中年级教学中引导学生有意识地提出猜想的实用技巧

1.提出猜想对于培养学生归纳推理能力具有重要意义

科学家牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”任何数学定理或者结论的形成都是从模糊到确立，也就是从猜想（假说）到结论。任何一个猜想是否正确，都需要推理论证的过程，而这种推理论证的过程是一种创造性的思维，是科学发现的一种重要手段。

合情推理的实质是“发现—猜想”，猜想和经验是合情推理的基础，有效的猜想一定与知识和生活经验有着密切的联系。到了中年级，学生随着年龄的增长，知识和生活经验都有了很大的提升，因此本学段引导学生提出猜想，对于培养学生归纳推理能力具有重要意义。低年级掌握基本的观察方法后，到了中年级，学生思维逐渐由形象思维向抽象思维过渡，这个时期也是逐渐完善学生的推理能力的重要时期，起到了承上启下的作用。

随着学生年龄的增长，学生掌握观察的方法、有了初步的观察意识，学生已经具备了归纳推理的潜意识。在低年级积累的观察、分析、比较以及简单分类的活动经验与逻辑推理经验的基础上，中年级就要开始进行简单但有系统的归纳推理的学习与培养，在此基础上，引导学生进行合理的猜想。初步归纳推理能力的形成，应该具有以下特征：学生应该通过操作观察，对数学对象进行分析，比较发现事物的共同性与差异性，内容上多侧重于数量性质特征和图形性质特征方面的探讨，能够依据感官知觉到的数学对象的表面特征和表面联系，通过枚举归纳推理获得结论，并能用适当的语言符号表征。学生的具体表现为：在老师的引导下，能够学会根据适当的标准进行分类，根据不同的要求进行枚举；初步形成对规律的基本认识，在老师的引导下能提出一些简单但有根据的猜想，在小组交流中学会用自己的语言或数学语言加以表征。猜想是观察、发现的延续环节，有意识地引导学生猜想，是推理能力形成的重要一步。到了中年级，教师应该有意识地引导学生进行有理有据的分析，引导学生进行多种方法的研究，同时针对发现的规律等提出大胆的猜想，引导学生进行比较科学的论证，在低年级无意识研究的基础上，开始进行有意识的研究。但是这个时期，学生的能力和方法都还不够，需要教师的引导与帮助。

在学生掌握观察的方法、有了一定的自主观察意识的基础上，本阶段应该引导学生在观察的基础上，进行大胆猜想，为第三阶段的学习及演绎推理的证明做好扎实的能力培养工作。

2.中年级学生有意识地提出猜想，但进行语言描述的能力较弱

受数学知识、数学活动经验的影响，学生在小学阶段一般使用枚举法来确认猜想的真实性。中年级的学生，需要在教师的引导下，初步尝试运用枚举的方法确定猜想的真实性，学会根据标准进行分类的方法，逐步掌握归纳推理的步骤与方法，培养初步的归纳推理能力。那么学生的现状又是如何呢？我们对中年级的学生进行了前测，前测题目如下。

计算下面各题，你发现了什么规律？把你的发现写下来。你还能根据规律创造这样的习题吗？试着写一写。

15×15=

25×25=

35×35=

45×45=

55×55=

65×65=

75×75=

85×85=

调研结果如下：

本阶段，学生应该能够根据适当的标准进行分类，形成对规律的基本认识，能提出一些简单的猜想，积累相关的数学活动经验。从教材的设置上看，这样的问题很多，有利于我们对学生初步的归纳推理能力进行培养。但是从三年级学生的调研情况来看，还是不够乐观，56.8%的学生仍然愿意进行计算从而得到结果，这与我们平时测试中，只要结果正确就可以得到分数有关，孩子们不愿意想，更乐于计算，也是学生逻辑推理能力弱的一个表现。从小学生的奥数题到公务员的考试题目不难发现，数学推理题目所占比重日益增加，数学推理能力能够显著提高学生思维力、观察力和概括能力，帮助学生养成严谨的思维习惯。为了提高学生的数学推理能力，众多家长开始把学生送进各种奥数辅导班，学校老师也对学生展开了题海战术，面对这样或那样的压力，学生无形中对数学推理题目也产生了恐惧和厌倦感，与其停下来思考后运用规律解决新的问题，不如直接计算更方便。因此，在这个阶段，学生呈现的问题是更愿意利用知识直接解决问题，而不愿意进行细致思考、利用简单推理获得新的结论再去解决问题。

3.教师缺乏指导学生进行猜想的意识

推理能力的培养具有阶段性及延续性的特点。教师的重视程度直接影响孩子的能力培养，作为中年级的教师，面对年龄增长的孩子及知识难度的增长，有时一时无法适应，对能力的培养也就相对减弱。

我对三、四年级的8位数学教师进行访谈，情况如下。

（1）你认为归纳推理能力在中年级应该培养吗？

针对这个问题100%的教师都认为必须培养。

（2）你在课堂教学中怎样培养学生的归纳推理能力？

师1：我觉得应该让学生枚举。

师2：我觉得应该让学生操作。

师3：可以鼓励学生大量地枚举，感受归纳的方法。

……

在访谈的8位教师中，大家对推理能力的培养各抒己见，但是不难看出，大家都没有把“猜想”意识的培养放在重要位置。教师们认可能力的培养，但是对培养的方向、方法都不明确。同时就学生思维的外化来看，学生能有理有据地说明，教师们均没有提到。由此可以看出，教师们制定的阶段的培养目标及培养方式不明确，缺乏对学生运用枚举法解决问题能力的培养，缺乏对学生进行科学猜想的指导，需要后期对教师进行培训与指导。

虽然《义务教育数学课程标准（2011年版）》对小学阶段关于推理的教学目标、教学内容和教学建议等方面都做了比较清晰准确的说明，其中，归纳推理作为合情推理能力的核心体现，应该是教学中能力培养的重点。但是目前在教学中，我们受传统教学模式的影响，教师们常用的是把归纳推理作为引出数学概念、讲解数学命题、引导学生确认数学命题是否准确的方法。新课程改革后，《义务教育数学课程标准（2011年版）》对学生进行归纳与猜测发展合情推理能力提出了新的要求，教师们也有了新的认识，但是受传统知识教育观念的影响，教师对归纳推理的概念及培养学生归纳推理的重要性及方法不太了解，导致教学中只是出现了一些无意识的行为，而不是有针对性的培养。

综上所述，可以将如何在中年级教学中引导学生有意识地提出猜想作为一个教学关键问题。

案例TL-2-1：《探寻有效策略，提升猜想能力》（《末尾有0的乘法》，三年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在中年级教学中引导学生有意识地提出猜想”。

教学内容分析

《末尾有0的乘法》这节课是一节常规的计算课。在计算课中，我们要带领学生研究算理，总结算法。对于算理的理解，我们不能通过一个案例来说明理由，需要通过大量枚举，找到共性的特征，才能引导学生理解算理，总结算法。因此，这节课要引导学生提出合理猜想，掌握枚举的方法，巩固验证自己的猜想，在学生初步发现规律或者方法后，为结论的总结提供科学的依据。

学情分析

围绕教学关键问题，针对教学任务对学生进行调研。

调研：你是怎么算“14×2”的？把你的想法写下来。

调研结果：

综上分析，我们发现大多数学生能够用画图、语言描述、口算等方法得出正确结果，因而注重学生已有的知识经验，以表内乘法为基础，通过推理观察能够获得数学猜想，并进一步寻求证据，能清晰有条理地表达自己的思维过程。在学习方法上，让学生在已有知识的基础上自主探索，用归纳推理的方法建构新知，进一步引导学生在新旧知识之间建立联系，从而理解算理，掌握算法。把关键问题分解为：

（1）如何引导学生大胆猜想，并形成猜想意识？

（2）如何指导学生用自己的语言表达猜想，并通过说明理由来验证猜想？

教学目标

引导学生通过举例验证猜想，同时根据不同要求进行有针对性的枚举，并且用不完全归纳法说明理由，验证发的现规律的普遍性。

基本设计思路

首先从实物图引入，引导学生通过观察提出有理有据的猜想，紧接着引导学生根据不同的要求进行举例验证，最后学生自主尝试，运用不完全归纳法验证猜想，理解深化。

片段回放

片段一：利用多个算式引导学生猜想

学生已经结合实物图，利用已有的知识经验进行探究，解决了口算乘法“6×10”的问题，并说清了算理。接着，老师出示了以下内容：

屏幕显示：5×10=　9×10=　18×10=　40×10=

师：请你先计算上面各题，观察算式，并说说你发现了什么？

……

生1：我发现这些算式都是一个数去乘10。

生2：我还发现积的结果都有零。

生3：是的，有的积有两个0，有的积有两个0。

生4：我还发现，一个数乘10，就是把这个数后面加上一个零。

师：这个同学不仅看到了结果，还观察了因数和积之间的关系，总结了自己的计算方法。两位数乘一位数存在这样的规律，那两位数乘整十数是否有类似的规律呢？

师：看来大家都有一双善于发现的小眼睛，那我们再来看看这一组数。

屏幕显示：12×30=　31×30=　14×20=　30×20=

师：请你计算上面各题，做完后，请你观察这两组算式。这回因数和得数之间又有什么规律呢？

……

生1：我发现积的末尾都有0。

生2：我发现两位数乘整十数，其实就是先不看因数的0，把0挡住。先算前面的数相乘，再看因数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。

生3：我也发现是这样的，就是先算12×3=36，然后刚才少看了一个零，现在在积的末尾加上一个0就可以了。

生4：是的，就像30×20，先算3×2=6，然后刚才少看了两个0，现在在积的末尾加上两个0就可以了。

师（小结）：大家看是这样吗？两位数乘一位数，两位数乘整十数，其实就是先不看因数的0，把0挡住，先算前面的数相乘，再看因数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。

屏幕显示：120×30=　310×30=　14×200=　30×200=

师：请你计算上面各题，做完后，请你再观察现在这四组算式，这回因数和得数之间又会有什么规律呢？

生1：计算120×30，可以先算12×3=36，然后刚才少看了两个0，现在在积的末尾加上两个0就可以了。

生2：我也发现了，计算14×200，可以先算14×2=28，然后刚才少看了两个0，现在在积的末尾加上两个0就可以了。

生3：我也同意他们的想法，计算30×200，可以先算3×2=6，然后刚才少看了三个0，现在在积的末尾加上三个0就可以了。

师：那么多位数乘整十数的口算方法你可以试着总结一下吗？

生4：不看0，先算前面的，然后积再加上0。

生5：我补充一下，你不看了一个0，积最后就补上一个0。所以我认为先用因数中0前面的数相乘，再看因数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0，比较简便。

师小结：两位数乘整百数，几百、几十乘整十数，其实就是先不看因数中的0，把0挡住，先把前面的数相乘，再看因数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。

片段二：通过举例，验证猜想，在小组交流中学会用自己的语言或数学语言加以表征

师：刚才同学们已经总结出来多位数乘整十数口算的规律，是不是所有算式都满足这个规律呢？怎么验证你们的结论是正确的呢？

生1：我们可以举几个不同的例子验证一下。

师：好的，请你随意写个“两位数乘整十数、整百数，几百、几十乘整十数”，选一种自己喜欢的方式来验证，看看是不是满足我们的猜想。

生2：我举的例子是“13×20=260”，就是先不看20中的0，把0挡住，再算13×2=26，最后在26末尾添上一个0，就是260。满足我们提出的猜想。

生3：我举的例子是“120×40=4800”，就是先不看120和40中的0，把0挡住，再算12×4=48，最后在48末尾添上两个0，就是4800。满足我们提出的猜想。

生3：我举的例子是“20×200=4000”，就是先不看20和200中的0，把0挡住，再算2×2=4，最后在4末尾添上三个0，就是4000。满足我们提出的猜想。

……

师小结：看来，当我们想说明一个规律是否正确的时候，可以举各种符合要求的例子来验证我们的猜想。

深度思考

本案例的核心任务是培养学生归纳推理能力，它被解构为两个关键小问题，本案例中的活动较好地解决了这两个问题。

课堂中的片段一通过学生观察算式，发现“因数与积末尾有几个0”之间的关系并且提出简单的猜想。他们依据已有的知识积累做出了符合一定经验与事实的猜想，大部分学生可以通过计算，且在计算方法上比较容易发现、总结规律，并进行了推理，带有一定的直觉性。

片段二学生在教师的引导下需要通过自己举的各种例子来验证自己的猜想是否正确，通过“对比观察—提出猜想—举例验证”，完成“从一道题到一类题”的知识迁移。

深入分析这个案例，笔者从设计和实施两个方面梳理出如下一些比较有效的方法和策略。

本案例中，教师在解决教学关键问题时采用了以下方法。

（1）引导学生大胆猜想，提升学生的思维能力。

明智的猜想是发现的主要途径，因此教师要为学生创设猜想的机会。《末尾有0的乘法》是在学生已经掌握《表内乘法》和《两位数乘一位数》的口算基础上，把一位数拓展到整十数，把整十数拓展到整百数；把两位数拓展到几百、几十的数，引导学生在新旧知识之间建立联系，理解“两位数乘整十数、整百数，几百、几十乘整十数”相乘的基本口算方法，明晰其中的道理，形成合理的认知结构，在活动中通过观察算式，引导学生猜想：两位数乘整十数、整百数和几百、几十乘整十数的口算有什么规律？逐渐体会数学知识的产生、形成与发展的过程，获得积极的情感体验，感受数学的力量，同时掌握必要的基础知识与基本技能，使学生具有归纳推理的意识，并进行系统的归纳推理学习。

（2）引导学生经历猜想过程，掌握猜想方法。

荷兰数学教育学家弗赖登塔尔（H.Freudenthal）说：真正的数学家常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。因此，在数学教学活动中要不断地渗透适合儿童的猜想方法，培养学生的“数学的直觉思维”。当学生做出各种猜想后，教师应该引导他们小心验证，不仅要猜想“是什么”，更要引导他们验证“为什么”。在小学数学的课程教学中，教师应当灵活使用归纳推理的思维方法来帮助小学生理解掌握所学的数学知识，将具体的知识内容转化为抽象的数学思想。这可以使小学生的学习能力得到提高，使他们能够在实际生活中灵活运用归纳推理的思维方式解决问题。因此，在小学阶段的归纳推理学习是非常重要的，并为学生今后的学习能力的培养奠定基础。

（案例撰写人：北京市朝阳区白家庄小学　王丹阳）

案例TL-2-2：《猜想，让数学学习更深入》（《认识长方形》，三年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在中年级教学中引导学生有意识地提出猜想”。

教学内容分析

数学推理，是从数和形的角度对事物进行归纳类比、判断、证明的过程，它是数学发现的重要途径，也是帮助学生理解数学抽象性的有效工具。三年级正处于推理的初级阶段，让学生在观察、操作等活动中，提出一些简单但有理有据的猜想，是这一学段的目标。本节课，学生在观察中提出猜想，在操作中验证猜想，在回顾中总结猜想的方法，引导学生初步经历推理的全过程，感受猜想的重要性，为推理能力的形成奠定基础。

学情分析

围绕教学关键问题，针对教学任务对学生进行调研。

调研：你觉得长方形的边和角有什么特征？说说你的理由。

调研结果：

续表

调研分析

从上面的调研中我们发现，大多数学生基本可以说出长方形的边、角特征，说明学生在生活中有了一定的感性认知，但只有1/3的学生能够运用具体的方法验证这一结论的正确性，说明学生缺少科学探究的意识。

我的思考

通过调研，我们可以看出，学生虽然知道长方形的边、角特征，但却只是知其然，不知其所以然，表明学生还不具备科学探究的归纳推理能力。因此，这部分内容的教学应侧重引导学生在进一步探索长方形基本特征的过程中，初步经历观察、猜想、验证的推理过程，感受猜想的重要意义，从而提高思维深度，培养推理能力。

综合以上分析，我将教学关键问题解构为下面两个小问题：

（1）在观察长方形特征的过程中，学生能不能从多角度提出猜想？

（2）在验证猜想的过程中，如何引导学生感悟猜想的重要性？

教学目标

通过观察，引导学生提出有理有据的猜想。运用动手量一量、折一折等方法验证猜想，初步经历推理的全过程。在交流的过程中，了解更多猜想的方法，感受猜想在数学学习中的重要意义。

基本设计思路

首先，从谈话引入，学生在观察中提出有理有据的猜想；其次，引导学生思考如何验证猜想；再次，学生动手操作，利用不完全归纳法验证猜想的正确性；最后，在回顾过程中，让学生感受猜想的意义，总结猜想的方法，鼓励学生大胆猜想，敢于发现。

片段回放

片段一：引导学生从不同角度观察长方形，对长方形的特征进行猜想

这个片段主要是通过让学生观察大小不同的长方形，从而对长方形的特征进行有理有据的猜想。

师：同学们，老师给大家带来了几个图形朋友，仔细观察，你认识它们吗？（PPT上出示几个大小不同的长方形）

生：它们都是长方形。

师：你们怎么一下子就认出来了？

生1：我在课外班学过。

生2：妈妈教过我，这样的图形就是长方形。

师：你们说得没错，这些图形都是长方形。

师：同学们猜一猜，到底具有什么特征的图形就是长方形呢？

生1：我觉得长方形的四条边都是直的。

师：再猜一下，除了“边是直的”这个特点外，四条边还有其他特点吗？

生2：我觉得长方形的四条边不仅都是直的，而且相对的边还是一样长的。

师：除了边的特征，你们猜猜长方形还有什么特征呢？

生3：我觉得长方形的四个角都是直角。

师小结：同学们真了不起！通过对这些图形的多角度观察，我们猜测出了长方形的边和角可能具备的特征，那你们对这些特征的猜想正确吗？有什么方法能验证猜想吗？

片段二：引导学生通过动手操作验证对长方形特征的猜想

师：刚才同学们猜测长方形具有对边相等的特征，真是这样吗？下面就请同学们拿出你们准备的长方形，用自己喜欢的方法来验证一下，看看你们的猜想正不正确吧。

学生活动，老师巡视。

师：谁愿意说一说你是怎么验证猜想正确的？

方法一：量一量

生：我用尺子量出长方形每条边的长度，发现上下两条边的长度一样长，左右两条边的长度一样长，所以我觉得长方形对边相等的猜想是正确的。

师：量的确是个好方法，还能用其他方法验证猜想吗？

方法二：折一折

生：我把长方形上下对折，发现两条边完全重合，左右对折，发现两条边也完全重合，所以我认为长方形对边相等的猜想是正确的。

师：这个方法简单、快速地验证了长方形对边相等的猜想是正确的，真了不起！

片段三：引导学生总结猜想方法，感受猜想的重要性

师：同学们，刚才我们通过量一量和折一折的方法，验证了我们对长方形对边相等的猜想是正确的。现在回过头来想一想，是什么力量一直牵引着我们完成整节课的学习呢？

生：我觉得是学习的内驱力。

师：学习的内驱力是从哪儿来的呢？

生：因为我想知道我对长方形特征的猜想对不对，所以一直不断地去验证猜想。

师：是呀，正是因为在开始对长方形的特征有了猜想，我们才会不断想办法对猜想进行验证，由此可见，猜想在数学学习中的重要性。

师：在学习过程中，我们可以怎么提出猜想呢？

生1：可以凭直觉去猜想。

生2：可以在观察中猜想。

生3：还可以在动手操作的过程中提出新猜想。

师小结：同学们通过大胆猜想，总结出了这么多猜想的方法，真了不起。在这个过程中，我们也深刻地感受到猜想是数学学习的动力，它可以让数学学习更为深入。

深度思考

本节课中的这些教学片段都是围绕既定的两个关键小问题设计和实施的，而且都在一定程度上达到了既定的效果。

片段一中，老师鼓励学生对长方形的特征展开猜想。在学生提出边是直的这个特征后，引导学生逐步深入地观察对边的特征，最后，再引导学生从不同的角度去观察长方形，从而猜测出角的特征。之后，不失时机地要求学生对猜想进行验证，从而引导学生从低年级的观察、分析、比较及简单分类活动获得推理的潜意识，合理过渡到学生要对猜想进行验证的系统的推理学习阶段。

片段二中，老师充分地尊重学生的认知特点，给予学生足够的空间去活动。学生通过真实的操作验证了猜想，获得了真切的体验，经历了完整的“观察—猜想—验证”的推理过程。在这个过程中，学生的思维得到提升，思考方式也更加全面、严谨，达到了理解方法、启迪思维的目的。

片段三中，在老师的启发下，学生体会到猜想是探究学习的动力，它在数学学习中起着重要的作用，从而引导学生总结猜想的方法，帮助学生形成在学习过程中敢于发现、敢于猜想的习惯。

本案例中，教师解决教学关键问题时采用了以下方法。

（1）引导学生在多角度观察的基础上大胆猜想，发表自己的看法。

牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”猜想作为重要的数学教学方法，对学生主动探索获取数学知识的能力以及促进学生创新能力的发展有着不可估量的意义。本节课中，教师引导学生从观察长方形入手，鼓励学生对长方形的特征进行多维度大胆猜想，在思维碰撞的过程中，学生对长方形特征的认识更加深入，使学习向思维更深处不断延伸。

（2）引导学生在动手操作中验证猜想，得到结论。

我们知道，数学学习最有效的方法就是让学生在学习中能够通过自己的操作实践，从而达到体验感悟数学真理的目的。在本节课中，学生的猜想激活了课堂，教师因势利导地引导学生：要想知道长方形是不是真的具有这样的特征，必须经过验证。于是，在充足的时间里，学生通过不同的方法动手实践，最终验证了猜想，得到了长方形的特征。

3.引导学生感受猜想在数学学习中的重要性

猜想是一种创造性思维方式，在数学课堂中，引导学生进行数学猜想，可以激发学生的学习兴趣，调动学习的内驱力，使他们的记忆力、理解力、分析判断能力等多种智力因素得到充分发挥，从而使整个思维活动处于最积极、最活跃的状态。在这节课的学习中，学生对长方形特征的猜想是否正确像一根线贯穿着学习的始终，牵引着学生不断探究。在这个过程中，不仅进行着一次次严密的逻辑推理和数学思维训练，更完整地经历了“观察—猜想—验证”的推理全过程，这样的学习过程，帮助学生真正经历了推理的初级阶段。

（案例撰写人：北京市朝阳区白家庄小学　尚娜）