培养高年级学生运用多种方法验证结论

1.验证是学生归纳能力的重要组成部分

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第二学段对推理能力培养的要求是“能够根据解决问题的需要，收集有用的信息，进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力。在解决问题的过程中，能进行有条理的思考，能对结论的合理性作出有说服力的说明”。

美国课程标准认为：“在3—5年级……形成猜想并在经验的基础上对猜想做出评估是常规的。”学生应该认识到用几个例子说明猜想正确是不够的，还应该认识到可以用反例来反驳一个猜想。他们应该学习通过考虑一系列的例子，能够对一般性质以及他们发现的联系进行推理。

对比两国的课程标准，我们发现，学生经历了归纳、猜想的研究过程，对于推理能力的形成已经有了一定的基础。但是，猜想得到的结论有时是正确的，有时也是错误的。到了中高年级，学生有了一定的知识基础，这时候我们就要引导学生能够在归纳、类比、猜想的基础上，对结论做出有说服力的说明，这里“有说服力”的说明，也就是要引导学生进行多种方法验证。这样我们的研究发现才具有说服力，得到的结论才是科学的结论。所以验证是学生归纳能力的重要组成部分。

帮助学生掌握一种解决实际问题的科学模型，有助于提升学生解决问题的能力，也为第三学段培养学生严谨的逻辑推理能力做好准备。

2.学生验证猜想的方法比较单一

小学阶段，完整的归纳推理可以经过这样几个步骤：观察特例—获得猜想—特例检验或者举反例。那么高年级的学生是否具有这样的能力？经过四年的学习，推理能力是否已经初步形成？于是笔者对五年级的40名学生进行了前测，前测内容如下。

通过观察11×11=121，11×12=132，11×13=143，11×14=154，总结“11乘一个两位数”积的规律，并回答：你是怎么判断你的结论是正确的？在40名学生中，能正确总结的占全部人数的65.7%，有34.3%的学生不能很好地总结规律。对总结正确的65.7%学生进行再次访谈，但是他们中的89%都没有再增加特例来检验自己的判断是否正确。通过此次测试，我们发现，学生经过前面的学习和研究，能够对规律有初步的认识，同时都能用语言总结自己的发现。这些都说明低年级的学习培养是有效的。但是我们也发现，89%的学生未有意识地利用增加特例的方法来证明自己的结论，更没有学生利用举反例的方式证明。这些都说明，学生还没有形成完善的归纳推理能力，需要经过后期的训练与培养，才能使学生自主使用枚举归纳推理的方法用于运算法则、规律性公式等知识的研究学习；知道枚举归纳所得的结论具有或然性，并能自主运用多种方法进行验证，能用反例推翻错误猜想。

3.教师培养学生运用多种方法进行验证的意识有待提高

在《义务教育数学课程标准（2011年版）》的理念指导下，我国很多版本的教材都针对推理能力的培养设计了相关的内容，北师大版教材中，就设计了“找规律、探索问题、尝试与猜测”等明显涉及归纳推理的学习内容，人教版教材也出现了“数学广角”这一部分内容，有意识地渗透归纳意识。但是受学生年龄及知识结构的限制，小学教材中几乎看不到通过归纳推理而产生错误结论的内容，因此学生习惯了利用枚举法就能找到正确的结论及性质，对学生归纳推理能力的形成产生了误导。而教师也是依教材进行授课，忽略了在这一方面对学生进行引导和训练，因此会导致对归纳推理的或然性不了解，不利于归纳推理能力的形成。同时教师运用教材比较简单化，就题讲题现象还是比较严重，解题背后的推理思想淡薄；教材内容运用平面化，推理能力的发展较弱；教材运用点状化，缺乏前后发展的连续性和整体性，导致了推理能力不够深化。

高年级学生的知识和能力都有了很大程度的提高，对于自己所做出的结论应该有意识地进行验证，同时为了保证验证的正确性，应该鼓励学生采用多种方法、多角度进行验证。但是，在教师的实际授课过程中，此内容的涉及还不太深入，只是蜻蜓点水而已。

如在讲解分数计算时，教师的教案设计如下：

（1）这个问题你能解决吗？请你试着解决。

（2）学生汇报。

（3）这样的方法是否具有普遍性呢？咱们再试试。

（4）学生练习之后，汇报总结方法。

……

从教师简短的设计中不难看出，教师关注了学生自主探究、关注了学生的交流、关注了学生的方法总结，但是整个设计都是在引导孩子进行单一计算，学生只是应用自己认为正确的方法不断地进行计算，那么这个计算的方法是否正确、是否具有局限性、是否科学都没有进行探讨，学生总结的算法，最终也不能确定为正确结论。只是采用同一种方法就引导学生得到了结论，这样的研究方法只是形式上的研究，缺乏科学的研究方法的指导，不利于学生推理能力的形成。

其实在此过程中，教师应引导学生对自己的方法进行说理，如借助线段图、实物图、乘法意义等，也就是对自己的方法从多个角度进行验证，当验证结论成立后，这样的结论才具有价值，才是引导学生科学研究的开始。由此不难看出，教师培养学生运用多种方法进行验证的意识有待提高。

其实，这样的“探究”在课堂中随处可见。受考试指挥棒的影响，对分数过于追求，教师教学更加关注对结果的判定，对于“为什么”往往只是形式上的关注。在课堂上教师不能够给足时间，引导学生运用枚举法进行自主研究，同时缺乏运用多种方法对结论进行验证的指导。学生推理能力的发展还很不够。

综上所述，可以将如何在高年级教学中培养学生运用多种方法对结论进行验证作为一个教学关键问题。

案例TL-3-1：《对比中感受科学归纳，迁移中尝试反例验证》（《加法交换律》，四年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在高年级教学中培养学生运用多种方法对结论进行验证”。

教学内容分析

小学阶段在概念及规律教学中经常会应用归纳推理的方法得出一般性的概念和规律，所以在运算定律的教学中归纳推理能力的培养尤其重要。本节课是运算定律的起始课，让学生经历归纳推理的全过程学习，逐步完善学生的推理能力，也为后面的运算定律学习做了铺垫。

学情分析

围绕教学关键问题，针对教学任务对学生进行调研。

调研：你觉得A+B=B+A吗？说说你的理由。

调研结果：

调研分析

从调研中可以发现，89.6%的学生可以采用举例说明的方法验证这个等式。有4.2%的同学想到了利用加法的意义的相关知识解释说明。学生虽然有举例子的意识，但他们缺乏科学探究归纳的过程，没有经历完整的归纳推理的过程。

我的思考

在上面的调研中我们发现，大部分同学举例进行验证，学生已经有了枚举归纳的意识并掌握了其方法。但只有个别同学采用科学归纳的方式来说明结论是正确的。所以，如果学生在进行定律、性质推理时能够尝试用科学归纳进行说理、验证，有助于学生的思维提升。而在验证推理的过程中对于不成立的观点或者论点，学生是否掌握采用反例的方式说明也是非常重要的。

基于此，我们将教学关键问题解构为下面两个小问题：

（1）在加法交换律的研究过程中，如何引导学生采用科学归纳的方法进行验证？

（2）在研究减法是否有交换律的过程中，如何引导学生感悟举反例推翻错误的猜想？

教学目标

经历运用不完全归纳法概括所学知识探索运算定律的过程。学生在对比中尝试用科学归纳的方法进行验证，在探究过程中尝试利用反例推翻错误的猜想，培养学生思维的严谨性，完善学生的归纳推理能力。

基本设计思路

首先从实际问题出发，学生运用枚举的方法进行说理验证；接着引导学生利用不完全归纳法举例归纳；尝试用科学归纳法探究本质；最后尝试利用举反例的方式验证结论的正确性。

片段回放

片段一：感受到举例方法的局限性

学生已经总结出：两个加数交换位置，和不变，并且已经采用举例的方式验证加法交换律成立。

师：那你们觉得举多少个这样的例子合适呢？

生1：我想举的例子越多越好，例子多才能有说服力。

生2：我觉得应该举无数个例子才行，要不没有说服力。因为，万一没有举到的例子中，正好有一个加法算式，交换它们的位置和变了呢？

生3：我觉得他说得不对！因为数是数不过来的，举无数个例子是不可能的。

老师（提出自己的质疑）：我们真的要举无数个例子吗？

所有学生都摇头，并大声回答：“举不完呀！”

片段二：尝试从一类具体事例中归纳出它们的共同特性

师：那怎么说明你们刚才说的交换加数的位置和不变呢？我们是否可以不用举例，而是采用其他方式来说明交换加数的位置和不变呢？

生1：我是这样想的，比如从左边来了3人，右边来了2人，一共有多少人？可以用左边的3人加上右边的2人，也可以用右边的2人加上左边的3人，结果都是一共有5人。

师：左边来了4人，右边来了5人呢？

生2：一样，左边的加上右边的和右边的加上左边的，结果都是一样的，就是把两边的人合起来。

生3：比如在讲台上有3个黑球、5个白球摆成一排。从老师的位置看是5+3；从我们的位置看就是3+5。所以5+3与3+5只是两堆物体总和的不同算法，当然“和”不变。

生4：我是这样想的，就以这个例题为例（指着图），无论是第1段路程加第2段路程，还是第2段路程加第1段路程，都是把这两段路程合并，都是李叔叔一共骑行的路程，交换了位置但还是这段路程。

片段三：尝试利用科学归纳的方法探究加法交换律的本质原因

师：同学们非常棒，想到了把算式赋予生活中的情境来理解为什么交换加数的位置和不变。

师：你们还想赋予什么情境来说明吗？

生1：不用，不管什么样的情境，反正只要是两个数求和，都可以交换这两个数的位置。

师：你们的意思是不管我们赋予什么样的情境，只要什么不变就和不变？

生2：就是两个加数不变，和就不变。

生3：加法就是把两部分合起来，无论是第一个加上第二个，还是第二个加上第一个，顺序无所谓，只要加数不变，和就不变。

生（同时回答）：都是把两部分合并起来。

师（小结）：哦，我明白了。你们的意思是因为这两个算式都表示把相同的两个加数合并在一起，那结果肯定是相同的。

片段四：尝试利用举反例的方式验证减法中被减数和减数不可以交换

师提出猜想：我们刚才的研究是举例有两个数相加、三四个数相加，那减法里可不可以随意交换数的位置？

生：可以……不可以……

师：你用什么方式说明？

生1：我们可以采用举例的方式说明，比如5-3=2，而3-5减不了。

生2：我也可以举例子，100-10=90，而10-100减不了。

……

师：看来你们都觉得不可以，刚才同学们举了很多个例子来验证猜想，那现在你们打算举多少个例子说明它不成立呢？各小组内的同学商量一下。

学生通过研讨，汇报小组意见。

生1：我们觉得举一个例子就可以。一个例子说明不可以就肯定不成了，就说明它不成立。

生2：刚才举了好多的例子，是因为我们怕万一有一个例子不成立，举的例子再多也举不全，所以后来我们才从道理上说明加法交换律是成立的。而现在我们能举出一个反例了，那就肯定不成立。

师小结：看来，当我们想说明一个猜想说得不对的时候，举一个反例就可以了。这一个不成立，就说明它不成立。

师：随着你们日后的学习，你们还会有很多深入的思考。

……

深度思考

本案例的核心任务是培养学生归纳推理能力，它被解构为两个小问题，本案例中的活动较好地解决了这两个问题。

片段一至片段三，教师通过“举多少个这样的例子合适？”“我们是否可以不用举例，而是采用其他方式来说明交换加数的位置和不变？”“你们还想赋予什么情境来说明吗？”一连串的探究问题让学生感到举例是举不完的，感到枚举方法的局限性。然后慢慢从赋予实际情境的举例中剥离出来，找到其共同的特性，从而使学生发现加法交换律成立的本质原因。这样的探究问题让学生不仅学会了简单的枚举归纳、明确枚举归纳所得结果可能存在或然性。且开始尝试利用科学归纳的方法进行验证，学生不仅“知其然”，而且还“知其所以然”。

在片段四中，想利用加法交换律迁移到减法中的“交换”，在现有阶段的学习中，学生利用所学知识（在正数范围内）初步枚举归纳后，教师抛出研讨问题：“你们打算举多少个例子说明它不成立呢？”学生通过讨论得出结论：当说明一个规律正确时，可能需要多个例子来说明，因为再多的例子也不能说明每一个都成立。但是在验证一个猜想不成立的时候，我们举出一个反例就能证明猜想不成立，因为这一个例子就说明它不具有普遍性，从而推翻了错误猜想。

在本案例中，解决教学关键问题采用了以下方法。

（1）层层深入，引导学生采用科学归纳的方法进行验证。

从教学片段可以看出，首先在过程中学生采用不完全归纳推理出一个一般结论，对于这种简单的枚举归纳推理而言，前提是所考察的对象数量尽可能多一些，全面一些，有利于提高结论的可靠性。教师通过对比的方法让学生感受枚举法的局限性。然后层层深入地引导学生慢慢开始尝试利用科学归纳的方法进行验证。而对于科学归纳而言，前提是所考察的对象数量的多少对结论的可靠性程度不起主要作用，只要是真正揭示了对象与其属性之间的因果联系，就能“知其然”且“知其所以然”。

本案例中通过对同一个问题所作的枚举归纳推理与科学归纳推理加以比照，使学生体会到枚举归纳推理只能说明“是什么”，科学归纳推理则可以理解“为什么”。

（2）对比研究，探讨举反例推翻错误猜想的方法。

在引导学生运用举反例的方法推翻错误的猜想时，案例片段中可以看出学生开始是自主举例说明猜想错误，也就是枚举归纳推理。后面利用举反例的方法时需要反例的个数与之形成对比，感悟一个反例就能推翻错误猜想。案例中利用枚举归纳推理的“验证猜想成立”和“推翻错误猜想”这样一正一反的两个片段，引发学生对比思考，从而对归纳推理有了更加全面的认识。

课程标准中对第二学段学生的推理培养有这样的要求：“在解决问题的过程中，能进行有条理的思考，能对结论的合理性作出有说服力的说明。”本案例采用的枚举归纳推理与科学归纳推理是小学数学归纳推理的两种基本形式，是对发现的规律进行的最有力的说明。而举反例的推理方式也是推翻猜想，说明规律不成立的重要手段。

（案例撰写人：北京市朝阳区白家庄小学　王佳明）

案例TL-3-2：《持续交流　对比反思　自主研究　多种方法验证》（《分数的基本性质》，五年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在高年级教学中培养学生运用多种方法对结论进行验证”。

教学内容分析

《分数的基本性质》是人教版小学数学五年级下册第四单元的教学内容。这部分内容是在学生学习分数的意义、分数与除法的关系、分数与小数的互化、商不变的规律等知识的基础上进行教学的。在教学中，让学生经历归纳推理的全过程，引导学生自主采用多种方法验证猜想，逐步完善学生的推理能力，也为后面的运算定律学习做了铺垫。

学情分析

通过近五年的学习，学生对小组合作学习、同伴互助学习都很熟悉，自主学习能力逐渐增强，也积累了很多验证猜想的经验和方法。课前围绕教学关键问题对10名不同层次的学生进行了调研，目的是了解学生是否具备提出猜想、采用多种方法验证的能力。

调研题目：

（1）观察下面的一组分数，请你照样子再写几组。

（2）你有什么发现？请写一写。

（3）你提出的猜想正确吗？你准备怎样验证？

结果显示，100%的学生能举出例子；60%的学生写出了自己的发现，其中10%的学生能够用含有字母的式子表达分数的基本性质；90%的学生采用举例子的方法验证自己的猜想。

我的思考

在上面的调研中我们发现，学生已经有了枚举归纳的意识并掌握了其方法。大部分同学在老师提出研究问题和具体事例时能够提出猜想并进行验证，但大都采用举出更多例子的方法来验证猜想，方法比较单一。只有个别同学采用说理的方式来说明结论是正确的。如果学生在进行定律、性质推理时能够尝试用多种方法对猜想进行验证，有助于学生的推理能力的培养。

综合以上分析，我们将教学关键问题分解为：

（1）在分数基本性质研究的过程中，如何引导学生自主地对猜想进行验证？

（2）在分数基本性质研究的过程中，如何引导学生采用多种方法对结论进行验证？

教学目标

通过学生自主探究，在观察辨析多组等式过程中发现规律，运用已有学习经验自主采用多种方法验证自己的猜想，并抽象概括出分数的基本性质，理解分数的基本性质。

学生运用不完全归纳法，经历探究过程，验证分数基本性质成立的普遍性，培养学生观察、分析、概括的推理能力。

基本设计思路

首先创设恰当的情境，提出探究问题；接着引导学生回顾不完全归纳推理的研究过程，梳理验证猜想的方法；以学习单为支撑，引导学生采用多种方法对猜想进行验证；最后再次梳理、总结研究过程和验证方法。

片段回放

片段一：提出问题，并回顾验证猜想的方法，为后续多种方法验证做好准备

师创设情境、提出要研究“分数的分子和分母同时乘或除以相同的数，分数的大小不变”这一问题。

……

生：在明确研究的问题后，首先枚举出一些例子，然后通过观察，对比发现其中的规律，并提出自己的观点，最后验证自己的观点是否正确。

师：我们都采用过什么方法进行验证，谁能说说？

生1：举例验证。

生2：结合学过的知识说意义。

生3：采用科学归纳的方法验证。

生4：举出反例说明自己的猜想不对。

片段二：借助学习单，引导学生自主验证自己的猜想，在同伴交流的过程中，感受验证方法的多样性

师：现在就请同学们小组合作，把你们研究的过程和你的发现记录在学习单上。

……

师：谁来说说你们组的研究过程和结果？

……

师：回顾这三个小组的研究过程，在提出猜想后，都是通过枚举法对猜想进行验证，得出了一个科学的结论。把掌声送给同学们。

师：还有不同验证方法吗？

生1：我们组是这样验证的。

，根据分数与除法的关系，可以看作1÷2，被除数、除数同时乘2、4、8，就可以得到算式2÷4、4÷8、8÷16，根据商不变的性质，这三个算式的结果是一样的，也就是这三个分数相等。所以，运用商不变的性质可以说明分数的基本性质是正确的。

师：很好！乘相同的数，商不变，也就是分数的大小不变。除以相同的数呢？

……

师：说得真好！利用以前学的商不变的性质，我们再次验证了分数基本性质的合理性。还有吗？

生1：我能举出一个反例。当这个数是0时，变成了0÷0，分母为0就没有意义了，所以不成立。

生2：因为除数不能为0，所以商不变的性质强调乘或除以的数不能为0，分数的基本性质也必须强调分子、分母同时乘或者除以一个不为0的数。

师；真棒！同学们不仅能用举例的方法还能联系到学过的商不变的性质来验证，并且发现0这个反例。经过大家的讨论，结论更加严谨了。

片段三：回顾验证的过程，梳理验证的方法，在对比反思中感受不同验证方法的特点

师：同学们采用多种方法对我们提出的猜想进行了验证，让我们得到的结论更加科学、严谨，使得我们的研究成果和数学家们说的一模一样，祝贺同学们！赶紧回顾一下，咱们是怎样验证的呢？

生1：可以采用举例的方法进行验证，举出的正确例子越多，结论的可靠性越强。

生2：可以采用举反例的方法。只要举出一个反例就能说明这个猜想是错误的或者不严谨的。当然，如果只有一个反例，就可以尝试去完善我们的结论，让结论更加准确、严谨、科学。

生3：还可以联想我们以前学过的知识，找到新旧知识之间的联系，来说明结论是正确的。

师：同学们提出猜想后，能够主动运用这么多的方法进行验证，真是了不起。

深度思考

本案例要解决的关键问题是“如何在高年级教学中培养学生运用多种方法对结论进行验证”。教师从非常典型的“探索规律”分数的基本性质出发，把教学关键问题解构为两个小问题，在本案例活动中得到了较好的解决。

片段一中，创设恰当的情境，提出要研究的问题，并引导学生思考我们要怎样研究这个问题，回顾验证猜想的各种方法，为后续多种方法验证做好准备。

片段二和片段三中，教师在学生进行小组合作研究时，设计了学习单。以学习单为支撑，引导学生自主进行归纳推理研究。明确探究问题和研究方法后，给予充足的时间并营造融洽的探究氛围，再自主探索。学生交流时老师给了学生充分的时间和自主权。引导学生与学生进行交流，在交流、辨析、互相补充、互相启发的生生互动中，加深了对分数的基本性质的理解，更重要的是在探究的过程中学生积累了鲜活的活动经验，经历了提出合情合理的猜想、主动采用枚举法、科学归纳法、举反例等方式将猜想变为结论的验证过程。在得出结论后，教师再次引导学生回顾验证的过程和不同方法。学生的推理能力进一步提升，在研究和汇报的过程中，学生逐渐学会有理有据地发表自己的看法。

本案例中，在解决教学关键问题时采用了以下方法。

（1）以学习单为支撑，引导学生在提出猜想后自主验证。

在研究前、研究后，两次带领学生回忆研究问题的过程，梳理验证猜想的多种方法，为本节课的自主验证猜想、后续学习中多种方法验证猜想做好铺垫。精心设计学习单，在探究的过程中，给予学生充足的时间，营造融洽的探究氛围，放手让学生自主探索。在小组交流的过程中通过生生互动，引导学生分享自己的研究结论和研究过程。

（2）在分享、研讨的过程中，引导学生采用多种方法对结论进行验证。

在分享研究成果时，引导学生对不同组的研究过程和验证方法进行对比、分析，不断鼓励学生思考还有没有不同的验证方法。如：①在探究“分子和分母同时乘或除以相同的数，分数的大小不变”这一问题时，用举例子的方法进行验证；②联系商不变的性质，利用科学归纳验证方法；③举出反例“0”，说明分数的基本性质中必须“0除外”，使结论更加严谨。以此引导学生运用多种方法验证结论的一般性。

（案例撰写人：北京市朝阳区白家庄小学　王相辉）

本部分提出了三个教学关键问题，六个案例。通过学习，您认为这三个问题是否为逻辑推理下的小学数学教学关键问题？还有哪些问题应该是逻辑推理的小学数学教学关键问题？为什么？六个案例分别给您带来哪些启发？如果要求您选择一个案例执教，您会选择哪个？会做哪些调整？为什么？