无”到“有”的策略，引导学生外化想象过程，将头脑中想象的结果外化出来。这样的外化有助于暴露学生空间想象力的水平，为教师提供了宝贵的了解学生想象路径的资料。想象过程的外化能够更好地引导和帮助学生发展空间想象力。

（案例撰写人：北京明远教育书院实验小学　蔡方圆　陶文迪）