如何培养学生对数的抽象感悟？

1.对数的抽象感悟是数学教学的基础

数作为原始概念，是数学中最基本的概念之一，它是由人类生活和生产的实际需要逐步抽象和发展起来的，数的产生是由具体量记数抽象出数的概念，而记数是伴随着计数发展而发展的。学习用数表示多少的第一步是数数，通过数数，学生认识到按照不同的顺序计数，计数下一个物体所用的数字比计数前一个物体所用的数字多1，计数一个物体集合中最后一个物体的数字也是表示该集合中物体的多少的数字，从数学的角度看就是序数和基数相等。

例如：在《5以内数的认识》一课的教学中，教师可以在课堂教学中出示具体的可计数数量，可以是人数也可以是车辆数等，引导学生通过计数的方式从具体的数量中抽象出数模型，再通过抽象的数模型来描述现实生活中具体的数量，在这一来一回的抽象感悟中，实现学生数学知识的建构过程，培养包括抽象思维能力在内的数学思维能力。总之，数学的抽象感悟要借助数学整体课程构架，需要通过系统的训练才能习得，只有通过正确合理的教学，才能提高教学质量，加深课堂感悟。

这种感悟只有通过一定的积累，并达到一定的程度，才会在解决相关问题中萌发创新的思维，第一时间找出隐藏在情境中的数量关系及规律技巧后的本质，并产生各种有价值的奇思妙想。在第一阶段形成感性认识，是为后续数的计算、解决问题打下坚实基础的第一步，因此，我们要在“数的认识”中培养数的感悟。

2.学生抽象数的能力亟待提高

小学儿童思维的基本特点是，以具体形象思维为主要形式，逐步过渡到以抽象思维为主要形式。在最开始的时候，对于大部分学生而言，从现实情境中抽象出数都是困难的。尽管学生能说出两堆苹果中哪堆的数量更多，但并不代表学生的数感能力强，因为学生这时更多的是依赖视觉感受而不是通过从数的抽象与感悟中作出判断的。同时，由于视觉感受更加直观，因此学生往往依赖于视觉感官而非从现实事物中抽象出数进而比较大小。

例如，当学生面对下列问题：

（1）一盒铅笔，盒子上面标着数字“6”，一节火车车厢座椅上也标着数字“6”，这两个数字“6”的意义一样吗？如果不一样，请说明它们各表示什么意思？

这道题的正确答案为：意义不一样，第一个“6”表示6支铅笔，第二个“6”表示第6个座位。这道题实际在考查学生是否对数字“基数”性质和“序数”性质熟练掌握。在问卷统计和访谈中得知有些学生其实心中明白这两个“6”的不同，但无法清楚地表达，也有一部分学生认为这两个“6”的含义相同，只是数字之后的文字表述不同而已。在统计过程中，也发现一些学生将第一个“6”解释为6元，虽然这个解释也符合生活实际，但也正好从另一个侧面反映了学生对数的敏感度不高。

（2）1200张纸大约有多厚？

这道题的答案是1200张纸为11～13cm厚。此题考查学生针对实际情况抽象出标准并灵活应用的能力，答题正确率为32.3%。从作答情况来看，很多学生直接瞎猜一个数作为最终答案，而不是从现实情境中抽象出标准，根据标准的个数感悟较大数值的多少。这说明学生只能考虑单一情况，不能建立标准来考虑多种关系，说明学生灵活理解较大数的能力比较欠缺。

依据小学生身心发展的特点，尤其在低段主要以具体形象思维为主的时期，对于数的概念的掌握、对于数的理解还有较大的难度，对他们而言无论是抽象出数的学习，还是感悟数与数之间的关系等方面，对这些较为抽象的东西都有些畏惧，甚至是对数学的抗拒，但是这些抽象的东西是可以通过直观操作相互关联的。

3.教师忽视学生对数的抽象过程

教师以培养学生的抽象思维为由产生的过于“生活化”的数学课堂，实际上弱化了数学抽象与感悟的过程，这些数学教学中存在的问题导致很多学生对公式、定理越发难以理解，觉得数学太抽象且与现实生活脱节，出现知识点“断层”的现象。在笔者所听的几十节课中，教师基本都是把本课的知识点、重点讲解之后，留作业，练习今天所讲的内容，对学生的抽象过程和感悟过程并不关注，几乎都是稍微提及而已。下课之后我找几个学生了解了一下他们的学习情况，发现学生知道怎么去做题，但是对于为什么这样解题还是有所疑惑。教师在教学的过程中，很明显地能够看出对知识点十分重视，而且会针对一个知识点反复地进行习题演练，以至于最后学生都变成熟练工种，知道怎么去解题，但是未必知道其中的原理。

例如，一位教师在讲人教版小学数学二年级下册第五单元《万以内数的认识》的时候，只是按照书上的内容说：10000由10个1000组成，1000由10个100组成，但是并没有让学生体会10000这个数有多大，甚至在比较大小的过程中有同学觉得10000比8000小。

在听课后，我们选取所听课中三所小学的5名数学教师进行了访谈，从而更进一步了解学生在数感发展过程中还存在哪些问题及不足，同时也了解小学数学教师在培养学生数感的过程中遇到了哪些困惑和问题，通过整理访谈资料结果如下。

问题1：您认为低年级学生的数感存在哪些问题？

师1：对数的感悟不深，不能准确估计事物大小，比如学校的操场大约有多少平方米？一袋大米约有多少千克？学生不能快速而准确地估计出结果。

师2：对基数词和序数词的理解稍困难，不能在具体情境中分清两者。

问题2：您在平时的教学中是如何培养学生数感的？

师1：通过大量的训练，让学生在练习的过程中总结经验，或者记忆一些常用的式子，比如25×4=100等。

师2：多是根据教材和教辅资料让学生学会本堂课所学的知识点，比如会计算“几加几”等。

问题3：您如何培养学生从现实生活中抽象出数的能力？

师1：在一些情境中让学生体会事物的多少。

师2：会举一些生活中的实例或让学生完成某一题型等使学生理解和感悟数的意义和表达。

通过调研，我们发现很多的一线教师因为课时、经验等原因，虽然让孩子在课堂上去感受、去理解，但都忽略了学生从现实中抽象出数的过程，默认学生可以从现实中抽象出数。但是根据前测我们可知学生在抽象出数的部分还是存在很多问题与困难的，同时数感的培养是抽象和感悟相结合的过程，没有抽象作为前提，再多的感悟也不能很好地帮助学生提升数感，发展数学抽象。这说明教师对数感培养的认识不够深入，没有找到教学的核心，因此学生对于数的感悟没有深刻的理解和充足的感悟。

综上所述，将如何在数的认识中培养学生对数的抽象感悟作为一个教学关键问题。

案例CX-1-1：《从计数出发感悟数概念》（《5以内数的认识》，一年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在数的认识中培养学生对数的抽象感悟”。

教学内容分析

刚入学时学生的学习重点内容就在于数的认识，在认识中培养数学抽象让学生能够将数与事物的多少联系在一起，既能够从实际数量中抽象出数，也能够使用抽象的数概念描述具体的数量，从而发展学生的数学抽象。

基于以上研究，我们从5以内的数数以及对5以内数的顺序的理解和掌握这些环节加强对学生数学抽象的培养，注重培养学生从实际物体中抽象出1-5、用1-5表示数量多少以及用1～5准确描述不同的数量，从而培养学生对数的抽象感悟。

根据课标要求，结合本课的教学任务，我们将关键问题解构为三个小问题：

（1）如何引导学生抽象出1～5？

（2）怎样引导学生理解相同的数量的不同物体可以用同样的数表示，发展数学抽象？

（3）如何引导学生感悟同样的数可以用来表示相同个数的不同物体？

学情分析

调研题目：

这里一共有几个星星？请你圈出第5个星星。

调研结果：正确率24%。学生对数字5的认识不到位，混淆了基数与序数的概念，不明白排在第5意味着什么，因此答错。

通过前测我们可以看出，大部分学生不具备通过一一计数的方法抽象出具体的数的能力，对运用具体的数来描述具体物体产生了困惑，对数的理解不够深入。

教学目标

带领学生通过一一计数的方法抽象出1-5，并在相同数量的情境中引导学生理解相同的数量的不同物体可以用同样的数表示，发展数学抽象，在抽象的基础上感悟同样的数可以用来表示相同个数的不同物体。

基本设计思路

通过具体的情境引导学生通过计数的方法感悟数的概念，用相同的数来描述相同的数量的多少，用准确的数来描述数量的多少。

片段回放

片段一：抽象出5

出示图片：

师：这里一共有几个人？你是怎么知道的？

生：一共有5个人，我是数出来的。

师：你能到前面来带着大家数一数吗？

生：（手指图）1、2、3、4、5，这个5就表示有5个人。

师：用手指着一个一个数，就能数出来一共有多少个人了。那你知道小男孩排第几吗？

生：一共有5个人，小男孩排第5。

师：那这两个5的意思一样吗？

生：不一样。一个5表示5个人，一个5表示第5个。

师：第5个是几个人啊？

生：第5个是一个人。

师：看来5不仅可以表示（手指图）一共有5个人，还可以表示（手指图）这是第5个人。

片段二：从相同个数的事物中抽象出同样的数

出示图片：

师：图上有什么动物？有几只？

生：图上有3头大象。

师：3头大象，用手指可以怎样表示？

生：3头大象（伸3个手指）。

师：图上还有什么动物？有几只？

生：图上还有3只长颈鹿。

师：3只长颈鹿，用手指可以怎样表示？

生：3只长颈鹿（伸3个手指）。

师：你有什么发现？

生：我发现3头大象和3只长颈鹿都可以用数字3来表示。

师：也就是说相同个数的不同物体可以用同一数字表示。

片段三：感悟用数来表示物体的多少

师：数字5可以表示什么？

生1：数字5可以表示5根手指。

生2：数字5可以表示5支笔。

生3：数字5可以表示5名学生。

生4：数字5可以表示5节课。

生5：数字5可以表示5棵树。

生6：数字5可以表示5个小时。

……

师：你有什么发现？

生：我发现数字5不仅可以表示5根手指、5支笔，还可以表示很多数量为5的物体。

师：看来同样的数字可以表示相同个数的不同事物。

深度思考

本节课主要目的是带领学生通过一一计数的方法抽象出1-5，并在相同数量的情境中引导学生理解相同的数量的不同物体可以用同样的数表示，发展数学抽象，在抽象的基础上感悟同样的数可以用来表示相同个数的不同物体，从而培养学生对数的抽象感悟。

在片段一的教学中要让学生抽象出1-5，在这一过程中要特别关注学生对数的理解。因为我国的语言系统的特殊性，我们的数能够表达基数与序数两个不同的含义，也就是说既可以用数字表示数量的多少，也可以用数字表达排列的顺序，这样两个不同的含义可能会在抽象的过程中发生混淆。

在片段二的教学中要让学生在相同个数的事物中抽象出同样的数，在这一环节应选择多个相同个数的事物来突出学生对数的抽象。因为事物的个数相同，因此可以抽象出来的数也是相同的，在这一过程中，让学生从事物中抽象出具体的数，从而发展数学抽象。

在片段三的教学中感悟运用数来准确描述数量的多少的过程，教师要用关键问题引导学生。让学生体会到数字5既可以表示5根小棒，也可以表示5个圆片，还可以表示5张贴纸，利用多个例子让学生体会到同一个数可以表达不同物体的相同个数，而单一的举例则无法为学生提供这样的感悟。

深入分析这个案例，解决教学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）通过一一计数的方法抽象出数

学生通过计数的方法抽象出数，因此我们需要选择具体的情境让学生进行个数计数，在计数的过程中抽象出数，感悟顺序的表达。在对数量以及顺序有所感悟后，选择相同的数进行辨析，区分不同的含义，在辨析中完善对数的理解。

（2）从相同个数的事物中抽象出数

教师要创设同样个数的事物情境，让学生体会通过3支笔可以抽象出数字3，3个圆片可以抽象出数字3，3根小棒也可以抽象出数字3，感悟从个数为3的事物中就可以抽象出数字3。其实在日常教学中，我们也会让学生用数去描述具体的数量，但是往往忽略了从相同个数的数量中抽象出相同的数的过程，而这一过程往往才是学生发展数学抽象的关键。

（3）通过多个实例感悟数量的抽象表达

通过数字5可以表示什么，引导学生举出具体实例，例如：数字5可以表示5根手指，也可以表示5棵树，还可以表示5个小时……通过大量的表达让学生感悟用抽象的数去表达具体的事物。虽然在我们教学的过程中也会让学生用数去表达具体的数量，但是都不是用相同的数，导致感悟的过程被不同的数所分散，没有相同的数的数量表达更有力度。

培养核心素养的过程是离不开我们的日常教学的，二者联系紧密不可分割。只是我们的日常教学可能更加注重学生对知识与技能方面的培养，而忽略了学生对核心素养的抽象以及感悟的过程。因此我们可以通过放慢教学过程、调整具体情境、提出关键问题等多种方式来完善我们的日常教学，将数的抽象与感悟的过程巧妙地结合起来，在完成知识技能目标的同时，提升学生的核心素养，发展数学抽象。

（案例撰写人：清华大学附属小学商务中心区实验小学　田宏玮　侯玲玲）

案例CX-1-2：《从数的组成出发感悟数量计数》（《万以内数的认识》，二年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在数的认识中培养学生对数的抽象感悟”。

教学内容分析

数学抽象主要是指关于从数量中抽取出数、用数来描述数量、建立数量模型解决数学问题。通过对数学抽象的培养可以进一步帮助学生理解现实生活中数的意义，掌握或表述具体情境中的数量关系。本课中亟待关注的能力点为从数量中抽象出数，也就是如何通过数的认识这一类课程培养学生对较大数量的赋值能力。这类课程在小学数学教材中，一般通过数数、数的组成、数的大小、数的顺序以及数的运算这五个方面呈现，那么哪些教学是培养数学抽象的关键课程呢？经过课程实践与调研，我们认为培养的关键就在于把握课程中数数及数的组成的教学。

学情分析

在课程中我们要培养学生面对更大数时建立标准，以群计数的能力，同时在一次次计数的过程中精准自己的估算结果，以此为基础从而培养学生的数学抽象能力，因此我们选择《万以内数的认识》这节课来培养学生对数的感悟。

前测题：

（1）请用你喜欢的方法数出下面纽扣的个数。

本题失分率达到了61.2%，大部分学生无法在现实情境中抽象出较大数。

（2）估一估，这盘花生米大约有（　）颗。

调研结果：本题仅有5名学生的估算结果较为接近正确数值。

通过前测可以反映出大多数学生面对较大数时不能通过顺序计数、以群计数等方式，从数量中抽象出较大的数；在计数较大数时没有建立标准，没有利用标准的意识，对大数估算的精准度较低。

基于教材和学情的分析，最终将关键问题解构为三个小问题：

（1）如何引导学生建立计数标准？

（2）怎样帮助学生抽象出较大的数？

（3）如何引导学生用较为精准的数描述事物的多少？

教学目标

通过点子图，帮助学生建立大数计数的标准，抽象出具体的数。在数豆子的过程中，规范学生的计数方法，感悟用抽象数表达现实的较大数量，体会精准估数，发展学生的数学抽象。

基本设计思路

借助点子图，层层推进，抽象较大的数，在计数中巩固数的认识，发展学生对数量的抽象表达，通过培养数感，从而促进数学抽象的发展。

片段回放

片段一：借助点子图，建立计数标准

出示百点图：

师：数数有多少个？你是怎么数的？

生1：有100个。一行有10个，一共有10行。

师：他说的对吗？还有别的计数方法吗？

生2：我一列一列地数。一列有10个，一共有10列，一共有100个。

师：这两位同学的计数有什么相同点吗？

生3：都是十个十个地数的。

……

片段二：通过计数的标准，抽象出较大的数

动画出示新图：

师：刚才你们轻松数出了点子的数量，这回老师把圆点增加，还能一下子数出准确的个数吗？猜猜这里有多少个圆点？

生：不能一下子猜出来了，但是肯定比100个要多。

师：大概有多少个呢？

生1：200多个。

生2：300多个。

师：你们是怎么想的？

生1：刚才的100个点子大概这么大，这些点子有两个这么大，所以我猜是200多个。

师：那么到底有多少个呢？请你画一画，数一数。

生：这里有2个100，还多3个10和5个1，合起来是235。

片段三：借助豆子，在计数中巩固数的认识，发展学生对数量的感悟

出示第一杯豆子：

师：看，是什么？

生：绿豆。

师：告诉你，这个杯子中的小豆子有整整1000颗。

出示第二杯豆子：

师：这次可需要你们动脑筋、想办法了。估一估，另一个杯子里的小豆子有多少颗？

生1：5000多颗。

生2：6000多颗。

师：不急着说是多少，先想想，有没有办法说得准一些呢？

生：我把两个杯子放在一起。你看，第一个杯子里的豆子有这么多，大约这么高，第二个杯子里的豆子大约这么高，我们就可以看看，第二个杯子里的豆子有几个第一个杯子里的那么高。可以看出是6个，所以大约就是6000颗。

师：你真厉害！谁听懂他的计数方法了？以多少为计数标准呢？

生：他以第一个杯子里的1000颗为标准，第二个杯子里有6个1000颗，所以大约是6000颗。

深度思考

本案例中待解决的关键问题是如何在“数的认识”教学中培养学生对数量计数的感悟。

针对第一个问题，可以采用点子图、小棒和计数器上拨一拨等活动，让学生看到10000以内数的组成过程，为学生创建具体可视的情境，在具体的数量中抽象出计数标准，建立计数标准和具体数值之间的联系。

针对第二个问题，可以创设较大数量的情境，引导学生通过圈一圈、画一画的方法计数标准的个数，再通过计数标准的个数，将具体的数量用抽象的数进行表达，让学生体会以群计数的抽象方法，从较大数量中较为精准地抽象出具体数值。

针对第三个问题，可以借助计数豆子以及装豆子等操作活动，帮助学生初步体会以群计数的方式，为学生创造以群计数的操作体验，借助具体操作，初步体会以群计数一般规律，具备抽象和概括能力。培养学生用抽象的数表达较大数量的能力，直观地感受，增强估数能力，发展学生的数学抽象。

深入分析这个案例，解决教学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）在对比的过程中建立计数标准。

为学生提供比较的机会，促使他们在前后对比的过程中感悟。片段一中，教师要求学生计数点子图，目的是让学生找到参照标准，建立参照标准个数与具体数值之间的联系，体会以群计数的方法。

（2）在大数量情境中抽象出较大的数。

为学生提供较大数量的情境，促使学生从大数量中抽象出具体的数。片段二中，教师要求学生再次计数点子图，目的是让学生通过以10计数学会以100计数，通过计数合适的标准个数抽象出更大的数。

（3）学具操作过程中感悟数学抽象。

创设情境，提供学具，为学生提供感悟的机会。片段三中，教师创设准确数豆子的情境，为学生提供操作学具，促进学生将数据拆解成计数标准与其个数乘积的累加，感受以群计数的重要性，体会数量之间的关系，发展数量之间的感悟。

通过这三个片段可以看出学生初步体会了以群计数的一般规律，经历了从大数量中抽象出数与用数进行大数量的抽象表达的过程，具备了抽象和概括能力，提升了数感，最终发展了数学抽象。

（案例撰写人：清华大学附属小学商务中心区实验小学　周冬梅）