小学数学教学研究：如何让学生体验符号的计算和推理能力？

1.用符号进行运算和推理具有重要意义

在小学数学中，符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识是数学表达和数学思考的重要形式，有助于学生理解符号的使用，发展数学抽象思维。对于学生而言，数学符号是学好数学的基础，建立符号意识将有助于学生理解符号的意义，有效地运用符号解决问题；理解符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。另外，符号意识还是学生数学抽象素养的重要体现。

在计算教学中，学生借助符号的运用，将运算从特殊化推向一般化。符号化的运算不仅能揭示算式的数学本质，而且可以通过式的运算增进学生运用符号的能力。符号运算也是一种推理过程，通过符号运算，我们还能够揭示出存在于具体问题中的数学规律。在符号运算中，还蕴含着对相关数学关系的领悟，所以我们说数学符号运算的本质就是经历数学关系的识别，应用约定或既定数学符号表达数学关系，并依据数学思想进一步归纳和演绎的过程。

用字母和符号表示数及其运算或关系是小学数学教学内容的一个重要组成部分。因此，在教学过程中，作为教师应引导学生经历发现问题、提出问题（实际上需要运用符号抽象地表达问题）、分析问题、解决问题（实际上使用符号进行运算、推理和数学思考）的过程，在这一过程中积累运用数学符号的活动经验，更好地感悟数学所蕴含的数学思想本质，体会数学符号的意义。

2.学生运用符号进行计算和推理的能力亟待提高

从学生的观点来看，学生认为一些符号的运用并不能影响最后的运算结果，因而忽视了对符号参与运算和推理的认识。在日常数学教学中，学生在借助数学符号进行运算和推理方面存在诸多问题，应用数学符号缺乏主动性和积极性，不少学生自主运用数学符号表示图形计算公式、运算定律等的能力达不到《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求。

例如，当学生面对下列问题：

本题考查借助数学符号表示果汁体积（即圆柱体体积）和玻璃杯的容积（即圆锥体体积），并借助符号进行运算，从而求出瓶中的果汁可以倒满几个玻璃杯，即借助符号表达式进行除法运算。通过对学生的作答结果及解决问题的方法进行分析发现：（1）32.9%的学生不能正确解答这道题，原因在于不能借助符号表示数量关系或表示出圆柱体和圆锥体的体积，不能正确地进行除法运算；（2）67.1%的学生能够得出正确答案。随后教师对这部分学生进行了追踪访谈，通过访谈得知其中只有34.7%的学生能借助数学符号表示数量关系并正确进行计算。其中65.3%的学生将题目中所给的字母设成了具体的数字进而解决问题。针对这部分学生教师追问：如果不设数你有其他办法解决这个问题吗？其中80%以上的学生表示没有办法解决，只有极少部分学生表示自己想到了可以用字母推导关系解决问题，但是依旧觉得设数的方法更加简单、准确。

对于一部分学生来说，数学符号还是“既熟悉又陌生”，提起公式头头是道，但在用符号表征具体内容，解决实际问题时变得“无从下手”，很难从具体情境中抽象出简单的有用信息，并用符号表示出来，或是自主地用符号表示具体的量。即使能够给出问题的答案，表达上还是缺乏严密的逻辑，更多喜欢用文字或具体的数，表达烦琐，未能使用较为专业的数学符号和术语，未能形成良好的运用符号的习惯，符号意识淡薄。部分学生缺乏应用符号解决问题的意识，不能用字母完全代替实现数和图形的计算，不能借助符号表示图形的体积并正确进行运算，而往往将简单的问题复杂化，借助具体的数解决问题。

对于数学符号的学习，难点在于学生不能通过符号有效地建立关系模型，这也是学生日后学习更加专业的数学知识和符号时感到陌生和无助，数学学习越发感觉困难，抽象思维发展停滞的原因。因此，培养学生的符号意识成为现今课堂教学研究中的一个必不可少的方向。

3.教师忽视运用符号进行推理和运算作用，错失培养学生符号意识的良机

如在《乘法分配律》一课的教学中，教师联系学生的生活实际，创设了求花园面积、求花的朵数和求浇花人数的三个小情境，通过解决三个实际问题，学生列出了三个符合乘法分配律特点的等式。教师引导学生从左至右观察这三个等式，已经发现了乘法分配律的规律。这时，教师提出问题：“你能说一说什么是乘法分配律吗？”一名学生踊跃地想表达自己的想法，但是说起话来比较啰唆，不能准确地表达什么是乘法分配律。教师又叫了几位同学，也都出现了类似的情况，原本活跃的课堂也在此时沉寂了下来。

仔细分析可知，课堂之所以在此时出现这样的情况，是因为教师错过了在此时培养学生符号意识的大好时机。教师让学生直接先用语言表达乘法分配律的概念，对学生来说是有困难的。用语言表述规律不如让学生写一写或画一画规律，如果能引导学生用比较简捷的方式表示他们发现的规律，让学生先动笔写一写自己的想法，相信就可以看到许多学生尝试用画图、字母、符号等多种形式来表示乘法分配律的模型。虽然此时学生也许还不能用规范的语言来表述什么是乘法分配律，但借助数学符号学生可以抓住规律的本质进行简捷准确的概括表达，既能加深对乘法分配律的理解，又能不失时机地发展学生的符号意识，并在交流中加强符号表达能力。

通过校内访谈教师，对访谈结果进行分析发现：教师们列举的符号运用案例大多是计算课的教学案例，所提到的使用更多的是“计算”层面。还有教师觉得在新符号的引入形式和时间上下太多功夫不值得，他们觉得小学阶段的符号相对简单，只要讲清楚如何使用就行，不用刻意教导，学生在学习中就可以慢慢掌握。这表明教师们对“符号意识”的认识不够，对更深层次地借助符号进行推理、运算和模型建立理解不够深入。

综上所述，将如何在运算推理中使学生感受到符号可以进行运算和推理作为一个教学关键问题。

案例CX-5-1：《在“换”来“换”去中渗透符号意识》（《等量代换》，三年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在运算推理中使学生感受到符号可以进行运算和推理”。

教学内容分析

本课的教学内容是《等量代换》。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提到：符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。其中，《等量代换》这节课就凸显了在运算的过程中，符号在运算和推理方面的作用。

等量代换的知识点在不同版本教材中都有所涉及，在学习本节课知识之前，学生已经初步具备了一些用文字、字母、图画或形状代替事物的意识。本节课主要是让学生通过观察、操作、验证等活动，初步体会等量代换的思想方法，培养学生有序地、全面地思考问题以及运用符号表达事物之间的关系，为以后学习代数知识做准备。

学情分析

《等量代换》这节课并没有具体的知识点，在实际教学中，更注重的是数学思想和方法的渗透，是一节思维训练课。对学生能否找到问题中的等量关系，以及学生是否具备借助符号进行等量代换和推理的能力，需要进行学情调研。

（1）学生是否有意识地借助符号描述问题中的等量关系和中间量来简化实际问题？

（2）学生能否借助符号进行等量代换，表达自己的推理过程？

针对以上两个问题，设计了如下调研题目：

调研对象：某小学三年级4班40名学生。

调研结果：

续表

调研分析

通过调研结果可知，学生对此类型的题目，理解和掌握的程度不同。大部分学生没有利用简笔画、图形和字母等多种符号表征等量关系，进行中间量代换进而解决问题的意识。只有小部分学生能够在理解和分析天平图等量关系的过程中运用符号进行简化表达，描述推理思考过程。大部分学生都能比较两个物体的轻重，但是对三个物体的轻重关系很难用数学符号语言表达。因此，我们将教学关键问题解构为下面两个小问题：

（1）学生在表达等量代换的过程中，是否有借助符号简化自己的描述和运算推理的过程的能力？

（2）如何在等量代换的推理过程中，培养学生使用符号准确表达自己的描述和运算推理的过程？

目标分析

借助跷跷板实物，经历从实际情境到符号表征的抽象过程，理解符号可以表示中间量和等量关系，在解决问题教学中培养学生理解并运用符号表示等量关系和推理运算的过程的能力，进一步发展学生的符号意识。

基本设计思路

创设问题情境，在自主探究交流讨论中，理解借助符号表达运算和推理的过程，感受运用符号进行描述的简便性。在探究方法过程中，学会借助符号表达运算和推理渗透符号意识。

片段回放

片段一：突出符号参与运算的便捷性和通识性，提高学生的符号运用意识

出示问题情境和研讨问题：1头小猪的重量=（　）只小兔子的质量

师：那你能不能用摆一摆、画一画、算一算的方法把你的想法表示出来，让在座的老师和同学都清楚地知道你是怎么想的？

教师收集了学生的资源，有学生用语言文字描述了自己的思考过程，书写比较烦琐。此时教师展示以下学生作品：

生1：我是用画一画的方法。我用一个“猪”字表示1头小猪，一个“狗”字表示1条狗，一个“兔”字表示一只小兔子，我也得到1头小猪和6只小兔子一样重。

生2：我是用不同的图形代替三种小动物的方法。我用一个“○”代表一头小猪，用一个“□”代表一条小狗，用一个“△”代表一只小兔，○=2□，□=3△，○=2×3△=6△，我也得到1只猪和6只小兔子一样重。

师：那你们比较喜欢哪种方法呢？为什么呢？

生3：我喜欢用一个字或者一种图形代表一种小动物的方法，因为看起来简单清楚。有的同学写了好多字，看起来比较麻烦。

生4：我喜欢用图形符号表示小动物的方法，○=2□，□=3△，○=2×3△=6△这样表示，都是我们熟悉的符号，即使我们有些字不认识也能看明白他是怎么想的。

生5：我觉得使用了这些图形符号，好像把跷跷板变成了等号，这样我们思考、解决问题也更加直观简单了。

片段二：在交流中深化学生符号表达的意识和能力

出示问题情境和活动要求：

师：根据这两个等量关系，2头牛的重量等于几只羊的质量呢？请同学们用自己喜欢的方法尝试解决，并把你的想法和组内的同学说说。

生1：我是用算的方法，2×3=6只羊，表示1头牛和6只羊同样重，那么2头牛就是12只羊。

生2：我用图片摆一摆的方法也得到1头牛和6只羊同样重。

生3：我是用不同符号代表不同的小动物。

师：这个同学画了一些符号，你能看明白吗？

生4：△代表猪，○代表羊，□代表牛。1头猪等于2只羊，1头牛又等于3头猪，就是6只羊，那么两头牛就是12只羊。

师（追问）：这个问题比较复杂了，看了这位同学画的符号，你有什么想和大家交流的？

生4：我觉得用符号更清楚，看上去更加简单地就把三种动物的质量表示出来了。

生5：我觉得用符号让我们能够清楚地看到1头牛和6只羊一样重。

师：在哪里看到的？来画一画。

……

师：1头牛和6只羊同样重，那8头牛和几只羊同样重呢？

生（齐答）：6×8=48（只）。

师：对，我们可以以此类推解决其他问题。

深度思考

本案例的核心任务是渗透借助符号进行运算和推理的意识，片段一是重在引导学生在对比交流中，感受到符号表达参与运算使问题解决更加便捷；片段二是重在指导学生理解符号的多元表征，在不同中寻求相同，提升符号参与运算的意识和能力，发展学生的数学抽象思维能力。

深入解析本案例，在解决教学关键问题时采用以下方法：

（1）调动学生多种感官，逐层培养学生使用符号进行描述和运算推理的能力。

通过前期的学情分析显示，只有少部分学生具备借助符号描述等量关系的能力。因此，在课堂上，教师要给学生提供充分的动手、动口、动脑的机会，把可操作性、参与性、自主性、趣味性和创造性有机结合起来。在探究要求中，引导学生通过摆学具、画思路、写文字和列算式等多种方法，调动学生多种感官，帮助学生找出事物之间的联系，让学生充分表达自己的想法。在展示和交流的环节中，逐层呈现多种不同的解决问题的方法，即自然语言表达—文字表达—计算表达—符号表达，引导学生逐步感知借助符号可以描述自己的想法，并且清晰地表达自己的运算和推理过程，在此过程中培养学生运用符号分析问题和进行推理的能力。核心环节在于寻找等量关系并用恰当的形式及不同层次的符号应用表达出来。其中的难点在于，在研讨中教师通过问题串的形式引导学生在交流、对比中，经历从自然语言过渡到符号语言的过程，这也是现实问题数学化、符号化的过程。

（2）重视课堂交流，提高学生使用符号进行简化表达的能力。

本节课的另一个任务就是使学生感受到运用符号描述和表达自己的运算和推理过程更加简便，并在交流中提升学生运用符号表达的能力。在活动要求中，教师提出了“看谁能把自己的想法清楚、明白地写出来，让我们大家能很容易地就看懂了。怎么想就怎么写，一会儿我们一起进行交流”的探究要求，正是这样的探究要求，使不同学生个性化的思维方式得以呈现。特别是在这个环节，给予学生充分展示自己原有思维层次的空间，学生有的用计算，有的用文字表述，有的运用学具拼摆，具有更高抽象能力的学生开始尝试用符号来代替小动物，把自己的推理过程简捷、清晰地呈现出来。正是在这多种方法的碰撞之中，学生的推理过程转化为充满生命活力的教学资源，学生也真正感受到了使用符号进行推理的简便性，学生运用符号表达数量关系的能力也在无形之中得到了提升。

从课堂反馈可以看出，由于抓住了培养学生符号意识这一关键点，教学方法比较有效，所解构的教学问题得到解决，学生的符号理解能力和表达能力均得到了一定的发展。

（案例撰写人：北京市朝阳区芳草地国际学校富力分校　杜丛）

案例CX-5-2：《奔跑吧！r、π》（《确定起跑线》，六年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在运算推理中使学生感受到符号可以进行运算和推理”。

教学内容分析

《确定起跑线》是新人教版六年级上册第五单元《圆》后面的一节综合实践活动课。这节课是学生在认识了圆、学习了圆的周长和面积的基础上进行的实践活动课程。本节活动课目的是将圆的知识与实际体育运动中的问题相融合，引导学生利用符号表示圆周率、半径以及跑道宽度等；面对比较复杂的实际情境时让学生感受到符号在运算和推理时准确、简便的优点，并培养学生在不同情境下使用符号参与运算的意识。

学情分析

围绕教学关键问题，针对教学任务对学生进行调研。

有两个大小不一样的圆形花坛，绕这两个花坛各走一圈，绕大的圆形花坛走一圈比小的圆形花坛多走多少米？

调研结果：

学生清楚如何求解，但是表达方式有所不同，具体可以分为两类：

调研分析

在学习本课之前，六年级学生已经掌握了圆的概念、圆的画法以及圆周长的计算方法等知识，因此在面对这道实际问题时学生一下就想到是利用圆周长的知识来解决。在已有认知中，圆的周长可以利用C=2×π×r来表示，已经涉及了使用符号进行运算的思想，但在这个调查中，大部分学生还是习惯于用文字表述自己解决问题的方法，如π用3.14表示，半径直接用文字描述。显然，学生的符号意识水平比较差，很难想到用符号来表达自己的观点。基于此，我们将教学关键问题解构为以下三个小问题：

（1）学生是否能在确定起跑线问题的推导运算过程中，使用符号进行推导解决问题？

（2）怎样帮助学生感受符号代替文字的推导更加简捷？

（3）如何在面对较复杂的问题时，运用字母符号代替数字进行推理运算解决问题？

目标分析

通过数学活动让学生理解相邻跑道的长度差与圆的周长以及起跑线位置之间的关系，学会确定跑道起跑线的方法，并能根据所学知识利用π、R、r、a等符号解决；结合具体的实际问题，通过观察、比较、分析、归纳等步骤，让学生通过独立思考与合作交流的方式体会符号表达简单明了、能够减少复杂计算步骤的优势。

基本设计思路

让学生了解椭圆式田径场跑道的结构并确定起跑线位置。在计算过程中尝试将π=3.14159代入算式和使用π、R、r等符号代替文字两种方式进行运算，再经过对比分析，发现符号在运算过程中的优势；在探究“起跑线的设置与哪些因素有关”时引导学生灵活使用符号进行运算和推理，培养符号意识。

片段回放

片段一：在探究问题中，感受到利用数学符号的表达方式更加清晰准确，直指问题解决的核心

【PPT出示100米与400米起跑线画面，让学生观察不同之处】

师：这是100米比赛的起点，这是400米比赛的起点，大家看看有什么不同？

生1：100米比赛的起点在同一起跑线上，而400米比赛的起点不是。

师：为什么呢？

生2：因为400米的终点是一样的，外圈跑道要比内圈跑道长，所以不能在同一起跑线上起跑。如果那样的话，跑道越在外的运动员跑得越多，就不公平了。

师：你准备怎样确定起跑线的位置呢？我们以第1跑道和第2跑道为例，大家有什么好想法？

生3：外圈跑得多，里圈跑得少。要使他们跑得一样多，所以外圈要往前提一段距离。

师：要使他们跑得一样多，我们移的那一段应该是多少呢？

生：第2跑道长度与第1跑道长度的差。

师（小结）：现在我们把生活中确定起跑线的问题转化成了数学问题，两条跑道相差多少，起跑线就要向前移动多少。

师：你理解得非常正确！现在你们能计算出第2跑道比最内圈跑道起跑线前移多少米吗？请同学们小组内商量好用什么方法，需要用到哪些数据，然后列式计算。

生1：外圈全长-内圈全长。

生2：外圆周长-内圆周长。

生3：2πR-2πr。

师：对比三位同学的回答，你觉得哪位同学的回答更加有利于我们解决这个问题，说说理由。

生4：第三位同学的答案。前两位同学的回答是告诉了我们要解决问题的大方向，而第三位同学的回答不但指明了大的方向，而且告诉我们要关注圆环内、外半径。

生5：我给同学补充，第三位同学的答案，简捷明了地利用圆各部分的字母符号，清晰地告诉每一个学过数学的人，操场跑道的问题可以解释为一个圆环的内、外圈周长问题，而且清楚地指向了要关注它的内、外半径，即“R”和“r”。

片段二：符号参与运算，能有效避免因为计算而造成的障碍，便于发现规律解决问题

出示图形：

师：我们已经确定了第2跑道的起跑线位置，你能确定其他跑道起跑线的位置吗？

生1：继续算出第3跑道比第2跑道长多少米，第4跑道比第3跑道长多少米……

（学生在计算中虽然使用了计算器，但是计算结果仍然出现了错误。）

生2：我发现每条跑道的起跑线都要比前一起跑线前移2×1.25π米。

师：为什么？你能解释给大家听听吗？

生2：因为刚才我们已经总结出“相邻跑道长度差=外圈道长-内圈道长”，那么我们运用这个公式来计算后面的相邻跑道长度差。

从算式中我们可以看出每组相邻跑道长度差都是2.5π米。

师：可是老师仍然有疑问，为什么这些算式中的半径不同，算出的结果却都相同呢？如果外面再多加几条跑道，结果还会一样吗？

生：因为道宽是相同的，外圈弯道长度总是比内圈弯道多2.5π米。

师：如果把道宽调整到2米呢？3米呢？或者更宽呢？你想到了什么？

生：如果道宽是2米，那外圈弯道长度就比内圈弯道多2×2个π。如果是道宽3米，那外圈弯道长度就比内圈弯道多2×3个π。

师：你能用你喜欢的方式表达发现的规律吗？

生：2πR-2πr=2（R-r）π。

师：这个算式你能看懂吗？它告诉了你一个什么规律？

生：外圈弯道总是比内圈弯道长道宽的2π倍。

用d表示最里圆弯道的圆直径；用b表示道宽。

第1弯道：πd

第2弯道比第1道长：（d+2b）π-πd

=πd+2bπ-πd

=2bπ

第3弯道比第2弯道长：（d+2b+2b）π-（d+2b）π=2bπ

……

师：这样，当确定第1跑道起跑线后，如何最快速地确定后面起跑线？

生：我们只要量出道宽，用“道宽×2π”就可以算出起跑线相邻的距离。

师：请你对比以上几位同学的方法，你有什么想法想要和大家交流？

生1：我发现在解决这个问题的时候，如果用数字的话计算起来特别麻烦。

生2：我同意生1的想法，第一组同学虽然使用了计算器，但是我们还是能看到他们有计算错误的现象出现。

生3：如果我们用数字计算不但容易错，而且不容易发现规律。

生4：我觉得这个问题如果我们使用符号找规律的话，第一，计算量小不容易算错；第二，用符号还特别容易找到相邻两弯道之间的规律。

深度思考

本案例的核心任务是培养学生运用符号进行推理和运算的能力，为了更好地完成教学任务，课前安排学生完成了小调查的内容，请学生阐述自己的解题思路以及结果，了解学生圆周长知识的掌握情况和使用符号解题的普遍度。调研结果显示完全使用符号表示结果的学生较少，反映出学生的符号表达意识和运用能力水平参差不齐，整体较弱。

片段一中呈现了符号运用，在解决问题中更能清晰地指向问题的核心。片段二教师通过多种方法的对比，在引导学生充分展示和交流中，进一步体会符号参与运算后所带来的便捷性，简化了数字运算的烦扰，更加突出规律的本质。

深入解析本案例，在解决教学关键问题时采用以下方法。

（1）放手尝试自主解决实际问题，培养使用符号进行推理运算的能力。

联系生活实际创设问题情境。通过展示100米比赛和400米比赛起跑线位置的画面，调动学生学习的积极性，启发学生思考“如何确定起跑线”。从“起点为何不同”到“如何确定起跑线”一步步深入。在解决问题的过程中充分相信学生，给予充足的时间和空间。学生综合运用所学的数学知识，动手实践解决问题，在活动中利用导学记录单及时记下研究的成果。在上述案例片段中可以看出学生呈现了多种解决方案，有较具象的给圆周率取近似数然后运用数字进行计算的方案；也有学生呈现出了使用数字计算和用字母符号π代替圆周率进行推理运算的半数字半符号的推理演示；还有的同学表征半径、道宽和圆周率的关系都脱离具体数字，使用字母符号和数学符号进行推理运算，表达跑道长度之间的规律。

（2）对比反思，提升符号理解能力以及运用符号进行推理和运算的能力。

在学生充分活动的基础上再组织全班进行研讨，鼓励同其他小组的同学进行沟通和交流，不仅能提出自己的策略也能对别人的方法表示质疑或肯定，从而对多种算法进行优化。如将用文字表述的答案、将π=3.14159代入算式的答案和利用R、r、π等符号表示的答案呈现到大屏幕上，让学生交流讨论，将这三种表达方式进行对比，选出最优的方法并说明理由。在交流中发现，利用符号可以将相邻两条跑道长度差的计算方法从繁杂到简捷、从苦算到活化。分享经验后得出最简捷的表达方式：（R-r）×2×π。

（3）设计计算障碍，在解决问题中提高学生运用符号进行运算的能力。

为了能够提高学生使用符号代替文字进行推理解答、解决复杂问题的能力，在探究“起跑线的设置与哪些因素有关”时，教师特意设置了需要计算多组数据再进行比较分析、总结归纳的学习活动。为了使计算结果接近实际跑道长度，原始数据采用真实标准跑道的数据，π取3.14159，加大了学生的计算难度，虽然课上借助了计算器但是学生的计算错误还是屡见不鲜，因此更能体现出利用符号推理运算的必要性。在起跑线的确定过程中，学生充分感受到使用符号进行运算更加便捷，提升了符号表达意识和运用符号进行推理的能力。

从课堂反馈可以看出，由于抓住培养学生的符号意识这一关键点，教学方法比较有效，所解构的教学问题得到解决。

（案例撰写人：北京市朝阳区芳草地国际学校富力分校　杜丛）