小学数学教学：培养学生运用符号表示数量关系

1.用符号表示数量关系在数学教学中具有重要意义

《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》指出：“符号是数学的语言，也是数学的工具，更是数学的方法。”也就是说，用符号表示既是一种数学思想，也是一种数学方法。学生学习数学在某种意义上来说，就是学习符号的意义，会运用符号工具解决实际问题和数学内部的问题，进而发展符号化思想，培养符号意识，发展数学抽象素养。符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。数学符号是数学研究不可缺少的工具，符号化是数学抽象化的必然结果，是开辟新的数学领域的先导。统一标准化的数学符号的使用，使人们便于抽象概括、逻辑论证和思想交流；也使世界上不同国家、地区、民族之间便于进行数学交流；数学符号的抽象、准确、理深意简的优越性更是日常语言无法比拟的。

在数学思考的过程中，我们总是要借助数学符号来表达问题中的数学对象和数量关系。用数学符号表达数量关系的过程正是学生思维活动外显的过程，也是其思考由浅入深、从表象到内涵、从具体到抽象逐步升华的过程。在这个过程中，学生应该学会主动选择符号来表达数量关系，能够应用恰当的符号来表达数量关系，并能在需要的时候进行替换。因此，我们在教学的过程中，要尽可能从实际问题情境出发，帮助学生经历数学符号从具体到抽象、从一般到特殊的过程，发展学生自己使用符号表示数和数量关系的能力。在这一过程中积累运用数学符号的活动经验，更好地感悟数学所蕴含的思想本质，体会数学符号的意义。因此，培养学生符号意识成为现今课堂教学中研究的一个必不可少的方向，是发展学生数学抽象素养的重要抓手。

2.学生运用符号表示数量关系的能力亟待提高

数学符号对于小学生来讲还是“既熟悉又陌生”的，学生能从具体情境中抽象出简单的有用信息，并用符号表示出来吗？学生具有良好的运用符号的意识和能力吗？对此，我们进行了如下调研：

（1）小明n岁，小明的妈妈比小明大30岁，三年后小明（　）岁，妈妈（　）岁。

经过调查，两空都正确的概率只有45.1%，有用3x表示小明年龄的，有用n+30表示小明的妈妈的年龄的。经过测后访谈我们发现：有的学生不能发现变化规律；有的学生表示知道三年后妈妈和小明都长了三岁，但是题目没有告诉他们的年龄，所以不能表示；还有的学生知道规律，但是不能用正确的数学符号进行表达。

（2）你认为ab=c这个数学表达式可以表示下列哪些数量关系？

A.长方形的面积与长、宽的关系

B.路程与时间、速度的关系

C.总价与单价、数量之间的关系

还可以表示什么意义？

本题主要考查学生对符号表示的数量关系的认识。ab=c是一个一般的表达式，但是如果给定特殊的环境，就赋予了它特殊的意义，即数量关系也有了特定的含义。此小题一般学生会正确选择，但是到填空的时候只有47.4%的同学选择的答案正确，也就是说，学生对符号表示的数量关系没有理解透彻。调研后，教师又对学生进行了随机访谈：

师：你觉得ab=c可以表示什么？

生：表示面积与长、宽的关系。

师：除了表示面积与长、宽的关系还可以表示什么关系，例如路程与速度、时间的？

生：不可以，因为路程与速度、时间的关系是用vt=s表示的。

师：假设我现在用a表示时间，b表示速度，那么ab表示什么？

生：表示时间与速度的乘积。

师：时间与速度的乘积叫作什么？

生：路程。

师：现在我能用ab=c表示路程与速度、时间的关系了吗？

生：可以。

分析数据与对学生的访谈结果可以看出，部分学生对符号表示数量关系不能进行一般性的掌握，而是停留在想象的特定情境中，这说明学生不能灵活地运用符号表示数量关系，只是靠具体的知识来选择，没有深刻地理解符号的含义，也反映出要加强对其抽象思维的培养。

通过对几道题目呈现数据的分析与思考，学生在符号表示数、数量关系这个维度上答对的正确率要低于上一维度，而且发现很多题目如果第一维度掌握不好，接下来也会出错。学生对符号表示数、数量关系的状况是一个由简单到复杂、由相对具体到相对抽象的过程，所以出现学生对符号的本质理解不全面、对符号的表示应用不灵活等问题。

3.教师对学生运用符号表达数量关系能力的培养有认识但缺少策略

如在《用字母表示数》的教学中，在学生依次用算式表示摆2、3、4个三角形需要的小棒根数后，教师引导学生思考：有什么办法把全班同学想摆的三角形的个数表示出来？小棒的根数是多少呢？这是学生的思维会出现阻碍的地方。稍作思考后，教师指名叫学生进行口答，学生脱口而出：可以用字母a表示任何数量的三角形，那么所用小棒根数就是3a个。这个回答非常完美，教师也不失时机地让更多的学生重复这一“优秀”的想法并将其板书在黑板上，似乎这节课的教学任务至此完美收官了。但是这一环节的操作，却错过了对学生进行符号意识渗透培养的大好时机，口答的方式以一概全，一人的思考代替了全班学生的思考。此时，如果教师能够给全班学生一个自己动笔表达的空间，相信学生们会以自己的方式用多种符号呈现自己的理解。再组织学生对多种符号表达进行比较，在不同之中发现共同点，进而发现用符号表达概括数和数量关系的一般规律。课后，笔者也和教师进行了简单的交流，教师表示知道本节课要发展学生的符号意识，认为本节课上学生已经呈现了用字母表示数和数量关系的可行性和简捷性，达到了自己预期的目标。

通过上述案例和课后与教师的交流发现，教师从《教学课程标准（实验稿）》的实施到《义务教育数学课程标准（2011年版）》的颁布，提起“符号感”“符号意识”，教师们无不感到熟悉，通过学习新课标，听专家解读新课标，特别是对《义务教育数学课程标准（2011年版）》中核心概念的解读，教师们在教学中也认识到培养学生符号意识的重要性，教学中教师们有自己培养学生符号意识的方法，而且都是从学生的实际生活经验和实际问题中体验符号的应用和价值。但是，在课堂教学中，教师却更关注对知识的教学，而对知识中所蕴含的很多新符号的引入有“顺带”的嫌疑，符号教学大多是无意识、无目的的活动。

综上所述，符号教学缺乏目标定位，对学生符号学习的困难缺少及时的关注和解决。教师普遍认为学生在数学学习过程中需要具备符号意识，但是对如何在课堂上培养学生的符号意识，发展学生数学抽象素养，教师表示缺少可操作的实际方法。

案例CX-4-1：《跳出数字看数学，认识符号学方程》（《方程的意义》，五年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在方程教学中培养学生运用符号表示数量关系”。

教学内容分析

本课的教学内容是《方程的意义》。《义务教育数学课程标准（2011年版）》把“式与方程”作为义务教育阶段培养学生的数感、符号意识、模型思想及发展学生的应用意识和数学抽象素养的重要内容。本节课重在借助解决实际问题的情境，在探究活动中帮助学生理解和表达具体情境中的数量关系，并促使学生自觉应用符号表达已发现的数量关系，进一步发展学生的符号运用能力和数学抽象素养。

《方程的意义》这部分内容的学习是在学生已初步学习了一些代数知识，具备了一定的符号理解能力和符号表达能力，如用符号表示数、用符号表示运算定律和计算公式、用含有符号的式子表示数量关系等基础上进行教学的，体现了从数字到符号、从具体到抽象、由浅入深的编排设计思路。

学情分析

《方程的意义》对于学生来说是一堂全新数学概念课，是代数思维的一次提升，是数的认识上的一个飞跃。

①调研学生是否已经有用符号表示未知数的意识以及学生会用什么样的符号描述图中的未知数？

②学生对于天平呈现的重量相等的数量关系的理解和用符号表达的程度如何？

针对以上两个问题设计了如下调研题目：观察下图你发现相等关系了吗？请把你发现的相等关系表示出来。

调研对象：芳草地国际学校富力分校五年级2班的36名学生。

调研结果如下：

情况1：用文字描述天平两边的状态。

一只螃蟹300克等于三只虾的质量

一个苹果240克等于两个橘子加上一根香蕉的质量

情况2：半符号化描述天平状态。

300克=3只虾

240克=2个橘子+1根香蕉

情况3：用纯符号描述天平状态。

300=3x

240=2x+y

300=3□

240=2○+1★

由此可以发现，36份问卷中，只有10份问卷（即27.8%的学生）运用含有符号的等式形式来表达相等关系，处于数量关系抽象的第三个层次：符号化表达。

调研分析

结合调研数据，教师又对没有作答的3名学生进行了访谈。发现学生之所以没有解答是因为学生能够发现图中的等量关系，但是不会表达这种等量关系。通过以上的数据和访谈结果发现：学生通过前一节《用字母表示数》的学习已经初步具备了用符号表示未知数的意识，但是对数量关系的表达大多停留在文字和半符号化表达的层次。

根据课标要求结合对本课教学任务的调研分析，我们将关键问题初步解构为两个小问题：

（1）学生在理解符号表示数的基础上能否进一步理解符号表示简单的数量关系？

（2）怎样在方程教学中培养学生理解运用纯符号表达数量关系的能力？

目标分析

借助天平实物，经历从生活情境到方程建模的抽象过程，在解决问题教学中培养学生理解并运用符号表示数量关系，进一步发展学生的符号意识，提升学生的数学抽象素养。

基本设计思路

借助天平，建立方程的模型，在感受方程意义的过程中，通过对比交流，深化理解方程的意义，沟通数学符号与图形符号的联系，体会符号形式的多元性和实用性，进一步发展学生运用符号表示数量关系的意识和能力，提升学生的数学抽象素养。

片段回放

延续课前调研中的天平情境，创设天平称物的连环画情境，理解并表达数量关系，为学生自主应用符号来表达数量关系提供思考和操作空间。

片段一：引导对学生熟识的“＞”进行关注，感受数学符号的简捷性和通识性

师：现在这个小组正在称一杯水的重量，我们来看看他们是怎么做的？看明白了吗？那就请你用式子来表示每一幅图中天平的状态。

师：你们都是怎样表示的呢？

图1：

图2：

图1中呈现的都是已知量，学生可以非常顺利地用50+50=100的等式表示。观察图2得知一个空杯子重100克。

图3：

学生作品展示：①杯+水＞100；②100+水＞100；③100+？＞100；

④○+100＞100;⑤100+x＞100。

师：谁看明白了？它们的表达有什么相同和不同？

生：相同是都应用了“＞”号？

师：为什么都会在描述这幅图时使用“＞”号连接式子的左右两边？

生：因为现在天平反映出左边比右边重，也就是左边的重量大于右边的重量，所以用数学符号“＞”表示这种大小关系。

师：为什么不用中文写呢？

生：因为我们学习过“＞”，知道它表示大于的意思。

生：我们使用符号表示大于的关系更加简捷，而且更有通用性。

师：大家在这里不约而同地使用了“＞”，它比用文字更加清晰简捷。

片段二：在分类对比中，培养学生运用符号进行数量关系表达的能力

图4：

学生在活动中用多种方式呈现了自己对图中天平状态的描述：

①杯+水=250；②100+水=250；③100+？=250；④100+○=250；⑤100+x=250。

师：五种表达方式，如果请你分类，你会怎样分？

学生分类：【半符号化表达】①杯+水=250；②100+水=250。

【符号化表达】③100+？=250；④100+○=250；⑤100+x=250。

师：你这样分类是怎样想的？

生1：前一类的式子里有文字。后一类的式子里没有文字，是用符号表示了不知道的杯子重量。

师：你同意他的想法吗？第二行式子中的符号代表什么意思？

生2：符号表示不知道杯子里的水有多重。

生：天平左边的杯子中倒满了水，右边放250克的砝码，天平平衡，说明一杯水和250克一样重，如果水的重量是x克，可以用100+x=250这样的等式表示。

师：你能说一说，第二行这三个式子表示的含义吗？

生：这三个式子都表示了天平左边杯子的100克加上不知道的水的质量一共等于右边托盘里面砝码的250克。

生：天平上水加杯子的质量等于250克。

师：两类表达方法都是表示左边的一个杯子的质量加上水的质量等于右边的250克，你更喜欢哪种表达？说说你的想法。

生1：喜欢符号化表达，简单明了，直接表示了图中天平的意思。

生2：符号更加通用，谁都能看得懂，不必纠结于字义，减少了无关信息的干扰。

生3：我同意大家说的，我也喜欢用符号代替不知道的水的质量，我更喜欢用字母的表达方式，因为图形符号容易和数字混淆，字母符号更加清晰而且书写更加简单。

深度思考

片段一中，教师借助学生学习和生活中熟悉的天平创设了实际问题情境，在学生描述中，教师引导学生对自觉运用到的“＞”数学符号进行关注，在交流中进一步体验数学符号在使用中的简捷性和通识性。

片段二中，教师注重通过问题引导学生对多种表达数量关系的方式进行分类，在对比、交流中提高运用符号表达数量关系的意识和能力。

深入解析本案例，在解决教学关键问题时采用以下方法：

（1）创设情境，在解决问题过程中理解符号。

在数学的学习中，单纯学习符号的过程是枯燥且抽象的，但将符号融入生活问题中就能够使其散发光彩，让学习符号的过程变得生动起来。所以，教师在培养学生的符号观念时，要让学生了解符号与生活的关联，了解符号的作用，传递给学生使用符号的优越感，让学生产生自觉探究符号的欲望，以此形成使用符号的意识。例如在本案例中教师采用连环画的形式展示学生熟悉的天平，在加水测量的变化过程中，激发学生运用符号表达多种数量关系的需求，在实际情境中体会符号表达的准确性和简捷性。

（2）在问题引导和交流中，发展学生的符号表达能力。

本节课还承担着进一步发展学生符号理解能力和符号表达能力的任务，因此本节课上在展示资源环节刻意给足时间，让不同层次不同方法的学生充分暴露运用符号进行数量关系表达的方法，力图在学生的相互交流中提高学生用符号表达数量关系的能力。本节课的教学环节可以用下图进行表示：

在上述过程中，核心环节是寻找等量关系并用恰当的符号形式及不同层次的符号应用表达出来，其中的难点是在研讨中，教师通过问题串的形式引导学生在交流、对比中完善从文字到半符号化再到纯符号化的数学语言提炼，表达现实生活中的等价关系的过程，这也是现实问题数学化、符号化的过程。

整个教学设计体现了史宁中教授所倡导的对培养学生的符号意识必须适当地、分阶段地进行训练，学生符号意识的形成不是一朝一夕就可以完成的，而应该贯穿于整个数学学习的过程的理念。

（案例撰写人：北京市朝阳区芳草地国际学校富力分校　陈洁）

案例CX-4-2：《“x”让一切变得简单》（《实际问题与方程》，六年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在方程教学中培养学生运用符号表示数量关系”。

教学内容分析

在小学数学抽象思维培养中，根据小学生思维特征显示应从两个方面入手：一是要重视动手实践过程，促进学生逻辑思维发展。二是要由浅入深，向抽象思维活动发展。本案例的教学内容较好地体现了这两点，首先通过对资源中的未知量与数量关系进行理解分析，让学生的逻辑思维得到训练；其次在用符号表达未知量以及数量关系，求解未知量过程中，使学生发展符号表达能力，体会方程的便利性。

本节课以学生熟悉的篮球比赛生活情境为载体，在实际问题情境中分析较复杂的数量关系，并用符号表示未知量、表达等量关系进而解决问题。

学情分析

围绕教学关键问题，针对教学任务对学生进行调研。

我校篮球队参加篮球比赛，上下两场一共得了42分，下半场得的分数是上半场的一半，想求出上、下场分别得了多少分，你有什么办法呢？

调研结果：

学生的方法多样化，从思维的角度来划分，这些想法可分为两类：

第一类：运用画图分析数量关系，运用算术方法解答。

下半场得分：

上半场得分：

全班共32名学生参与调研，其中25人采用算术方法，占总人数的78.1%。

第二类：用符号代替未知量，表达数量关系解决问题。

解：设下半场得x分，则上半场得2x分。

x+2x=42

3x=42

x=14

2x=2×14=28

全班共32名学生参与调研，其中只有7人采用方程思路，占总人数的21.9%。

调研分析

从调研结果可知，在解决两个未知数数量关系的实际问题时，虽然学生已经学习了方程，会用字母表示未知量，但是在解决实际问题时，学生受到思维定式以及习惯的影响，首选方法还是算术方法，运用符号表达未知数的意识淡薄。因此，本节课的教学目标不光是引导学生解决问题，更应该落实在“面对较为复杂的实际问题，使学生能有意识使用字母符号来代替未知数的数量”。这是培养学生数学抽象思维的基础。基于此，我们将教学关键问题解构为下面两个小问题：

（1）在面对较复杂的实际情境时，学生能否有意识地运用符号代替未知量？

（2）如何培养学生准确使用数学符号，正确表示出较复杂的数量关系？

目标分析

在解决实际问题的过程中明确列方程解答稍复杂的“和倍”分数实际问题的解答思路；在对比观察中，理解从不同的角度思考问题的方法，进一步感受方程的优越性并有意识用字母符号来代替未知量，发展学生的符号运用意识。

基本设计思路

通过出示情境，引导学生阅读理解题中信息，独立思考尝试解决问题，通过展示出多样化的资源，激发起学生对方程的关注，交流分析出未知量及其数量关系。引导学生体会到方程的顺向思考的价值，感受到利用符号表示未知量的便捷性。

片段回放

片段一：有效利用学生资源中的方程方法，引导学生感受利用字母符号可代替未知量

教师出示情境图，学生自主审题提取信息和问题，并尝试利用已有的知识经验解决问题。教师组织学生进行方法交流，部分学生运用习惯的算术思路，即利用“份”或“分数乘法的知识”来分析解决这一实际问题。基于这种课堂现实，教师收集了学生资源中的运用字母符号代替未知量的方法，进行展示和充分的研讨。

师：这位同学的想法和刚才的同学很不一样，我们再来看看这位同学的解法。

生1：

解：设下半场得分为x分，则上半场得分为2x分。

x+2x=42

3x=42

x=14

2x=2×14=28

师：对比这位同学的方法，最大的不同是什么？

生2：这位同学使用字母x代替了我们不知道的上半场得分，用2x代替了下半场的得分。然后假设这两个条件都知道了，就利用下半场得分+上半场得分=全场总分这个关系列出了方程。

师：仔细看看他的方法可行吗？有道理吗？

生2：可以，因为上半场加下半场的分数是总分数，两场得分的和是42，他用x表示下半场得分，2x表示上半场得分，那x+2x就等于42分了。

师：我们再看另一位同学的方法，有什么不同吗？

生3：

解：设上半场得分为x分，则下半场为分。

生：都是用上半场加下半场的得分等于全场得分，只不过他是用字母x表示上半场得分，那么下半场得分就是分了。

师：请你对比观察这两位同学的方法，你有什么发现？

生：这个问题比较复杂，要求两个未知量，这两位同学都是使用字母符号来代替未知量，然后顺向思维就能找到数量关系，列出方程了。

生：我还发现，两位同学找到的等量关系一样，但是因为他们设的字母x所代表的未知量不同，所以列的方程不同。

师：正如你们所说，在解决问题时，即便列方程时用的等量关系是相同的，如果我们使用字母表示的未知量不一样，就会导致列出的方程不一样。在解决问题的过程中，可以运用字母符号来表示任意未知量，并根据数量关系解决问题。

片段二：对比算术和方程方法，在辨析中感受到符号的运用使问题解决思路更加简化

师：解决了这个问题后，请大家来思考，今天我们所解决的实际问题和以前的问题有什么区别呢？

生：题目中出现的两个量都是未知的，数量关系分析起来更复杂了。

师：面对更复杂的实际问题时，我们有很多种方法去解决它们，对比这些方法，你更喜欢哪种呢？

生：我更喜欢使用字母代替未知量列方程的方法。

师：你为什么会觉得用方程更加简单呢？

生：因为我们可以用字母代替题目中的两个未知量，这样把不知道的想成知道的，然后我们只需要按照题目中的数量关系顺向思维，就可以列出方程了。解方程就不是问题了，实际问题也就迎刃而解了。

深度思考

本案例的核心任务是通过在方程教学中，培养学生理解并运用字母符号表示数和数量关系进而培养数学抽象思维，它被解构为两个关键小问题，在本案例的活动中关键是解决在面对较复杂的实际情境时，使学生有意识地运用字母符号来代替未知量表示复杂的数量关系。片段一是在教师发现面对实际问题大多数学生仍旧习惯运用算术思维时，收集学生中的方程资源，引导学生进行观察对比，理解运用符号代替未知量，根据数量关系列出方程的思路是可行的。片段二，教师引导学生对算术方法和方程方法进行辨析，在交流中感受到方程方法的思维顺向性、便捷性。提高学生对运用符号表示未知量和数量关系的意愿，培养自觉运用符号的意识和能力。

深入解析本案例，在解决教学关键问题时采用以下方法。

（1）体验符号表达过程，发展学生的符号表达能力。

为使学生体会到用字母表示未知量的简捷性，并自主产生利用方程来解决较为复杂的实际问题的意愿，教师创设了较为开放的空间并且提供了相对充足的时间，用问题串引导学生自觉地去分析对比方程的优势，学生自然而然地体会到用字母表示未知量列等量关系的便利性，激发学生对数学方程思想、模型思想的兴趣，培养学生利用符号表达复杂数量关系的能力。

通过对两个未知量和两个数量关系的分析，学生能利用一个未知数和一个数量关系表示出另一个未知数，再利用另一个数量关系列出方程，说明学生对方程的方法是有较为基础的掌握的，只需加深其对方程的应用意识；通过分析不同方程思路，并能想到多样地使用字母符号代替不同未知量的设未知数方法，理解不同数学符号所表达的意义。在解决问题过程中提高学生使用字母表示未知数以及复杂数量关系的能力。

（2）注重对比交流，提升学生的符号理解能力和运用能力。

通过学生自主对比、交流，感受到用字母表示未知数列方程解决实际问题的思路更清晰，方法更简捷，可以更好地加深学生对方程的掌握及运用，从而培养学生的数学抽象思维。

教师从关键问题要突破的根源出发，从培养数学抽象思维能力的目的来分析教学内容。充分利用教材所提供的实际情境，给学生留有充分的多种方法交流碰撞的空间，在算术方法和方程思路的对比交流中，帮助学生感受运用字母代替未知量表示复杂的数量关系更加简捷，体现符号的应用价值，培养学生运用符号表示复杂的数量关系的能力，进而培养学生的数学抽象思维。

（案例撰写人：北京市朝阳区芳草地国际学校富力分校　陈洁）