直观想象在小学数学教学中的价值

2023-08-07 理论教育版权反馈

【摘要】：人们对事物的了解通常是一个从感性到理性的过程，在熟悉的环境中通过直观想象抽象出实物的几何图形或几何模型，体会物体的位置关系、运动变化，提出数学问题，建立图形与数量的关系，探索解决问题的途径。例如用线段图描述复杂的数量关系，使抽象的问题直观化，进而分析解决问题。参照高中课标，直观想象的教育价值体现在学生身上即应达到的目标要求。

2.1　直观想象素养的数学学科价值

2.1.1　直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段

早在20世纪时数学家希尔伯特就在他的著作《直观几何》中提出图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。

人们对事物的了解通常是一个从感性到理性的过程，在熟悉的环境中通过直观想象抽象出实物的几何图形或几何模型，体会物体的位置关系、运动变化，提出数学问题，建立图形与数量的关系，探索解决问题的途径。可见直观想象使抽象的问题直观化，利于研究。

在小学阶段，通过直观手段的运用以及借助直观展开想象，从而发现结论的例子有很多。例如用线段图描述复杂的数量关系，使抽象的问题直观化，进而分析解决问题。又如条形统计图、折线统计图、扇形统计图，利用几何图形描述和阐释事物状态和趋势，从而提出问题、发现问题，对未来走势和发展进行合理的评估和判断。因此直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段。

2.1.2　直观想象是探索和形成论证思路、进行数学推理的思维基础

数学史告诉我们，几何图形是推动思维展开的基础，也是获得对数学深度理解不可或缺的依托，它能够帮助人理解、思考数学问题。数学中许多定理、概念、公式的发现与证明都可以借助直观想象进行探索。人们根据问题的内在联系或数式的结构特征，恰当地赋予其几何意义，构造出一个与原问题有关或等价的“几何模型”，在数与形之间架设桥梁，达到解决问题的目的。

计算教学在小学阶段是重要的内容。张丹教授在《小学数学教学策略》一书中关于计算教学曾提出：首先要明确算理与算法二者之间的关系，算理是四则运算的理论依据，算法是四则运算的基本程序和方法；算理为算法提供了理论依据，算法使算理可操作化。要通过多种方式帮助学生理解算理，常用的理解算理的方式有实物原型、直观模型、已有知识等。当学生对抽象、难懂的公式、法则难以理解时，用几何直观的方式可以描述它们在表达什么，它们为什么会存在，深入浅出地说明算法背后的内在道理，引导学生达成数学的深度理解，在头脑中形成深刻的记忆。避免死记硬背，如分数乘法算理（见图1）。

图1

又如乘法运算定律中的分配律（见图2），我们借助直观形象的面积模型，使学生更容易理解和接受，并有效地进行数学推理。只有直观上懂才是真正的懂。

图2

2.1.3　构建抽象结构的思维基础

在数学教学中，借助恰当的图形、直观的模型，更有利于揭示数学对象的性质和关系，使思维更容易转向更高级、更抽象的空间形式。

苏联著名数学家A.N.柯尔莫哥洛夫说：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化……几何想象，或如同平常人们所说的‘几何直觉’，对于几乎所有数学分科的研究工作甚至对于最抽象的工作，有着重大的意义。”由此我们也就不难理解，直观想象是构建抽象结构的思维基础。

如数量的抽象。一年级在认识数时（见图3、图4），通过具体、直观的实物，把现实生活中的各种“量”抽象为数，形成自然数。

图3

图4

如五年级研究运算结果的奇偶性时（见图5），学生可以把抽象的奇数、偶数概念赋予具体的图形，然后展开运算关系的想象，得出更为抽象的结论。

图5

2.2　直观想象素养的教育价值

著名的法国数学家雅克·阿达玛著有《数学领域中的发明心理学》，在其中花了很多篇幅研究数学家们是如何思考的。据他自己的剖析和调查，在数学以及其他领域中从事脑力劳动的人，有太多采用思维表象，而不是概念定义的例子，“几乎所有的人不仅在思维过程中避免使用语言，甚至还避免使用代数符号或任何其他的固定符号”。由此可见，人的思维的展开更倾向于依据直观形象的成分，只有直观上懂才是真正的懂。可见直观想象对人的思维是多么重要。

《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出：通过高中数学课程的学习，学生能提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力；增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识；形成数学直观，在具体的情境中感悟事物的本质。

参照高中课标，直观想象的教育价值体现在学生身上即应达到的目标要求。从课标中看出，直观想象教育价值及目标要求在能力方面有三个指向：数形结合、几何直观、空间想象。

在意识方面，强调主动运用直观想象去思考问题。数学史告诉我们，几何图形是推动思维展开的基础，也是获得对数学深度理解不可或缺的依托，它能够帮助人理解、思考数学问题。

在感悟事物方面，能借助数学直观，依托情境去感悟事物的本质，形成学生的数学直观。正如我国数学家张广厚所言，“数学无疑是一门高度抽象的学科，需要人们具有高度抽象思维的能力，但是也同样需要很强的几何直观能力。抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的。同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握住问题的实质”。

直观想象在小学数学教学中的价值

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