小学数学教学：培养学生物体与几何图形转化能力的关键研究

1.培养学生将物体与几何图形进行相互转化的能力是发展空间想象力的重要内容之一

心理学研究在考察儿童的空间思维时，大多采用视觉透视获得、心理折叠等方式。视觉透视获得是一种从不同角度预期视图几何形状的能力。经典性的研究是“三山实验”：由明显不同标志的三座山组成一个微型风景，要求被试者预测并描述从不同的观测点看到的风景。心理折叠是空间表征的重要方面，它要求儿童在头脑中将二维的空间图形通过表象操作，转化成三维的空间图形。因此，三维图形和二维图形的相互转换是小学生空间观念的一个重要体现。

把握实物与相应的平面图形、几何体与其展开图和三视图之间的相互转换关系，不仅是一个思考的过程，也是一个实际操作的过程。无论是做立体模型还是画出图形，都要在头脑加工和组合的基础上，通过实际尝试和动手操作来实现。这种重现能使几何基于直观的表象、联想和特征得到实实在在的表示，使空间观念从感知不断发展上升为一种可以把握的能力。几何体及其侧面展开图是实现三维图形和二维图形转换的一个非常有效的方式。

2.将物体与几何图形进行相互转化的能力是发展空间观念的难点之一

国内外许多专家都做过关于学生空间思维水平的研究。其中以范·希尔夫妇提出的几何思维水平的分析最为著名。他们将思维水平分为1—5五个水平。从层次分析看来，小学阶段的学生，思维水平基本处于从水平1向水平3发展的过程。换个角度思考，学生达到水平3的层次，能够对图形形成抽象定义，并进行初步论证，就能说明学生具备将物体与几何图形进行相互转化的能力了吗？恐怕不然。在对即将毕业的六年级学生进行测试的过程中，我们发现了这样的现象。

前测题目：想象一下，一个正方体的物体棱长为6厘米，它可能是我们生活中的什么物体？

前测结果：

六年级的学生在已经完成了长方体、正方体认识的学习后，完成这样一道考查其根据几何图形想象出实际物体的题目，只有不到一半的学生能够正确解答，仍然有44.6%的学生对这个物体是什么没有想法。可见五年级学生对《长方体和正方体的认识》一课的学习效果。

再如一年级学生初次学习立方体的时候，由于学生生活经验丰富，许多老师认为学生已经知道长方体、正方体、圆柱、球长什么模样了，可是让学生说一说这些立体图形的样子，学生一般也只能借身边事物说出这些立体图形的样子，脱离具体事物表达就比较困难。我们在反思，学生明确立体图形的特征，能正确解题，甚至能进行推导与论证，就表示他们已经具备将物体与几何图形进行相互转化的能力了吗？显然答案是否定的。现阶段我们的课堂教学带给学生更多的是知识与技能，缺少想象图形形状的活动设计，使得学生出现空间想象力不足的情况。

3.教师重视物体与几何图形转换的结果，忽视想象过程

在上面分析学生问题的时候，各种数据及现象的成因已逐步指向课堂。学生对于物体与几何图形进行相互转化的能力弱的根源在于学生认识图形的过程中缺少想象活动。之所以出现这样的现象主要是由于教师对“图形的认识”这部分教学所承载的核心任务不明确造成的。老师们还沉浸在以传授知识和技能、渗透一些数学思想方法为主要教学任务的阶段。如五年级下册《长方体和正方体的展开图》教学过程中，教师让学生展示各种展开图后，便引导学生分类、归纳，提炼出以下模型。

“一四一型”“二三一型”“二二二型”“三三型”这些类别的提炼和总结确实有助于学生快速辨认正方体的展开图，但这并不是我们教学要追寻的终极目标。教师重视物体与几何图形转换结果的训练，但却忽视学生想象物体与几何图形相互转化过程中所需的空间想象力的培养。重结果、轻过程的教学过程偏离了我们教学的核心目标，尚未实现以发展学生核心素养、高阶思维能力为核心的课堂教学目标。

基于以上思考，将如何在“图形的认识”教学中培养学生将物体与几何图形之间进行相互转化的能力作为一个教学关键问题。

范·希尔夫妇提出的几何思维水平

水平1：直观。学生能按照外观来识别和操作形状与另外一些几何图形。他们能在心理上把这些图形表示为直观图像。例如，学生说所给的图形是矩形，是因为它“看起来像门”。然而，他们不关心几何性质或所表示图形种类的特征化。也就是说，尽管图形的性质决定图形，而这个水平的学生却未意识到图形的性质。

水平2：描述/分析。到了第二个水平，学生通过图形的性质来识别图形并能确定图形的特征。例如，一个学生可能认为菱形是四条边相等的图形，因此，术语“菱形”指的是“他已经学过的所谓‘菱形’性质”的一个集合。通过观察、测量、画图和建模等手段，经验地建立了性质。

水平3：抽象/关联。在这一水平上学生能形成抽象的定义，区分要领的必要条件和充分条件，能理解几何领域的逻辑论证，有时甚至能提出这样的论证。他们能分层次地将图形分类（通过排出图形性质的顺序），并给出判别它们类别的非形式化论证。例如，一个正方形被识别为菱形，因为可以将它考虑为一个“具有某些外部性质的菱形”，利用非形式化的推导，他们能发现图形分类的性质。例如，由于任何四边形可被重组成两个三角形，而每一个三角形的内角和是180度。他们推导任何四边形的内角和一定是360度，随着学生发现不同开头的性质，他们觉得有组织这些性质的需要。思想的这种逻辑组织是正确推理的首要表现形式。

水平4：形式推理。在这一水平上学生在公理化系统中建立定理。他们识别未定义术语、定义、公理和定理之间的差异。他们能构造原始的证明，也就是说，他们可以作出系列陈述，对作为“已知条件”逻辑结论的某个命题进行证明。

水平5：严密性/元数学。学生能在数学系统中进行形式推理。即便没有参照模型，他们也能研究几何，而且能通过形式化的操作如公理、定义、定理等几何陈述进行推理。推理的对象是形式化构造间的关系。他们推理的产物是几何公理系统的建立，及其详尽阐述与比较。

案例ZG-1-1：《调用感官和经验　发展空间观念》（《认识图形（一）》，一年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在‘图形的认识’教学中培养学生将物体与几何图形进行相互转化的能力”。

教学内容分析

人教版小学数学一年级上册第六单元《认识图形（一）》的内容设计，属于空间与几何的内容领域，重点引导学生认识立体图形。本课的主要任务是让学生认识长方体、正方体、圆柱体和球体这些立体图形，在具体情境中辨认出这些图形的基础上能根据需要重现物体或图形的形象和特征，并能将头脑中的表象进行加工和重新组合，逐步促进空间想象力的发展，对本课而言，空间观念的培养主要是从转化的角度来看的，学生需要从生活中的实物中抽象出几何图形，进行物体与几何图形的转化。

学情分析

儿童空间观念的形成大致要经历从具体（实物直观）、一般具体（模像直观）、一般抽象（图像抽象——用图呈现的标准图形）、抽象（概念抽象——在大脑中建立对象的本质属性）的过程。儿童对直观的依赖性较强，因此，需要给学生提供大量的可操作性强的实物，从具体实物中抽象出立体图形，初步获得对这些立体图形的表象。由实物抽象出立体图形的过程，对刚开始学习的儿童来说，是有一定难度的。

学生在日常生活中有对物体形状的感性认识，如“平平的桌面、圆圆的球……”对于物体的形状也有一定的认识，如“长方形的、正方形的、球形的……”但是，这些均属于感性认识，主要从视觉和触觉的角度去认识图形，没有从理性的角度认识理解“形状”的概念内涵。学生头脑中是否留下图形的“样子”、留下怎样的“样子”我们不得而知。所以教学过程中，我们要在学生现有认知水平基础上，充分引导他们进行想象，培养学生的想象能力，让各种图形的“样子”深深印在学生头脑中。

综合以上问题的分析，我们可以把教学关键问题解构为下面两个小问题：

1.第一次学习立体图形时，如何引导学生想象从实物中抽象出立体图形的过程？

2.设计怎样的学习活动，促进学生想象物体和几何图形的相互转化的过程？

教学目标

在分类活动中，直观认识长方体、正方体、圆柱体和球体等立体图形，形成图形表象。在“猜一猜”的活动中，引导学生想象几何图形的样子，发展空间想象力。

基本设计思路

首先调用学生已有经验，通过分类的活动从实物中逐步抽象出立体图形，感悟图形特征，初步形成表象。然后通过游戏活动调用学生各种感官，助力学生在头脑中形成图形表象，逐步完成物体和几何图形的相互转化。

片段回放

片段一：通过分类逐步从实物中抽象出立体图形

师：老师给大家带来了一些物品，我们一起来看一看。（课件逐个出示物品图）你认识这些物体吗？

生逐个说出物品名称。

师：你能把这些物体分分类吗？说一说你是怎样想的。

生对物体进行分类，说出分类的理由。教师在学生分类的基础上，通过电脑动画，渐渐隐去物体的颜色、图案等特征，只保留几何体，并介绍名称。

师：你在生活中还见过哪些物体是这些形状的呢？能举个例子吗？

……

片段二：借助听觉促进物体和几何图形相互转化

在分类认识完立体图形后，老师通过有趣的游戏活动，促进物体和几何图形相互转化。

师：我们一起来听猫耳讲个“立体图形赛跑”的故事吧。请大家闭上眼想象一下。比赛开始了，只听裁判员一声令下“预备，跑！”跑在最前面的是两个会滚动的选手，它们是谁呢？请你举出手中的图形卡。

生纷纷举出圆柱体和球体的图片。

师：大家都举起的是圆柱体和球体的图片，你们是怎么想的啊？

生：长方体和正方体都是平平的，滚不动。圆柱体和球体都是弯弯的，只有它们俩能滚。

师：你们可真棒，通过声音就能想象出物体的样子，还能正确举出图片。太厉害了！我们继续猜，请大家捂上眼睛。比赛进入冲刺阶段，全方位无死角滚动的选手获得了冠军！请举起冠军的相片。

生举起了球体的图片。

师：这次你们又是怎么判断的呀？

生：圆柱体两头是平的，不能随便转。球体没有限制，怎么转都行。

师：他观察得多仔细啊！能把球体和圆柱体区分开。

片段三：借助触觉促进物体和几何图形相互转化

师：我们继续来猜。盒子里有这四种形状的积木。老师从里面摸一块，告诉大家它的样子。看谁能快速猜出它是什么图形。我先来摸第一块。这块积木有平平的面，有的面大，有的面小。你猜出是什么图形了吗？快举起它的图片。

生举起长方体图片。

师：你们怎么猜到是长方体的啊？

生：因为长方体有的面大，有的面小。正方体每个面都一样。

老师展示手中摸出的长方体，让学生进行确认。

师：你们能根据老师的提示想象，可真厉害。

深度思考

学生初次认识立体图形，学习内容较为简单，仅停留在初步认识的阶段。如何抓住第一学习的良好契机，引导学生从物体中抽象出立体图形呢？

片段一的教学中，考虑到学生年龄特点，教师借助多媒体课件，通过渐变消失的动画方式，帮助学生经历了从现实物体中抽象出几何模型的过程，感受到图形与现实世界的密切联系。认识图形后，教师再次引导学生回到生活中去，找寻相关物体。物体与立体图形之间“一来一去”的转化，帮助学生经历抽象过程，发展学生空间想象力。

片段二的教学中，教师设计了“猜一猜”的活动。老师描述立体图形运动时发出的声音，然后引导学生借助听觉，调用头脑中立体图形的表象，结合图形特征进行想象和猜测，为学生提供了想象的空间。

片段三的教学中，教师又一次组织学生“猜一猜”。与片段二不同的是，此次活动要求学生根据老师的语言描述，在头脑中想象立体图形的样子，结合图形表象进行猜测和判断。

深入分析本案例，在解决教学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）调用已有经验，挖掘生活素材。

根据罗杰斯的有意义学习理论，有意义地学习不仅能增长知识，还与个体的经验紧密地融合在一起。教师重视将现实生活中的有关空间与图形的问题作为学习的素材，使数学问题贴近学生现实生活，学生能从生活中的物体中，借助想象，抽象出立体图形。这为初次认识立体图形的学生做了非常好的铺垫，也满足了不同层次学生的学习需要。

（2）调用多种感官，感悟相互转化。

教学中，教师充分调用学生的视觉、触觉、听觉等多种感官进行活动。多种感官的刺激，从不同角度帮助学生强化了头脑中立体图形的表象，加强了对图形特征的认识。各种感官与立体图形的碰撞，让学生的想象更加“生动”，学习更加深入。

（案例撰写人：北京明远教育书院实验小学　王军　陶文迪）

案例ZG-1-2：《插上想象的翅膀　在空间中翱翔》（《长方体和正方体的展开图》，五年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在‘图形的认识’教学中培养学生将物体与几何图形进行相互转化的能力”。

教学内容分析

我们生活在“空间”的世界，对空间的认知需要空间观念作保障。一方面，建立好空间观念可以帮助人们更好地了解、探索和利用我们生活的空间；另一方面，空间观念是创新精神的基本要素，对培养人的创新精神和实践能力起着至关重要的作用。

到底什么是空间观念呢？《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出空间观念主要表现在以下四个方面：“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动变化；依据语言的描述画出图形；等等。”从这四个方面我们不难看出：想象是空间观念建立的核心表现。从现实世界中抽象出几何图形，围绕几何图形的大小、形状以及面、棱、顶点这些组成元素位置关系展开想象，有助于实物在人的头脑中形成表象、建立起空间观念。

在人教版教材小学数学五年级下册《展开图内容》包含长方体和正方体两种，被编排在“长方体和正方体的表面积”的起始位置（见下图）。

这样的编排目的很明确，就是为表面积的测量做准备，因此教材对这一内容的编排很简洁，突出了展开的结果却弱化了展开的过程。从教材中学生学习素材的编排上看由二维向三维建构的素材比较丰富，而真正由三维向二维解构的素材较少，需要进一步丰富。从关联教材中正方体展开图前后的编排内容来看，它的教学价值远远不只单纯为表面积测量做准备，更重要的是它对丰富学生的空间观念增强空间想象力有着重要的意义和价值。因此本案例并没有将正方体展开图与长方体展开图合并设计，而将其独立设计为一课时教学，深入挖掘正方体展开图价值，为学生提供充分的想象与操作的空间。

学情分析

围绕教学关键问题，针对教学任务对30名学生进行调研。调研题目如下：

下图是一个正方体纸盒，如果将这个正方体纸盒展开铺平，请你根据a面的位置在图上标出b面可能在的位置。

调研结果如下图：

调研分析：这说明学生基于对长方体、正方体的认识以及长方体展开图的学习，在由三维向二维转化过程中根据正方体一个面想象它相对的面的位置并不十分困难。

但是在这87%的位置确定正确的学生里面，仅有38%的学生能想到b面可能在的多个位置。这说明学生基于前面的学习具备了一定的空间观念，能够完成连续、多个面图形变化的空间想象，但是仍然缺乏对空间的多角度想象能力。

如果按照范·希尔夫妇的几何认知发展水平来划分，大部分学生处在从视觉期向分析期过渡的阶段，只有少部分学生能够达到分析期的水平。这说明学生的几何思维水平发展符合范·希尔夫妇理论不连续性的特点，从一个思维水平到另一个思维水平的过渡是跳跃的也是极为不易的。所以在教学中，还要丰富学生的体验，让学生通过自身的动手、操作、实践不断获得数学活动的体验，从而帮助他们尽快地实现几何思维水平的过渡。

基于此，我们将教学关键问题解构为下面两个小问题：

（1）如何借助长方体和正方体展开图的教学，引导学生进行三维与二维空间相互转化的想象？

（2）设计怎样的活动，引导学生外化三维与二维空间相互转化的想象过程？

教学目标

在观察与想象、操作与想象、推理与想象的融合中了解正方体与展开图之间的关系，能将其合理地进行分类。经历沿棱随意剪和定棱有意剪两次的过程，在由三维向二维解构的过程中发展空间观念、增强空间想象力。

基本设计思路

本设计主要分为两大层活动。第一层沿棱随意剪。通过活动1沿正方体纸盒上的棱随意剪出正方体展开图，在操作体验中经历由三维向二维转化的体验过程。第二层定棱有意剪。通过固定某些棱不剪的活动让学生进行想象与操作，增强空间想象的深刻性。

片段回放

片段一：沿棱随意剪开正方体纸盒，在操作体验中经历由三维向二维转化的过程

【PPT出示活动要求】

（1）用剪刀沿棱剪开，把正方体纸盒打开，展开后要保证所有的面连在一起。

（2）剪的过程中，比一比看看哪组剪出不同的情况最多，并数一数每种情况都剪了几条棱。

（3）如果剪完的图形通过已有的图形旋转或翻转可以得到就视为相同情况。

师：小组内先商量商量，商量好就可以剪了。

师：两个人一组按照活动要求完成任务。

学生开始剪纸盒，并把剪出不同形状的展开图依次贴在黑板上。

片段二：固定正方体纸盒的3条棱不剪，再次经历由三维向二维转化的过程

师：刚才大家将这个正方体，随意剪开了7条棱，得到不同形状的正方体展开图，如果让⑤号、⑨号和⑫号棱不剪开，那么怎样剪就可以剪出正方体展开图。

师：在操作前请大家先想想，把你觉得要剪的棱的序号写下来！（课件出示）

学生边想边写序号。

……

师：想一想如果要保证⑨号、○12号和⑦号棱不剪开，你还能剪出正方体展开图吗？为什么？

片段三：固定正方体纸盒的3条棱不剪，再次经历由三维向二维转化的过程

生：不能，因为这3条棱不剪就不能铺平，所以无法形成展开图。

师：刚才固定的3条棱不剪还能剪出展开图，这回怎么就不行了？

生：因为这是相交于一个顶点的3条棱，这3条棱不剪的话就没法形成展开图。

深度思考

本案例的核心任务是发展，它被解构为两个关键小问题，本案例中的活动基本上较好地解决了这两个问题。

本节课教师通过学情分析发现了学生具备一定空间想象能力，但空间想象的灵活性不足，并在教材分析中捕捉到了由三维向二维解构的学习素材编排得不够丰富，故设计正方体展开图系列活动，让学生真正地经历剪的过程，将学生对静态结果的认识转化为对动态操作过程的体验。教师在课前做了大量的准备工作，为了便于研讨交流，准备正方体纸盒时要将每条棱标上序号，在实施过程中还要进行思路清晰的组织和监控，避免热闹有余、思考不够的状况发生。

片段一的教学中，教师设计了沿棱随意剪开正方体纸盒的活动。虽说是“任意剪”，但是由于正方体纸盒的资源是有限的，学生在剪之前需要先在头脑中想象剪开的过程及结果，想象成功后再进行操作。先想再做的过程帮助学生积累了三维与二维之间转化的宝贵经验。

片段二的教学中，教师设计了沿棱有意剪（固定三条棱不剪）的活动。从无意到有意的进阶是引导学生提升思维水平的过程。学生既要保证12条棱中固定的3条棱不剪，又要考虑如何从剩下的9条棱中剪开7条棱，剪出展开图。学生空间想象的灵活性和深刻性在此过程中得以提升。

片段三的教学中，教师设计了有公共顶点的3条棱不剪，让学生讨论能否展开正方体的活动。学生在辨析、讨论的过程中，既要充分想象⑨号、○12号和⑦号棱不剪开时正方体的样子，表达自己的观点，又要将别人语言描述的情况在头脑中进行想象，学生将想象的结果通过语言进行外化以交流的过程中，思维得以撬动。

深入分析本案例，在解决教学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）“思”先于“行”，发展想象。

教师设计了两次操作活动，都使用了“思”先于“行”的教学策略。毕竟盲目地“试误”，直接进行操作，对发展学生的空间想象力无益。我们需要引导学生在思考的过程中，借助头脑中已有的图形表象，在头脑中借助表象进行“虚拟”操作。然后再通过实际操作的结果进一步验证“虚拟”操作的结果是否正确，经历反思过程，积累活动经验。

（2）“辩”中发展，外化思维。

教师在教学中使用“说想法”、组织学生思辨的方法，引导学生将想象的过程外化出来。交流的过程中，无论是表达者，还是倾听者，学生都需要在头脑中充分进行想象，努力理解交流的主旨含义，从而更好地参与到活动中。“辩”的过程既是想象外化的过程，也是发展空间想象力的过程。

（案例撰写人：北京市朝阳区垂杨柳中心小学　宋为　陶文迪）