小学数学教学：提高学生对数学表达的认识

1.在解决实际问题教学中，使用符号进行数学表达具有重要意义

在解决实际问题教学中，使学生理解符号的使用是数学表达的重要形式是非常有意义的。首先，这是一种现实需求。在教师的实际教学中，结合一些情境或者事例时，很多时候必须结合符号进行归纳并解决，此时就让小学生自觉感悟到数学结合符号的优势，进而激发他们运用数学符号的良好愿望。其次，在小学阶段，学生的思维方式多以形象思维为主，运用数学图形、图像这样的数学符号的表达，会随着学生认知能力的提高，帮助学生逐步由具体向抽象转变。尽管学生个体之间的思维能力发展水平不同，也可能存在很大的差异，但是在解决问题的过程中，使用符号表达可以有效地帮助学生理解一些抽象的数学题目或者数学概念。最后，在解决问题过程中，由于问题情境的复杂开放，会呈现出多种多样的符号，形式也千差万别。教师有责任在一段时间内，通过恰当的问题带领学生一起把学过的符号列出来，对符号进行分类，讨论它们之间的关系，体会每一类符号带来的好处。在这个过程中，不仅要创造机会让学生主动使用符号，更要学会综合使用符号，建构起符号体系，形成符号语言，并运用符号语言在解决问题中发挥作用，在问题解决和发展符号意识的过程中，提升学生的数学抽象素养。

2.学生在解决问题过程中，使用符号的意识和能力亟待提高

符号多种多样，形式也是千差万别，学生对数学符号不仅要懂，还要会用，符号意识的发展就表现为学生主动运用符号的意识。在长时间的课堂教学中，教材为学生创造了很多学习的机会，让学生都会使用符号，希望学生学会综合使用符号，建构起符号体系，形成符号语言，并运用符号语言在解决问题中发挥作用。但是现在的学生是否已经达到了应有的水平呢？对此，我们进行了调研，并做如下分析。

例如：“20个小朋友，每两个都要握手一次，一共要握手多少次？”

对于这个题目，不同思维水平的五年级学生表现是不相同的。

学生解决问题的方法如下：

（1）化繁为简：找几个同学实际操作，通过活动发现规律。

（2）连线画图：

第1个人要和其他19个人握手，第2个人要和其他18个人握手……以此类推，20个人握手的次数是19+18+…+2+1。多一个人，增加两次，再多一个人，增加三次……规律：1+2+3+4+…+（人数-1）。

（3）符号表达：一共有n个人，握手的次数就是1+2+3+4+…+（n-1）。

这样的一道题目，全班32个人，可以做出来的有28人，占全班人数的87.5%。本题正确率看似较高，但是在解决这道题的时效上却相差很远。随后，笔者进行了跟踪访谈。在正确解答的28人中，只有11人（占39.3%）利用化繁为简的思想发现规律并利用符号表达规律，正确、快速完成这道题的同学仅仅用了不到2分钟。而采用逐个连线、文字表述、再计算等方式最后得到正确答案的，时间将近20分钟，这样的效率相差约为10倍。还有12.5%的同学因为没有思路，不能够逐步解决这个问题。

符号意识是学生解决问题过程中非常重要的数学素养，通过以上调研我们可以看出：在解决问题的过程中，部分学生不能自主创造和使用符号探究表达规律；还有部分学生意识到了运用符号探究规律，但是在表达过程中却不能满足数学解决问题的需求，表达存在一定的问题。有的同学可能更擅长自己去使用和创造符号，但在接受和读懂别人创造的符号方面存在一定的困难。这些都会对学生今后的学习和进步产生不利的影响。面对这样的现状，我们作为主导者，需要帮助学生解决这些困难，尤其是在数学的课堂教学过程中。

3.教师在课堂教学中培养学生运用符号解决问题的意识淡薄

教师作为教育教学的主导者，在学生的符号意识培养中起至关重要的作用。那么，在解决问题的教学中，教师表现如何呢？让我们来看个片段。

在数学活动课《确定起跑线》教学中，教师利用课前时间带学生到操场亲自测量了学校跑道的道宽、直道长度以及弯道的半径。课堂上教师呈现了所测量的真实数据：直道长都是85.96米，跑道宽是1.25米，第一条跑道的半圆形弯道的直径是72.6米。接下来，教师提出了小组活动的要求：

（1）弯道是什么形状？左右两个半圆形的弯道合起来是一个什么图形？

（2）怎样找出相邻弯道的差距？相邻弯道差距其实就是谁的长度之差？

（3）怎样求相邻跑道的长度差？

教师为了计算的准确性还让各个小组都准备了计算器，然后就让学生开始了热烈的活动。十分钟后，学生呈现了以下一组数据：

第一圈圆周长：3.14159×72.60≈228.08（米）

跑道一周的长度：85.96×2+228.08=400.00（米）

第二圈圆周长：3.14159×（72.60+1.25×2）≈235.93（米）

跑道一周的长度：85.96×2+235.93=407.85（米）

两条跑道的差是：407.85-400=7.85（米）

教师追问：还有没有更简便的方法？学生继而呈现了以下答案：

方法1：直接用相邻跑道的外圆和内圆的周长相减。

3.14159×75.1-3.14159×72.6=7.85（米）

相邻两条跑道的差=相邻外圆周长-内圆周长

方法2：用相邻外圆直径与内圆直径的差×π

（75.1-72.6）×π=7.85（米）

相邻两条跑道的差=（相邻外圆直径-内圆直径）×π

方法3：相邻两条跑道的差=道宽×2×π（板书）

1.25×2×3.14159=7.85（米）

在此基础上教师引导学生对比择优，归纳最后一种计算方法最简单。教学活动到此为止，看似这节课完成得非常好，实际的操场起跑线确定的问题通过计算解决了。但仔细分析后，从上述案例中不难看出，在我们课堂解决问题的过程中，绝对不缺乏良好的学生资源以及学生解决问题策略的灵活性，缺少的是教师对发展学生符号意识的设计。从以上案例中可以看出，教师的活动设计和操作都重在起跑线到底确定在哪里，而不是通过这个数学活动引导学生发现其实这个问题抛开具体的数字，我们可以用符号来代替数，不用计算器可以更快地发现其内在的普遍规律，运用到任何数据的跑道之中。实际教学中，缺乏的是教师对学生符号意识的培养意识。我们更多地关注到了课堂上学习的知识本身，而忽略了交流、评价学生的符号意识和符号表达能力。

综上所述，将如何在解决实际问题教学中使学生理解符号的使用是数学表达的重要形式作为一个教学关键问题。

案例CX-6-1：《小小符号，统一观点》（《用数对确定物体的位置》，五年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在解决实际问题教学中使学生理解符号的使用是数学表达的重要形式”。

教学内容分析

《用数对确定物体位置》是新教材五年级上册第二单元的知识内容。课标解读中指出：符号对于数学来说是特有的，它既是数学的语言，又是数学的工具，更是数学的方法。某一数学符号的意义一旦被赋予，它就在这确定的意义下被运用，不会含糊，不会产生歧义，从而带来数学极大的严谨性。

在此之前，学生已经认识了基本的8个位置，了解了用8个方向可以表示一个物体的位置。在这节课上学生要认识“列”“行”，并学会用“列”和“行”来表示一个物体的具体位置。本节课重在借助解决实际问题的情境，在探究活动中帮助学生理解借助符号可以进行数学表达，经历用数对表示具体位置的过程，感受用符号进行数学表达的简捷性，从而渗透符号意识。

学情分析

“用数对确定物体的位置”五年级的学生才开始接触，但在学习生活中经常遇到，对学生来说，并不陌生。那么，学生是否具备运用符号表达自己的想法的意识和能力？对于应用数对进行表达位置的程度如何？需要进行进一步的学情调研。

（1）对于实际问题，学生会用什么方式表达自己的想法以及是否有意识地用符号表达自己的想法？

（2）学生对于利用数对表达物体位置的理解程度和用符号表达的程度如何？

针对以上两个问题，设计了如下调研题目：

请你根据图片，用你喜欢的方式描述果盘的位置。

调研对象：五年级（6）班32名同学。

调研结果：

情况1：利用文字描述果盘相对于其他水果的位置。

情况2：利用文字描述果盘所在的行和列的位置。

情况3：利用数字或字母对方格进行标注，从而借助数字和字母表示果盘位置。

调研结果显示，32名学生均可以用自己的方式表达果盘的位置。

①21份问卷（即66%的学生）是借助文字来描述物体的位置，处于抽象表达位置的第一个层次：直观表达，缺乏符号意识。

②5份问卷（即16%的学生）试图借助符号对整体位置进行标注，从而借助符号表达物体的位置，处于抽象表达位置的第二个层次：半符号化表达。

③6份问卷（即18%的学生）运用含有符号的数对形式来描述物体位置，处于数量关系抽象的第三个层次：符号化表达。

调研分析

通过对调研结果的分析可知，大部分学生是利用前后、左右和上下来描述实际情境中物体位置的，很少有学生利用符号等方式来表达自己的想法，说明学生的符号意识不强。小部分学生是利用简单符号来描述位置的，但描述不够清晰，书写格式也不规范。

基于此，我们将教学关键问题解构为下面两个小问题：

（1）学生在解决实际问题的过程中，是否能有意识地借助符号简化自己的数学表达？

（2）如何在解决实际问题的过程中，培养学生借助符号准确进行数学表达的能力？

目标分析

借助发课本的实际问题情境，经历从实际情境到符号表征的抽象过程，理解数对可以表示物体的位置，体验用数对确定位置的简捷性。再根据实物图中物体的位置书写数对的活动，培养学生理解并运用符号进行数学表达的能力，进一步发展学生的符号意识。

基本设计思路

创设一年级小同学发课本的实际生活情境，引发问题需求。在引导学生探究交流如何表达每个同学的具体位置的活动中，通过对比交流体会数对这一数学符号表达的准确性和简捷性。

片段回放

片段一：借助学生生活经验和学习经验，尝试用文字、图形、符号等多种方法外化自己的思考

教师创设一年级小同学发作业本时，因为识字少不认识同学名字而不能顺利发本，需要准确表述每位同学准确位置的实际生活问题，引发学生对准确描述其中一名“小强”同学位置的思考。

师：学生尝试用自己的方法表达小强的位置。

生1：

（生1是从下往上数行数，从右往左数列数）

生2：

（生2是从左往右数列数，从下往上数行数）

生3：

（生3与生2确定列数和行数方向一致，但是先确定行再确定列）

生4：

（生4与生1确定列数和行数方向一致，但是先确定行再确定列）

师：为了便于交流，咱们规定，确定第几列一般从左向右数，确定第几行一般从前往后数，在描述行列时，一般先说列再说行。

片段二：从实际需要出发，提供创造数学符号的机会

师：刚才同学们用第3列第2行来描述小强的位置，数学的一大特点是简捷，你能不能创造一种更简捷的符号来表示小强的位置呢？请你自己试一试。

看到这么多的符号，教室里立即沸腾起来，学生频频举起手来，有要发表自己见解的；有急于向大家介绍自己想法的；还有要提出问题的……

生1：3表示第3列，“+”号表示隔开列与行，2表示行。

生2：我的和生1类似，3表示第3列，“-”号表示隔开列与行，2表示行。

生3：我的和他们的不一样，3表示第3列，“.”号表示隔开列与行，2表示行。

生4：你的有点儿像三点二，是一个小数。

生5：我是用括号把行列隔开的。

生6：我是用3\2。

……

片段三：对比多种符号表达的优缺点，读懂符号，体会符号的价值

师：刚才大家都介绍了自己作品表示的意义，它们有共同点吗？

你们觉得哪个更好呢？

生1：我觉得这种符号特别好，因为很形象。

生2：我觉得“3.2”“3+2”和“3-2”容易与其他的数学符号混淆。

生3：我认为这个符号好，更加直观。

生4：这种方法是很直观，可是如果有很多排、很多列，这样画起来可就麻烦了。

师：是呀，就像大家说的，这些符号都能表示第3列第2行，大家都很善于动脑筋，让我们一起来看看数学家创造的符号和我们的有什么相同和不同吧。【出示：（3，2）】。你能读懂这个数学符号吗？

生5：这个符号也是表示第3列第2行，3和2之间用逗号隔开是为了不和我们以前学过的符号混淆，加个小括号是为了说明确定一个物体的位置需要列和行两个条件。

深度思考

本案例的核心任务是渗透符号是数学表达的重要形式，片段一通过创造实际校园生活的问题情境，引发学生的思考，借助学生的已有学习和生活经验，充分暴露学生对符号应用的已有水平。片段二教师在统一行和列的标准后，放手让学生经历自主创造数学符号的过程，在亲身体验中丰富对符号的感知。片段三是在学生亲身体验创造符号的基础上，引导学生对多种符号表征进行辨析，在对比中发现符号表达的共通性，进而理解数对符号，体验符号的价值。

深入解析本案例，在解决教学关键问题时采用以下方法。

（1）延长探究、交流、进行数学表达的过程，提高借助符号进行表达的能力。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“自主探索、合作交流是学习数学的重要方式。”在本节课中，借助为一年级小同学解决发课本的实际问题情境，为学生创造了良好的学习氛围，教师创造的开放空间与环境，让学生结合自己的学习经验进行了大胆的符号创作。在教学中，教师让孩子们创造更简捷的表示方法，为学生提供了自主思考的空间，学生的创新灵感不断涌现，课堂真正成了他们发挥自己聪明才智的乐园。“你能创造一种简捷的符号来表示第3列第2行这个位置吗？”这个问题一提出，孩子们马上有了兴趣。学生的创造多种多样，教室里立即沸腾起来，小手频频举起来，有要发表自己见解的；有急于向大家介绍自己想法的；还有要提出问题的……很感叹于学生作品的丰富，并且学生敢于提出自己的见解和问题。学生在课堂的相互争论中，认识得到不断提高；教师也不断对孩子进行追问和思维拨动，层层深入，讨论热烈。通过师生互评、生生互评，让学生产生矛盾冲突，抽取共识，有效建立了数对的概念，从而产生唯一简捷的表达确定位置的方式。可以说这样的问题解决方式，不仅仅促进了数对的产生，更促进了学生符号意识的培养。

（2）在对比与反思中，渗透借助符号简化数学表达的意识。

本案例从学生的实际生活中引出问题，重视学生的原有经验，激发符号表达意愿。通过让学生来描述小强的位置，激活学生原有的描述事物位置的经验，然后经过交流评价，让自己认识到这些方法的不足，引发学生产生要用统一、简明的符号来确定位置的需求，体会学习新知识的必要性。此外，重视引导学生进行前后对比和反思，获取符号表达的积极体验和情感。学生通过本节课，不但熟练掌握了数对知识，而且真正感受到了数学能够把复杂问题简单化，也真正体会到了数学符号的简捷、清晰。这样的问题解决过程，为学生全面发展、长远发展都打下了良好基础。同时，学生通过对比，从数学的符号化特点上也更加明确了数对的优越性。

从课堂反馈中可以看出，由于抓住了培养学生符号意识这一关键点，教学方法比较有效，所解构的教学问题得到解决，学生的符号理解能力和表达能力均得到了一定的发展。

（案例撰写人：北京市朝阳区芳草地国际学校富力分校　韩晓亮）

案例CX-6-2：《以符号激活思维　以经验完善策略》（《打电话》，五年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在解决实际问题教学中使学生理解符号的使用是数学表达的重要形式”。

教学内容分析

本案例是义务教育教科书人教版五年级下册综合实践《打电话》的知识内容。这一内容和学生的生活经验密切结合，学生对这一问题的研究很有兴趣。“打电话”这一问题正是为学生提供了可探究的空间，学生尝试寻找“答案”时，不是简单地应用已知的信息，也没有可直接利用的方法、公式；但“综合实践”的目的就在于培养学生运用有关的知识来解决问题，在解决此问题时，学生可以运用相关符号和图形来激活思维，从而寻求解决问题的策略。尽管一开始可能不是所有的学生都能出色地完成任务，但是他们都尽自己的思维能力选出最优方案，体会符号和图形的优势，进一步感受数学与生活的密切联系以及优化思想在生活中的应用。

学情分析

《打电话》这一内容安排在五年级下学期，从生活经验来看，大多学生有通知多个人的生活经历，而且本节课的内容是继《烙饼问题》《沏茶问题》《等候时间》后又一次向学生渗透运用运筹思想解决实际问题的内容。因此，已有的生活经验足以支持完成此任务。从已有知识储备来看，参与完成此任务虽涉及符号画图表达、计算等综合知识，但都是较简单的计算与表达。从思想方法来看，在四年级上册的《数学广角》中教材已安排了有关优化思想的学习。但是本节课，一次通知15个人，对于五年级孩子来说还是稍有些困难的，需要把知识分层递进，由于孩子知识水平的不同，给出的方案也不相同，会有文字、符号画图等方案，这就需要在比较中选出最优方案。

根据课标要求，结合对本节课教学任务的调研分析，我们将关键问题初步解构为两个小问题：

（1）学生在面对复杂的“打电话问题”能否在探索规律的过程中自觉使用符号表达推理过程？

（2）怎样在解决“打电话问题”中提升学生运用符号表达数量关系的意识和能力？

目标分析

通过用“打电话”的方式解决问题从而体验解决问题策略的优化过程；在制订计划时，需要借助符号、图形、列表等方式，发现“打电话”隐含的规律，渗透数形结合的思想，培养学生采用多种策略解决实际问题以及感受“符号”在解决问题中的应用。

基本设计思路

通过实际问题，尝试用多种方案解决问题；通过亲身经历，在“比较”中优化方案和规律；通过渗透数形结合的思想，培养学生运用符号和图形的策略解决实际问题的意识。

片段回放

片段一：发现符号描述电话通知的过程，更加清晰便捷

师：要研究给15个人打电话的省时方案，从哪里入手好呢？你有什么建议？

生：15个人，数太大了，从小一点的数开始研究。

师：就听大家的，咱们先研究通知3个人。有几种方案，花多长时间呢？请你先想想，再写写、画画。看谁想得明白，表达得清楚！

方法1：文字叙述用时3分钟的方法。

方法2：

方法3：

方法4：

师：如果你是老师，会选择哪种方案，好在哪儿？

生：选择方法4，因为画图简捷、清楚，能让人一下看明白老师打电话的过程。

师：是的，数学问题结合符号和图形来分析展示，会更简捷、易懂。同学们用一个字来代表老师或队员，如果要通知的人很多，你还有更加简捷的表达方法吗？

生：我们还可以更加简单地用图形符号或者字母符号来表示老师打电话通知的过程。

片段二：读懂符号所传达的信息，在交流中，提升用符号和理解符号解决问题的能力

师：通知3人用2分钟，以此类推，通知6个人，一定得4分钟！

生：不一定是4分钟。6人用3分钟。

师：6人只用3分钟，你们是怎么通知的？时间怎么省下的？

生：同时打电话。

生：3分钟可以通知7个人。

师：你从哪儿看出3分钟还能再通知一个人？

师：“同时打”让我们看到了“省时”的希望，这个方案真不错，我们再一起整理一下。

师：你能看出老师第1分钟通知了谁吗？

生：第一个队员。

师：从哪儿看出来的？

生：第1行的○，只有一个○。

师：这时新接到通知的有几人？怎么看出来的？

生：新接到通知的有1人。是1个绿色的○。

师：知道消息的总人数是多少？怎么知道的？

生：知道消息的总人数是2人。一共有2个图形。

师：第2分钟是怎么通知的？

生：老师通知了第二名队员，第一名队员同时通知了第三名队员。

师：第2分钟新接到通知的有几人？怎么看出来的？

生：新接到通知的有2人。第2分钟多了2个蓝色的○。

师：知道消息的总人数是多少？怎么知道的？

生：知道消息的总人数是4人。一共有4个○。

师：第3分钟是怎么通知的？

生：老师通知了第四名队员，第一名队员同时通知了第五名队员，第二名队员同时通知了第六名队员，第三名队员同时通知了第七名队员。

师：第3分钟新接到通知的有几人？怎么看出来的？

生：新接到通知的有4人。第3分钟多了4个红色的○。

师：为什么是4人，不是5人或6人？

生：每个队员只能打一个电话，现在一共有4个人空闲，所以4个人可以同时打电话，这样就同时通知了4个人。

师：看来，知道消息的人同时打电话，3分钟能通知7个人呢！真省时间呀！

师：如果4分钟能通知多少人呢？你是怎么想到的？

生：第4分钟会再多8个人知道消息，因为每人可以再通知一个人，那就会有15个学生知道消息了。我们可以用黑色的○表示第4分钟得到消息的同学。大家看。

师：请回顾刚才我们的研究过程，你有什么想法要和大家交流？

生：我觉得这种用符号代替文字，把打电话的过程画成图的方法，能够帮助我们寻找其中的规律。

师：用符号和图形表示通知过程很简捷；把同一分钟接到通知的人数排列整齐，能清楚地反映出每一分钟谁都在干什么，帮我们解决了“打电话”这个问题。

深度思考

本案例重点是要通过渗透数形结合的思想，培养学生运用图形符号和字母符号表达推理过程解决实际问题的意识。片段一重在学生自主探究，在解决问题的过程中发现使用符号表达思路更加简捷明了。片段二重在当部分符号意识发展比较好的学生运用符号描述后，教师引导班级全部学生对符号表达进行理解，在理解和交流中，力求让所有学生都能理解符号的意义以及使用的价值，发展学生的符号意识。

深入解析本案例，在解决教学关键问题时采用以下方法。

（1）由简入繁，引导学生自觉使用符号表达推理过程

估计到学生探索“打电话尽快通知15人”的方案比较困难，采取分层递进的方法，先引导学生探索“通知3人”的方案有哪些？哪种最好？让学生通过比较确定符号和图形的表示方法最简捷，同时打电话的方案最省时。教学中有意让学生不断经历试误的过程，让每个学生基于自己的生活经验与认识设计不同的方案，于是，从逐个通知到分组通知，最后逐步优化到所有人都不空闲，让学生充分体会了方法的多样性与优化的思想。另外，在解决问题的过程中，不同的学生采用不同的符号和图形等来表达解决问题的方案与结果，彰显了学生独特的思维方式与解决策略，同时也有利于符号意识的培养以及建模思想的渗透。因此，尽管此环节的教学时间大大增加，但是，这一学习材料的教育价值也得到了充分的挖掘与拓展。

（2）引导学生经历符号化全过程，鼓励多种方法的表达和交流，在体验中感受符号的简捷直观性，提升学生的符号表达意识及能力

在学生经历符号化探索的全过程中，学生的主体地位得到落实。学习不是简单的知识由外到内的转移和传递，而是学生主动地建构自己知识经验的过程，即通过新经验和原有知识经验的反复的、双向的相互作用，来充实、丰富和改变自己的知识经验。这节课学生在探索活动中观察、分析、归纳，从中发现规律，进而应用规律解决问题，最终促进学生知识的内化。

在解决问题的过程中，不同的学生采用不同的方式来表达解决问题的方案与结果，彰显了学生独特的思维方式与解决策略，同时选出了最优的符号图形方案，有利于符号意识的培养以及建模思想的渗透。“打电话”尽快通知到所有的人的最佳方案的形成、规律的发现，不是老师“给予”的，不是学生被动接受的，而是在老师的引导下，学生采取可行的方法，积极主动参与探索活动，通过动手、动口、动脑发现的，是学生自己悟出来的，是主动获得的。

（案例撰写人：北京市朝阳区芳草地国际学校富力分校　吕晓金）