小学数学中培养学生对数量关系的抽象感悟

1.在比较关系中抽象出数量关系，对发展学生的数学抽象具有重要意义

数学和其他科学一样，都具有抽象性。数学研究从具体内容中抽象出来形式、结构和数量关系。数量关系的建立与学生对现实世界的数学问题的感知和理解密切相关。在比较关系内容的学习中，联系生活实际，把现实问题用数来表示，用数学语言描述，从现实问题理解运算是建立数学抽象的重要途径。比较关系的教学可以帮助学生认识到数是刻画现实世界数量关系的重要语言，学生前期通过语言、操作、游戏等活动接触过数和数的运算，对数和数的运算、常见的量有了一些初步的感知，是对数量关系的感悟，是将对数的认识融入以具体形象为主的思维形式中，重视数字的现实意义，强调紧密联系身边的事物，学生能体会到数字可以用来表示和交流，也可以刻画现实世界之间存在的数量属性的特点。

建立数学抽象有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。因此笔者一直在思考，如何通过比较关系这一类课程发展学生的数学抽象。

经过调研，我们认为培养的关键就在于把握课程中一个数字与其他众多数字关联的意识，以及理解数字关系的能力。在课程中我们要培养学生在面对具体情境中的众多数字时，能够找出数字之间的联系，同时通过选择合适的算法解决问题，从而通过观察、分析，抽象出数量关系或数量关系式，在这个研究的过程中逐步发展学生的数学抽象。最后利用抽象出来的数量关系解决生活中的实际问题，让学生进一步体会和感悟数学抽象。

2.学生能够渗透“标准”意识，正确表述三个数量之间的关系，以及在具体情境中抽象出数量关系式的能力亟待提高

全面培养学生的数学抽象就是让学生更多地接触和理解现实问题，有意识地将现实问题与数量关系联系起来，学会将一个生活中的问题转化为一个数学问题。并自觉、主动地与一定的数学知识和技能建立起联系，这样才有可能建构与具体事物相联系的数学模型，发展数学抽象。

为了更好地了解学生在比较关系中抽象出数量关系的能力，找到学生的生长点，有意识地对学生进行了课前调研。

在“比一比、说一说”中，调研的问题是比较红、黄、蓝三种颜色的球的数量关系，其中红球58个、黄球10个、蓝球15个，分层抽样了学习程度各不相同的6名学生，其中5名学生都理解三种颜色的球数量之间的关系，能够用自己的语言表达出“谁多谁少”。同时理解三种颜色的球数量之间关系的5名学生中又有3名学生能够用“多一点、少一点、多好多”等词语描述三种颜色的球数量之间的关系。但是在两个量和三个量比较中他们不会用“多一些、少一些、多得多、少得多”这样的话来叙述，不能在确定一个比较量的基础上，渗透“标准”意识，用具体的符号、关系表达比较的结果。因此，在比较的过程中建立标准，同时学会用简单、有条理的语言清晰地描述数之间的大小关系，正确把握比较方法，能用具体的符号、关系表达比较的结果，以此为基础培养学生的数学抽象就转化成了本节课的重点。

在“单价×数量=总价”的调研中，部分学生找不到各个数字之间的联系，不能够理解数字背后隐藏的含义，不能准确地筛选出有关联的数量关系，较难从具体情境中抽象总结出“单价×数量=总价”的数量关系式，因此课中要注意培养学生理解各个数字背后的含义，寻找一个数字与其他众多数字关联的意识，建立起数字与计算之间的联系，让学生知道算式的每部分所表示的意义，引导学生形成单价、数量、总价的表象。由于大部分学生不能抽象出“单价×数量=总价”的数量关系式，因此引导学生抽象概括出数量关系式，发展数学抽象就转化成了本节课的重点和难点。

以上的两个问题表明学生在两个量和三个量的比较中，不会渗透“标准”意识，不会用“多一些、少一些、多得多、少得多”这样的话来表达三个量之间的数量关系。同时也较难从实际问题中抽象出数量关系式，因此这些问题对发展学生的数学抽象都造成了一定的阻碍。

3.教师忽视让学生多去经历、去探索的学习过程，错失培养学生深刻理解数量关系、发展数学抽象的良机

知识内容需要建构体系，也就是让学生脱离实物，用数进行“思考”：学生把数与实物模型联系起来；学生能够运用抽象出的数学模型，解决一些较为复杂的数学问题。教学设计随着学生认知的逐步清晰，抽象能力也逐步提升。在培养数学抽象的过程中，要求我们既要注重“知识与技能”的结果，也要关注“知识与技能”的形成过程。强调知识与技能的重要性，是强调以知识和技能为载体，引导学生感悟其中的数量关系，抽象出数量模型，解决数学问题。

数学教学不是把现成的结论教给学生，教学设计应尽量避免直捣问题，直接问学生“多得多，少得多”怎么用，学生无法感悟。设计问题要从实际出发，设计的问题要让学生有非常具象的、很明确的东西去思考，又要让学生想得出，学生经过短时间的思考可以解决，让学生在解决问题的过程中体会数量之间的联系，抽象出数量模型。教师在教学问题中也存在一些不足。

在借助线段图建立“标准”，理解三个数量之间的关系时，教师可以先给足学生时间和交流的机会，教师抛出一个问题：你有什么好方法来说明“多一些”和“多得多”的区别？让学生自主思考和研究解决问题的方法策略，经历“多一些、少一些、多得多、少得多”的探究过程，让学生更多地在比较关系的探索中深刻体会和感悟三个数量间的关系，使其知其然并知其所以然，进一步培养学生的数学抽象。

另外，教师在让学生观察、对比、分析几个相同意义的数量关系式时，可以多给学生一些时间和空间去让他们自主交流，归纳出“单价×数量=总价”的数量关系式，而不是由教师直接给出定义，应该多让学生去对比、归纳，从而能更好地帮助学生去理解算式每一个部分的含义和背后的意义，对比、归纳出异同点，从而进一步理解数量关系，抽象出数量关系式，发展学生的数学抽象。

综上所述，将如何在比较关系中培养学生对数量关系的抽象感悟作为关键问题。

案例CX-3-1：《从比较关系出发抽象出若干构成要素之间的数量关系》（《比一比　说一说》，一年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在‘比较关系’中培养学生对数量关系的感悟”。

教学内容分析

本节课中亟待关注的能力点即数量关系，也就是探讨如何通过比较关系这一类课程培养学生从研究对象中抽取或建构若干构成要素之间的数量关系，渗透给学生关系抽象这一数学抽象的主要方法。

在本节课中要培养学生在比较的过程中建立标准，同时学会用简单、有条理的语言清晰地描述数之间的大小关系，正确把握比较方法，能用具体的符号、关系表达比较的结果，以此为基础培养学生的数学抽象。

学情分析

方式：访谈法。从23人抽取好、中、弱各2人。

问题：你能用自己的话描述红球、蓝球和黄球之间的关系吗？

目的：了解学生的情况，找到学生存在的问题，在教学中重点突破。

调研结果：6名学生中的5名学生都理解三种颜色的球的数量关系，能够用自己的语言表达出“谁多谁少”，理解三种颜色的球数量之间的关系的5名学生中又有3名学生能够用“多一点、少一点、多好多”等词语描述三种颜色的球数量之间的关系。学生会比较、能比较出谁多谁少，但是在两个量和三个量比较中，以15和58的比较为例，学生不清楚是要用“多得多”还是用“多一些”，这背后是学生对抽象出的三个量的比较关系感悟不足，三个量比较才有“多一些、多得多”的关系，是比较中的相对关系。

本节课可以在情境教学中帮助学生体会到抽象出的三个量，在比较中需要建立标准，不同的标准会产生不一样的结果。有了抽象出来的关系，正确把握比较方法，可以用简单、有条理的语言清晰地描述数之间的相对大小关系，用具体的符号、关系表达比较的结果。

基于以上分析，我们将关键问题解构为三个小问题：

（1）如何引导学生体会到抽象出的三个量在比较中需要建立标准，逐步提高抽象能力？

（2）怎样渗透“标准”意识，体会两个量与比较量的关系，学会用“多得多、多一些”清晰地描述数之间的相对大小关系？

（3）通过什么情境，让学生多角度地体会两个量与比较量的关系，如何用具体的符号、关系表达比较的结果，如何为建立“逐步抽象”做准备？

教学目标

借助红球情境在估一估、数一数的活动中感知100以内的数的多少，感知建立标准的必要性。借助三种颜色的球的比较活动，在确定一个比较量的基础上，渗透“标准”意识，能用“多得多、多一些”等词语清晰地描述数之间的相对大小关系。借助线段图，体会两个量与比较量的关系，能通过自主建立标准推理和判断。

基本设计思路

借助猜数游戏情境感知数量多少，感知建立标准的必要性；能借助标准将复杂的问题表达得简单化、条理化，达到抽象的简约阶段。在三个量的比较问题驱动下，学习用“多一些、少一些、多得多、少得多”表达三个量之间的相对大小关系，达到抽象的符号阶段。借助线段图，在寻找数的位置活动中，培养估数能力，能通过假设和推理建立法则、模式，能在一般意义上解释具体的数的大与小。

片段回放

片段一：借助猜数游戏情境感知建立标准的必要性，抽象出数学所要研究的对象

师：老师串手链买了一些新珠子，有多少颗？

生1：80颗。

生2：20颗。

师：你们猜的怎么差这么多呀？红球到底有多少个，我们先保留疑问。老师这里还有一个瓶子装有黄球，有10个。

师：这回谁再来猜猜红球有多少个？你是怎么知道的？

生1：我认为有56个。

生2：（手比画着说）老师我觉得10个黄球大约是这么一层，红球有这样的1层、2层、3层、4层、5层，大约有50个。

师：你看他多棒呀！他不仅是猜，而且是有根据地猜。以黄球为标准来估计其他的，这是一种很有价值的思考方法。

师小结：刚开始我们看红球时，有猜20个的，有猜80个的，差异特别大。但是这次怎么大多数同学都认为红球有五六十个呀？

生：刚才是只猜红球，这回老师给了黄球，拿黄球猜红球，我猜的数就差不多了。

师：看来以10个黄球为标准可以更好地帮助我们估计红球有多少个。

片段二：借助三个量的比较，学习用“多一些、多得多、少一些、少得多”表达，能用关系表述已经简化的一类事物

师：这三种球，你能说说它们之间的关系吗？

生1：红球多。

生2：蓝球少。

师：红球多这个我同意，蓝球呢？

生1：蓝球多。

生2：蓝球少。

师：蓝球怎么一会儿多一会儿少，那到底是多还是少呢？

生：蓝球和黄球比——多，蓝球和红球比——少。

师：哦，那看来有三个量在一起比较的时候真的不能用简单的“多”和“少”来描述。要说清谁和谁在比，比的结果是什么。

生1：红球比蓝球多得多。

生2：红球比黄球多得多。

师：（指着说）你看，多得多，多得多，我们对“多得多”是这么理解的对吗？（边指着边说，加强语气）多得多？还对吗？哎，不对了。那老师再教你一个词“多一些”，蓝球和黄球比，蓝球比黄球多一些，谁能来说说？

生：红球比蓝球多得多，红球比黄球多得多，蓝球比黄球多一些。

师：通过刚才的学习我们知道了，多少的程度不同，表达的词语也就不同了。

片段三：借助线段图在寻找数的位置活动中，培养估数能力，能通过建立标准进行推理，能在一般意义上解释三个量的相对的大小关系

出示图片：

师：我把这些黄球横着一个个摆成一行，从0开始，到这里就是10个。蓝球有15个，你猜猜蓝球从这里开始摆能摆到哪儿？你是怎么想的？

生：（学生到讲台上指指）15个大概到这儿。因为10个是这么多，5是10的一半，所以15个到这儿。

师：红球有58个，红球大概要摆到哪儿呢？你是怎么想的？

生1：好远哪。

生2：（学生到讲台上指指）10个是一段，一段、两段、三段、四段、五段，五段多不到六段，所以大概到这儿。

师：这一段就是黄球的10个和蓝球的15个的相差的部分，是多少个？

生：5个。

师：从这儿到这儿就是黄球和红球个数相差的部分，我们也数一数。

生：1、2、3、4、5、6……

生：一个一个数太麻烦了。

师：刚才怎么不嫌麻烦？

生：蓝球和黄球就相差几个，红球和黄球相差几十个。

师：怪不得我们说蓝球比黄球多一些，红球比黄球多得多呢！

深度思考

选择贴切的教学素材，进行教学设计；分析学生的思维状态，预测学生可能出现的对数量关系的模糊点。以本节课为例，学生在对两个量进行比较时比较容易，但当出现三个量时，用语言描述数量关系就出现了困难。所以把握问题的本质，把复杂的问题简单化是数学抽象的起点，问题的解构一定是在比较过程中进行，建立标准，同时要落实本节课的教学目标，学会用语言来描述数之间的大小关系，正确把握比较方法，以教学内容为载体和基础，从而培养学生的数学抽象。

在片段一的教学中，在没有标准的前提下学生猜数得出的结果相差比较大，有了参考的标准，学生猜的结果更接近了，可见标准可以帮助我们更好地估数。教师在情境教学中有意识地引领学生体会到建立标准的必要性。

在片段二的教学中，先经历有冲突的表述“蓝球怎么一会儿多一会儿少”理解比较的前提需要先确定比较对象，进而体会到如果比较的对象不同，比较的结果就会不同。在此认识基础上，学习用“多一些、少一些、多得多、少得多”表达已经抽象出的三个量之间的相对大小关系。

在片段三的教学中，学生通过前几个活动的学习经验的积累，在线段图的场景中，能找到合适的标准进行推理，进行估计时更有依据，更合理。教师可以在评价中引导学生清晰地表达推理数所在的位置的过程。

深入分析这个案例，解决数学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）创设情境，帮助学生抽象出数学所要研究的对象。

片段一中学生最初不知道如何去估计56这样100以内的大数，教学设计中为学生提供了10这样的标准，学生依靠对10的观察，在1个10和几个10之间建立了联系，学生通过具体的情境用数进行推理。学生在尝试选用标准推理后，估计的数目趋近于准确数，这个教学活动使得学生有了建立标准的意识，对数量关系的认知水平得到了发展。

（2）妙用冲突抽象研究对象，在对比中掌握新知。

片段二中设计“蓝球怎么一会儿多一会儿少”这个冲突，帮助学生抽象出对比的对象；在对比三种颜色的球的关系时，体会到“多”的程度不同可以有不同的表述。从比较中的相对关系描述中，可以看出完成本课的学习后，学生会用语言来描述数之间的大小关系，能正确把握比较方法，在此基础上，学生的数学抽象能力得到了发展。

（3）借助线段图寻找数的情境，引导学生尝试建立标准。

学生体会到了建立标准的必要性，并掌握了“多”的程度不同可以使用不同的表达。在本环节借助线段图的情境，放手让学生自己建立标准，通过假设和推理重新建模。

学生在掌握比一比、说一说的基本知识和基本技能的基础上，能结合具体的情境，进行简单的估算，发展了数学抽象。数学抽象的培养不可能一蹴而就，在一系列的教学中，要不断帮助学生反复思考，不断加深建立标准的能力，不断分析、研究，体会抽象的过程，能力的培养背后就是能对具体问题运用数量关系进行整体把握，也是抽象概括能力的逐步提升。

（案例撰写人：清华大学附属小学商务中心区实验小学　成一男）

案例CX-3-2：《从比较关系出发培养学生对数量关系的抽象感悟》（《单价×数量=总价》，四年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在‘比较关系’中培养学生对数量关系的抽象感悟”。

教学内容分析

想要在比较关系中发展学生的数学抽象，那么就需要在比较关系中抽象出“单价×数量=总价”的数量关系式，再利用数量关系式解决生活中的实际问题，进一步让学生感悟数学模型，发展数学抽象。

之所以选择本节课内容作为该关键问题的案例，是因为在解决很多问题时，会出现多个数字，这时学生就需要找到这些数字之间的关系，选择适当的算法去解决，进而抽象出数量关系式。在这个过程中发展学生的数学抽象，同时在解决问题的过程中，培养学生对数量关系的感悟，以发展数学抽象能力。

学情分析

前测：

（1）学校买来1500本图书，借给18个班，每班50本，学校共借出图书多少本？

调研结果：

有27%的学生没有理解数字间的关系，从而出错。

（2）思考下面两道题，你有什么发现？

①小红去超市买了3瓶旺仔牛奶，每瓶6元，一共花了多少元？

②一袋洗衣液30元，买了5袋，一共花了多少元？

调研结果：

有高达88%的学生不能抽象出“单价×数量=总价”的数量关系式，因此如何有效地引导学生抽象出数量关系式是本节课要解决的难点。

通过前测，反映出部分学生找不到各个数字之间的联系，不能准确地筛选出有关联的数量关系，较难从具体情境中抽象总结出“单价×数量=总价”。那么如何通过关键课程教学来培养数学抽象呢？经过调研，我们认为培养的关键就在于把握课程中一个数字与其他众多数字关联的意识，以及理解数字关系的能力。在课程中我们要培养学生：在面对具体情境中的众多数字时，能够找出数字之间的联系，建立起数字与计算之间的关系，以此为基础培养学生的数学抽象。

基于对教材和学情的分析，最终将关键问题解构为两个小问题：

（1）如何有效帮助和引导学生抽象出数量关系式？

（2）如何引导学生利用模型解决生活中的实际问题，感悟数学抽象？

教学目标

通过本节课的学习和交流，培养学生理解数字背后的含义，寻找一个数字与其他众多数字关联的意识，建立起数字与计算之间的联系。学生经历探索单价、数量和总价之间的关系的过程，抽象出“单价×数量=总价”的数学模型，培养学生抽象概括能力。最后，利用数量关系式正确解决实际问题，感悟数学抽象。

基本设计思路

在理解各个数量意义的基础上，建立各个数量之间的联系，再引导学生抽象出数学模型，最后利用数学模型正确解决实际问题，感悟数学抽象。

片段一：感悟数量含义，有意识地培养学生建立起各数量之间的联系

师：超市一周卖出5箱保温壶，每个保温壶卖45元，每箱有12个保温壶，一共卖了多少元钱？

生：5×45×12=2700（元）/5×12×45=2700（元）/45×12×5=2700（元）。

师：这么多种方法，是否都成立呢？想一想，每个算式中知道了什么，要求的是什么，算式的每部分表示的意义是什么？

生1：第二、第三这两个算式是正确的，第一个算式不正确。5是5箱保温壶，45是每个保温壶卖45元，这两个数字之间没有联系，不能相乘。

师：在解决问题时，首先要找到数字与数字之间的关系，两个数字间有关系时我们才能选择适当的运算来解决问题。

片段二：对比两个算式的特点，抽象出“单价×数量=总价”的数学模型

师：请大家仔细观察、对比这两个算式，它们有什么相同点？

生：第一个算式是用总个数乘以每个保温壶的价格等于总钱数；第二个算式是用每箱的价格乘以箱数等于总钱数。

师：两个例子中有意义相同的量吗？它们有什么相同点？

生：每个保温壶和每箱保温壶的价格、买的个数和箱数意义是相同的。相同点就是都在求一共卖了多少元钱，都是用每个物品的价钱乘以买的个数得到的。

师：在日常生活中，每个或每箱保温壶的价格叫单价；买的个数或箱数叫数量；一共花了多少元钱叫总价。

师：单价、数量、总价之间有什么关系？

生：单价×数量=总价。

片段三：利用模型解决问题，感悟数学抽象

出示问题：

师：用图中的信息自编解决问题，并思考你是用什么关系式解决的？

生1：我们班买了25套校服，每套100元，一共花了多少元？列式为100×25=2500（元），用的关系式是单价×数量=总价。

生2：每套校服100元，一共花了2500元，买了多少套校服？列式为2500÷100=25（套）。

师：这真是一个好问题。那解决这道题用的关系式是什么？

生2：知道了总价和单价，求的是数量，用的关系式是总价÷单价=数量。

师：你不但善于观察，还会变通！利用已有的关系式推出新的关系式！

生3：买了25套校服，共花了2500元，每套校服多少元钱？列式为2500÷25=100（元），知道了总价和数量，求的是单价，关系式是总价÷数量=单价。

师：在解决实际问题的时候，从一个关系式出发，通过变通可以解决不同的问题。这就是数量关系的价值！

深度思考

本案例中待解决的关键问题是“如何在‘比较关系’教学中培养学生对数量关系的感悟”。基于课程我们认为要从以下三点来着手。

在片段一的教学中教师通过暴露学生的错误引发学生思考和质疑，培养学生理解各个数字背后的含义，寻找一个数字与其他众多数字关联的意识，建立起数字与计算之间的联系，让学生知道算式的每部分所表示的意义，引导学生形成单价、数量、总价的概念。

片段二中教师通过“请大家仔细观察、对比这两个算式，它们有什么相同点”这个问题引发学生思考，在学生理解了各个数字之间的关系和单价、数量和总价的含义之后，抽象概括出数量关系式，发展数学抽象。

片段三中教师通过由易到难的练习题，引导学生经历运用数量关系解决问题的过程，并在此过程中加深对“单价×数量=总价”这一关系的认识，感受数量关系的应用价值，发展学生的数学抽象。

深入分析这个案例，解决教学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）在具体情境中感悟数量含义，有意识地培养学生建立起各数量之间的联系。

通过列举三个不同的算式，让学生发现5×45×12=2700这个算式是错误的，5是5箱保温壶，45是每个保温壶卖45元，这两个数字之间没有联系，不能相乘，只有当两个数字间有关系时才能选择适当的运算来解决问题。

（2）通过对比两个算式的特点，引导学生抽象出“单价×数量=总价”的数量关系式。

教师通过引导学生对比（45×12）×5=2700和45×（12×5）=2700算式的特点，让学生思考并寻找两个算式中意义相同的量和它们的相同点，进而引导学生抽象出“单价×数量=总价”的数量关系式。

（3）引导学生利用模型解决生活中的实际问题，感悟数学抽象。

教师通过给出100、25、2500这几个数字，引导学生自编实际问题，感悟利用“单价×数量=总价”的数学模型解决问题，同时还得到“总价÷数量=单价”和“总价÷单价=数量”关系式，让学生获得新的信息，将思维训练进行了拓展，使学生能够关注到每个数字背后的意义和联系，逐步培养学生的数学抽象，发展学生的数学核心素养。

（案例撰写人：清华大学附属小学商务中心区实验小学　刘云云）