小学数学教学中数学抽象表现的研究

2023-08-07 理论教育版权反馈

【摘要】：数学抽象是指从研究对象或问题中抽取出数量关系或空间形式而舍弃其他属性对其进行考察的方法。在小学阶段，数感和符号意识都是数学抽象的重要表现。本部分从内涵解读、价值解读、教学表现三个方面对数学抽象进行解读。根据上述内容的学习，您认为“数学抽象”的价值有哪些？

数学抽象是指从研究对象或问题中抽取出数量关系或空间形式而舍弃其他属性对其进行考察的方法。在小学阶段，数感和符号意识都是数学抽象的重要表现。

3.1　数感

3.1.1　从实物中抽象出数

学生对数的感悟是从数数学习辨认各组实物对象的多少开始建立的，这是一个逐渐展开的过程。学生对多少的感悟离不开具体的情境，这样他（她）就需经历一个察觉实物集合中所包含的物体数量多少的过程，从而积累并形成对量的多少的感知。

学习用数表示多少的第一步就是数数，即用自然数表示多少。在数数的过程中，他们能把数量词与其代表的少量物体联系起来，逐渐过渡到数量词与其代表的大量的物体；让学生在认知上经历由具体到抽象的过程，逐步发展数的思维。比如，刚入学的儿童在认识10以内的数的时候，应该通过实物、图片等，将数与物一一对应起来，在较大数值的认识上可以通过估一估、数一数等活动，帮助学生形成对10、100等数量大小的感觉，感悟位值制。

3.1.2　从数量中抽象出单位

学生对数量理解是以计数为基础，为关系做铺垫、承上启下的重要阶段。数量指事物的多少。是对现实生活中事物量的抽象表达方式。在日常生活和生产实践中，人们需要创造出一些语言来表达事物（事件与物件）量的多少。而体现在数感上就是单位的建立，例如：单位之间的进率，因为1分米等于10厘米，因此边长为1分米的正方形里有100个边长为1厘米的正方形，因此1平方分米与1平方厘米之间的进率应该是100，1平方分米等于100平方厘米。

再比如长方体体积公式的推导，因为长方体的长为a米，因此一行就有a个体积单位，长方体的宽为b米，因此就有b个体积单位，长方体的高为h米，因此就有h个体积单位，这些体积单位的个数可以用a×b×h来表示，而体积单位的个数也就是长方体的体积，因此长方体的体积可以用长×宽×高来表示。

3.1.3　从情境中抽象出模型

不同年龄段的学生在理解了所学数的意义及表征后，就具备了理解一定数量关系的基础。比如学生在学习整数概念后，会建立起整体与部分之间关系的感悟，依赖于具体情境或图形，会比较两个数的大小，随着他们数感的增强，学生应该能够用数进行推理。例如，如果说5个苹果比2个苹果多一些，那么就可以说50个苹果比2个苹果多很多；再比如，具有一定抽象能力的学生去超市购买蔬菜，他不会对蔬菜的价格熟视无睹，而会关注不同蔬菜的单价，并对购买多少、称重时的重量、最终的总价等数量及相互关系在头脑中作出反应，并形成判断。这里的抽象是对具体问题所涉及的数量关系的整体把握。

3.2　数学符号

数学符号就是数学抽象的结果。数学符号包括：数字符号、运算符号、关系符号、代数符号（字母表示数），等等。例如，学生对自然数的学习，是对数量抽象的过程，也是用数字符号表达的过程。

3.2.1　读懂数学符号

儿童在数学学习中最早学习的运算符号“+，-，×，÷”，就是抽象的数学符号，它们所表达的是数与数之间合并或比较的不同关系。再比如数学中最常见的“=，＞，＜”，它们是一组关系符号，可以表示任意两个有顺序的数量或者数之间所存在的等于、大于或者小于的关系，而且只可能有其中一种关系的存在，例如：1和2存在“1＜2，1+1=2，2+1＞2”的关系。

在图形教学中，数学符号也发挥着重要的作用。例如，学生在认识圆形时，可以用字母表示圆的各部分名称，进而使圆周长和面积的计算方法具有简捷性和通识性。

再如在认识方程的教学中，引导学生意识到可以利用符号表示未知数，或是利用含有符号的式子来表示数量关系。在数学学习过程中学生在各个知识领域都学习和运用符号，在认识和使用中发展数学抽象素养。

3.2.2　运用符号进行运算和推理

用符号表示数以及数量关系，进而用符号进行运算，是数学从算数走向代数，从具体走向抽象的标志。在小学数学中经常用x和y表示未知数，根据数量的关系列出方程来解决问题。用x和y来表示正反比例关系，使表达关系更具有一般性，便于数学问题的解决。

在学生解决打电话问题时，会将复杂的文字信息运用转化为符号语言。

第一分钟，老师打电话通知学生1；第二分钟，老师和学生1同时打电话通知学生2和学生3；第三分钟，老师、学生1、学生2和学生3同时打电话通知学生4、学生5、学生6和学生7。

简洁清晰的符号图，有利于学生发现每次在打电话过程中，随着时间的累加人数变化的规律，进而解决问题。

利用符号参与运算推导圆和方之间的关系：

3.2.3　利用符号进行数学表达

学生在借助数学符号理解数量关系的过程中会使用符号表示问题中的数量关系，并能感受到用符号表示数量关系的优越性，在符号运用中发展数学抽象素养。

例如：四年级运算定律

从具体的数入手探究加法交换律的特例，进而在发现规律的表达中，学生经历了从纯文字表达到半文字半符号表达，最后进入纯符号的表达阶段。符号表达体现了加法交换律的本质以及更具简捷性、抽象性。

再如：长方体体积的计算

在学生经历了充分的操作探究后，学生使用符号V=abh来表达活动结论，既清晰地表述了探究长方体计算的规律，又能简捷、准确地表达这一规律。

本部分从内涵解读、价值解读、教学表现三个方面对数学抽象进行解读。根据上述内容的学习，您认为“数学抽象”的价值有哪些？“数学抽象”“数感”“符号意识”分别指的是什么？主要表现在哪些方面？结合《义务教育数学课程标准（2011年版）》和小学数学教材分析，请举出例子。

小学数学教学中数学抽象表现的研究

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