单位建立中如何培养小学生对数量抽象的感悟

1.计量单位促进对数量的感悟

数起源于数，量起源于量，物体的大小是通过度量来确定的，度量的关键就是设立单位，而度量的实际操作，就是测量。度量单位的确定、测量的过程的经历以及测量结果的获得，都能帮助学生由对物体的定性描述发展到对物体的定量刻画，有助于学生在理解常见的量的基础上用数量描述现实生活中的简单现象，发展数感。

张奠寓先生给“测量”下的定义是：测量不仅仅是拿刻度尺去量一条线段的长度，数学的测量本质是给一条线段以合适的数。在这样的视角下，可以说长度、面积、体积测量的教学意义都是从单位的建立开始的。例如：长度是给每一条线段指定一个适当的数，并使之具有长度的三条性质；面积可定义为：数m是一个平面图形a的面积，能用m个单位正方形不重叠地恰好填满图形a。因此，所谓度量就是计算要度量的图形包含多少个度量单位，其核心要素是单位及单位个数，是否有一个定义对学生不重要，重要的是让学生体会到长度是几个长度单位累加的结果，面积是几个面积单位拼接的结果，体积是几个体积单位堆积的结果。在这个过程中，学生的感悟是学习过程中不可缺少的一环，要让学生在度量的过程中感悟单位建立的意义所在。

2.学生对数量大小的感知能力亟待提高

数学教学中，常常会看到学生得出这样的作业结果：小明的身高12米，一个苹果140千克，绕操场跑一圈要1小时，一瓶矿泉水500升，等等。很多教师会有点哭笑不得。但作为数学老师，我们就应该去思考：为什么学生对数量单位，也就是数的大小感觉会这么差？于是我们对出错的学生展开了具体调研。

问：你知道哪些常用单位？

生：毫米、分米、厘米、米、千米、克、千克、吨……

问：你知道单位之间的进率吗？

生：1吨=1000千克=1000000克，1米=10分米=100厘米=1000毫米。

问：什么情况下会用到这些单位？

生：称体重的时候用到“千克”，测身高的时候用到“米”或“厘米”。

问：你在生活中用到了哪些单位？

生：买东西的时候会用到“元”。

首先，通过调研我们发现学生虽然知道长度和质量的常用单位，但完全没有度量的需求。随着现代社会的发展，学生在生活中产生度量的需求越来越低，学生不需要担心自己家里的书柜不够高，也不需要担心桥梁会超载，就算是平时和同学比较身高，也仅仅是通过视觉感官看出高度差，不会将身高用抽象的数进行表达后，再用数比较大小，从而判断出谁的个子比较高，因此，学生在生活中很少有使用单位的需求。其次，学生的生活中也缺少度量的经历，即便学生体检时会使用“千克”作为测量体重的单位，使用“米”或“厘米”作为测量身高的单位，但学生要做的也仅仅是读出专业的测量仪器上显示的具体数据，学生既没有进行实际的操作，对于测量仪器的操作也不清楚，因此学生缺少相关的测量经验，没有建立单位的需求，对数的大小的感悟能力自然会很差。

3.教师忽视测量对数量感悟的培养的作用

对于教师来说，数感是一个既熟悉又陌生的概念，因为自从新课标提出这个词以来，数感的培养问题得到了越来越多的人的关注，耳濡目染，也会了解到很多关于数感的信息。尽管如此，但是从笔者调查的情况来看，基本没有老师意识到度量对数感培养的作用，而且许多身处一线的教师认为数感的培养仅仅是数与代数领域的教学，与其他领域不相关。在和教师访谈的过程中，很多老师也表示对在度量中培养数量感悟表示惊讶。以下这是笔者和一位老师的对话。

笔者：你认为数感概念的含义是什么呢？

师：听过“数感”这个词，“新课改”也一直在强调，但是说实话，我不太清楚数感是什么东西，也不知道数感的概念是什么！

笔者：你认为数感对学生来说重要吗？

师：应该重要吧，因为总能听到，可见大家对此关注度比较高。

笔者：你觉得该如何去培养学生的数感呢？

师：数感应该是在数与代数领域的教学中逐渐感悟的，通过数的组成、数的大小、数的运算等方式的练习逐渐提升学生的数感。

笔者：那么你认为度量可以培养学生的数感吗？

师：不太清楚……

由此可见，虽然教师对“数感”这个词并不陌生，但是对数感并没有深刻的认识，在数感培养方面，教师也还没有形成正确的观念，只能刻意地利用教材的一些素材或者练习资源来主观地培养学生的数感能力，也没有对其抱有足够重视的正确态度，没有意识到数感的重要性。

邵景进等人在对我国数学教师对数量的感悟内隐观的研究中指出，他们对数量的感悟内隐观涉及的范围比较广泛，对于数量的感悟内涵某些方面的理解与专家是有所区别的。也就是说，中小学数学教师对数量的感悟内涵的理解不够全面，一些应该属于对数量的感悟内涵的内容被忽视，而对一些不应该属于对数量的感悟内涵的内容反而十分重视。

大多数教育工作者只有在上级部门培训的时候才能够或多或少地了解一些数感方面的东西，自主学习的过程中对此没有给予足够的重视。对于通过度量培养数量感悟的观念十分淡薄，这是小学生数感培养的一大障碍。众所周知，一个人的观念会影响这个人的行为，所以对其如果没有足够的重视，则在教育教学活动中也不能够很好地贯彻并且有意识地培养数感，甚至会导致对数感培养的忽视。

正因为中小学数学教师对数量的感悟内涵的不了解，所以他们才不知道应该如何培养学生对数量的感悟，也不知道应该如何设计教学来发展学生对数量的感悟。因此，使小学数学教师对数量的感悟教学“有的放矢”并且形成系统的对数量的感悟培养方案，是小学生对数量的感悟培养过程所面临的主要问题。

我们常说学习是为了更好地生活，学习数学是为了培养学生的思维方式，从而运用数学思维思考问题，解决问题，等等。但是就目前的状况来看，教师还不能够很好地将学习和生活联系起来，教师在讲新知识的时候，还不能够充分地用生活中实际的案例来说明问题，而是更依赖于教材中的案例，不能很好地开发生活中的课程资源。例如，在讲《克与千克》的时候，一位教师只是按照教材内容把克和千克的概念、单位之间的换算作为知识来讲解，这种方法既没有抽象的过程，也没有感悟的过程，对于小学生来说很不容易理解。

综上所述，将如何在“单位建立”中培养学生对数量的抽象感悟作为一个教学关键问题。

案例CX-2-1：《从单位的建立中感悟数量的意义》（《克与千克》，二年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在‘单位建立’中培养学生对数量的感悟”。

教学内容分析

度量单位就是把不同个体的度量方法标准化，并且能够取得人们的广泛共识。单位建立的本质在于表现事物某些指标的顺序。人之所以可以进行度量，并且能够对度量单位取得广泛的共识，是基于人的两个先天本能，即对数量多少的感知和对距离远近的感知。人还具有两个特殊的能力，即抽象能力和想象能力，因此对于人而言，能够基于两个特殊的能力，把两个先天本能延伸到对事物的某些指标进行量化和对量化顺序的感知。度量主要包括两类，一类是通过抽象得到的，是人思维的结果；另一类是借助工具得到的，是人实践的结果。

学情分析

基于教学内容分析，我们认为在小学数学相关内容的教学中，应当利用与发展学生的先天本能和特殊能力，分清两类度量的本质特征，构建合适的教学方法，包括设计合适的教学情境和提出合适的数学问题，使学生在掌握知识技能的同时，感悟度量单位所蕴含的数学思想，形成数学抽象和直观想象的数学素养。

调研题目：

（1）计量下面的物品有多重，选择哪个单位比较合适？请在相应单位下面画“√”。

（2）你觉得超市中的什么物品大约有1克重？

调研结果：

（1）正确率23%。

（2）仅有7%的学生能够给出1克的对应物品。绝大多数学生给出的物品实际质量远超1克。

通过前测可以反映出大多数学生面对物体质量没有建立单位的概念，不能区分不同单位代表的不同含义。据此，将关键问题解构为三个小问题：

（1）学生能否建立1克与1千克的单位意识？

（2）如何帮助学生感悟质量单位与单位之间的联系？

（3）建立联系之后，学生怎样准确感悟物体的质量？

教学目标

引导学生体会单位质量，再通过单位的累加，让学生感悟单位之间的联系，抽象出质量单位的个数，根据质量单位的个数选择合适的质量单位。

基本设计思路

通过感受1克的实物，体会单位质量，再通过单位的累加，让学生感悟克与千克之间的联系，最终借助实物抽象出质量单位的个数，再根据质量单位的个数选择描述实物的质量单位。

片段回放

片段一：抽象出质量单位

师：课前老师已经给每一位同学准备了一枚面值2分的硬币、一粒花生米、两颗黄豆。现在请你们分别将这些物品拿在手里感受一下。谁能说说自己的感受？

生1：很轻。

师：其他同学呢？

生2：跟没有一样。

师：没有吗？

生2：还是有一点点的。

师：有一点点，形容得真好。再掂一掂，把这种很轻的感觉记在心里。老师要告诉你们，刚刚你们手里的一枚面值2分的硬币、一粒花生米、两颗黄豆的重量大约都是1克。

师：拿出面条看看有多重？

生：1千克。

师：把这1千克的面条放到左手，右手拿出一袋盐，有什么感觉？

生：左手的物体沉，右手的轻。

师：右手再加一袋盐，掂一掂，感觉怎样？

生：还是右边的轻，再加一袋就差不多了。

师：动手用天平来测量一下。

……

学生上讲台在天平的左盘放两袋盐和一袋味精，右盘放1千克的面条。

师：你观察到了什么？明白了什么？

生：我观察到天平平衡了，明白了1000克=1千克。

教师板书“1000克=1千克”，学生齐读（读出单位不同）。

师：这是什么意思？

生：1千克是由1000个1克组成的，1000个1克就是1千克。

师：你真会总结。这个等式左边的单位是克，右边的单位是千克，1克与1千克到底给我们怎样的感觉，请左手拿一枚面值2分的硬币，右手拿面条掂一掂，感觉怎样？

生：感觉1克很轻，1千克很重。（教师板书：轻、重）

片段二：在实物中抽象出质量单位的个数

师：刚才我们已经学习认识了克，那你知道一个鸡蛋和一个苹果分别是多少克吗？下面请小组合作，先估一估再称一称，然后完成下面的表格。

学生在小组内交流后进行全班汇报。

生1：鸡蛋我估重40克，称重52克，大约50克。

生2：鸡蛋我估重45克，称重56克，大约60克。

生3：鸡蛋我估重50克，称重62克，大约60克。

师：谁用一句话说说鸡蛋大约重多少克？

生：鸡蛋重五六十克。

师：关于苹果有多重请先在小组内交流，估计一下苹果的重量。

生1：我们组认为一个苹果和5个鸡蛋的重量差不多，应该是200克。

生2：我们组认为一个苹果和6个鸡蛋的重量差不多，应该是300克。

师：动手操作，来验证你们的想法吧。

生1：我们组估计一个苹果大约重200克，实际测量苹果重230克。

生2：我们组估计一个苹果大约重300克，实际测量苹果重280克。

师：真实的数据和你们估计的数据非常接近，估计得真准确！

片段三：在实物中感悟不同的质量单位

计量这些物品用哪个单位合适？

（1）学生独立完成。

（2）汇报交流。

生1：蛋糕比较轻用克作为单位。

生2：洗衣机比较重用千克作为单位。

生3：小鸡比较轻用克作为单位。

生4：沙发比较重用千克作为单位。

师：你觉得什么时候用克作为单位、什么时候用千克作为单位？

生：称比较轻的物体时用克作为单位，称比较重的物体时用千克作为单位。

深度思考

“克和千克”是小学数学教学中量与计量方面的重要内容，是认识质量单位的起始课，是认识更大质量单位的基础，也为后续学习其他的量提供了学习方法和经验。结合二年级学生的认知水平和已有经验，要切实感悟克和千克的质量观念是有一定难度的。通过本节课的教学，笔者认识到可以采取以下措施加深学生的感悟。

针对片段一的教学内容，值得注意的是操作中应特别强调体验，即掂一掂带来的肌肉感觉，通过操作体验活动把克和千克的质量观念转化成了学生的这种感觉，实现抽象数学具体化的教学。

针对片段二的教学内容，应先抽象出克再抽象出千克，也就是先抽象出小单位再抽象出大单位，学生经历了小单位的叠加逐步演变到大单位的过程，即克的叠加演变成千克的过程，这样循序渐进的抽象过程符合学生的认知规律。若没有这个叠加过程直接从认识克到认识千克势必造成学生认知抽象上的断层，教学中应注意从克到千克的跨度。

针对片段三的教学内容，要培养学生通过日常生活积累的原始经验判断物体质量单位的能力。情境的创设尽量选取贴近学生日常生活的物品，让学生在认识物体时建立抽象出物体的质量单位的意识，学会用合适的质量单位描述物体的轻重。

深入分析这个案例，解决教学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）在操作体验中建立克和千克的质量观念。

克和千克的质量观念没有具体的形象支撑，具有高度抽象性。二年级小学生的年龄特点及其思维的具体形象性，与本节课学习内容的抽象性构成一大矛盾。操作体验则是解决这一矛盾的有效策略。本节课通过大量的操作体验活动，让学生切实建立起克和千克的质量观念。

（2）在克的叠加过程中认识千克。

本节课从1克-几克-几十克-一百多克-几百克-1千克，这样有梯度地逐步抽象过渡。通过这样的认识过程，学生不仅可以建立起大小不等的抽象体系，为估量物体的质量积累经验，更重要的是实现了从1克到1千克的抽象，为认识“1000克=1千克”提供直观感悟，抽象出克与千克的单位模型。

（3）用合适的单位描述物体质量。

克和千克的质量观念的实质就是抽象出物体的轻重感觉，帮助学生感悟对于比较轻的物体使用克作为单位，对于比较重的物体使用千克作为单位，通过这种过程的教育，帮助学生感悟单位，形成直观想象的数学核心素养，发展数学抽象能力。

（案例撰写人：清华大学附属小学商务中心区实验小学　田宏玮）

案例CX-2-2：《从单位角度出发抽象出对数量的感悟》（《面积和面积单位》，三年级）

本案例要解决的数学关键问题是“如何在‘单位建立’中培养学生对数量的抽象感悟”。

教学内容分析

关于“数量”，可以追溯到远古时代，在日常生活和生产实践中，人们需要创造出一些语言来表达量的多少，关于量的多少的表达称为数量。因此，“数量是对现实生活中事物量的抽象”。

面积的本质就是相同面积单位的累加个数。在探究图形的面积这个过程中，学生从认识面积单位，逐步感知面积中的“数量”，培养学生对数量的感悟，发展数学抽象能力。

学情分析

本节课是学生从测量一维的长度到测量二维面积的一次突破，更是后续学习几何知识的重要基础。那么怎样才能让学生更好地主动建构面积单位的概念，培养学生对数量的感悟，发展数学抽象能力呢？

前测题：

（1）你听说过面积这个词吗？

调研结果：听说过的93%；没听说过的7%。

（2）你能用自己的话说一说什么是面积吗？

描述不清的：13.3%；

描述成体积方面的：20%；

描述成周长的：30%；

描述完全正确的：36.7%。

（3）你能用你喜欢的方式，把下面这个图形的面积表示出来吗？

完全不明白的：6.7%；

圈出周长的：16.7%；

正确涂出面积的：76.6%。

（4）你能比较出下面两个图形面积的大小吗？

100%的学生均能做出正确选择。

理由：用观察法的90%；用重叠法的10%。

通过前测可以反映出学生对面积的概念有一个比较模糊的感知，他们对面积有感知，却不能把面积的定义抽象出来。还有一部分学生把周长和面积混淆，究其原因是学生分不清周长是“度量图形的一周边线的长短”，是对一维空间——线的长短的测量，而面积则是二维图形的面积。

在比较两个图形面积大小时，只有10%的学生用的是重叠法，其余学生都用的是观察法，说明学生对面积大小的认识只是停留在直观的感觉上，而没有任何对数量方面的思考。

因此在教学面积概念时，要以学生已有认识、经验、困惑为出发点，既学习新的知识，又有思维的训练，也就是需要学生用二维来说明面积的大小，在头脑中形成对数量的感知；同时还要关注学生学习过程的情感体验和态度，要让学生建立用单位来计数面积大小的意识。

因此，根据课标要求，结合本课的教学任务，将关键问题解构为三个小问题：

（1）如何引导学生抽象出面积单位？

（2）怎样让学生从平面图形中抽象出面积单位个数，发展学生的抽象思维？

（3）如何引导学生体会用抽象的数表示出图形的面积？

教学目标

结合生活实际，抽象出1平方厘米、1平方分米和1平方米的面积单位；利用面积单位的拼摆，建立单位个数与物体面积之间的联系，引导学生用抽象的数表示物体的面积；用面积单位的个数来感悟图形面积的大小。

基本设计思路

通过与生活中的实物相联系，让学生在观察、比较中感悟1平方厘米、1平方分米、1平方米的大小，认识面积单位。在建立面积单位的基础上，通过面积单位的个数，用抽象的数来表示面积的大小，再通过比较面积单位的个数，感悟面积大小，提高学生对面积的抽象感悟。

片段回放

片段一：借助实物直观，抽象出面积单位

师：大家拿出刚才我们用来拼摆的那个小正方形，想一想，生活中，哪些物品表面的大小和它差不多？

生1：我觉得它和我的中指指甲盖大小差不多。（用小正方形盖在指甲盖上比一比）

生2：看，它和我衣服上的扣子大小差不多。（用小正方形盖在扣子上比一比）

生3：它看起来和我们壁报上的图钉表面大小差不多。（用小正方形去和图钉比较）

……

师：大家刚才观察得非常仔细，刚才同学们说的这些物品表面都和这个小正方形的大小差不多。这个小正方形的面积就是1平方厘米。所以刚才大家说的这些物品表面的面积大约就是1平方厘米。

片段二：通过计数面积单位，体会面积的抽象表达

师：如果一个小方块的面积是1平方厘米，你能说出下面每个图形的面积是多少吗？

生1：每个图形的面积都是4平方厘米。

师：这三个图形形状不一样，怎么面积都一样呢？从中你能发现什么呢？

生2：因为它们都是由4个1平方厘米的小正方形组成的，所以面积都是4平方厘米。

生3：我发现不管形状是什么样的，只要包含的小正方形的个数一样，面积就是一样的。

片段三：通过面积单位的个数感悟图形面积的大小

师：这里有两个图形，请你比较一下，哪个图形的面积大？

课件出示：

生1：我觉得看起来第一个图形面积更大一些。

生2：先把两个图形重合，露出来的部分我觉得第二个图形面积更大一些。

师：大家都是通过观察来猜测的，要想得到准确的答案，有什么办法吗？

生3：我有个办法，我们可以用刚才的小正方形在图形里面摆一摆，哪个用的小正方形多，哪个图形的面积就大。

小组活动：用1平方厘米的小正方形来密铺。

生4：长方形里面铺了15个面积是1平方厘米的小正方形，它的面积应该是15平方厘米；正方形里面铺了16个小正方形，它的面积是16平方厘米，所以正方形面积更大一些。

师：看来，用我们学过的面积单位来拼摆，根据所用的面积单位的个数，就能判断出图形面积的大小了。

深度思考

《面积和面积单位》是小学数学教学中量与计量方面的重要内容，是认识面积单位的起始课。结合三年级学生的认知水平和已有经验，要切实感悟面积大小与单位个数之间的联系是有一定难度的。通过本节课的教学，笔者认识到可以采取以下措施加深学生的感悟。

在片段一的教学中教师要引导学生观察单位面积的大小，然后把面积单位与生活中的事物进行比较、分析、概括，利用这些对面积单位的直观描述，抽象出1平方厘米、1平方分米这两个面积单位实际的大小。通过实物，在认识面积单位的过程中，培养学生的数学抽象。

在片段二的教学中教师要让学生建立单位面积与单位面积个数之间的联系，引导学生通过计数单位面积的个数的方法抽象出物体的面积大小，从而建立起数与数量之间的联系，培养数感，发展数学抽象。

在片段三的教学中教师要让学生用抽象的数去表达面积单位的大小，不能仅仅局限于视觉直观感受，一定要在抽象的基础上，用数去感悟面积的大小，在一来一回的过程中体会数与数量之间的联系，培养学生对数量的感悟，发展数学抽象感悟能力。

深入分析这个案例，解决教学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）从实物中抽象出单位。

在抽象面积单位的过程中；先让学生通过观察正方形的大小，把面积单位与生活中的指甲盖、扣子、图钉等图形的面积建立联系，在比较、分析的过程中抽象出1平方厘米的大小。

（2）用抽象的数表达等面积的图形大小。

在学生探究谁的图形面积更大的活动中，给出大小相同、形状不同的图形。通过计数相等的面积单位的个数，引导学生体会面积单位个数与物体面积的联系，从实物的面积中抽象出具体的数。

（3）准确感悟面积单位个数，发展学生的数学抽象。

学生在认识了面积单位后，利用“两个图形中，哪个面积更大”这一问题，引导学生体会面积单位个数与物体面积的联系，让学生通过计数单位面积的个数的方法来判断两个图形面积的大小，感悟数与数量之间的联系。

通过这几个活动，教师有效解决了学生的困惑，学生从探索到发现，从具体到抽象，深刻感悟面积与“数量”的关系，有效发展了数学抽象感悟能力，培养了数学核心素养。

（案例撰写人：清华大学附属小学商务中心区实验小学　丁莹）