无序运动：高锰酸钾分子的无规则热运动

2023-08-05 理论教育版权反馈

【摘要】：如果你认为热运动是无规则的，所以无法对它进行任何物理描述，那你就大错特错了。对于完全无规则的热运动，有一类叫作无序定律，或者更常被称为统计定律的新定律在起作用。它是高锰酸钾的分子在水中作无规则热运动的结果。水分子间的距离较小，因此两次连续碰撞间的平均自由程很短，大约只有亿分之一英寸。因此，一个分子每隔一万亿分之一秒就会发生一次碰撞。

如果你认为热运动是无规则的，所以无法对它进行任何物理描述，那你就大错特错了。对于完全无规则的热运动，有一类叫作无序定律，或者更常被称为统计定律的新定律在起作用。为了理解这一点，让我们把注意力转移到“醉汉走路”的问题上来。假设我们在某个广场上看到一个醉汉倚靠着在一根灯柱（天晓得他是在什么时候怎样跑到这儿来的），他突然决定随便动一下。他先朝一个方向走了几步，然后又朝另外的方向走了几步，就这样，每走几步就随意换个方向（见图81）。那么这位仁兄在这样弯弯曲曲地走了一段路程，比如转折了100次之后，他离灯柱有多远呢？乍一看来，由于对每一次转折的情况不能事先加以估计，这个问题似乎无法解答。然而，仔细思考一下就会发觉，尽管我们不能说出这个醉汉在走完一定路程后肯定位于何处，但我们还是能答出他走完相当多的路程后距离灯柱最可能的距离有多远。现在，我们就用严格的数学方法来解决这道题目。以广场上的灯柱为原点画两条坐标轴，X轴指向我们，Y轴指向右方。R表示醉汉进行N次转折后（图81中N为14）与灯柱的距离。若Xn和Yn分别表示醉汉所走路径的第N个分段在相应坐标轴上的投影，由毕达哥拉斯定理可以得出：

R2=（X1+X2+X3+…+Xn）2+（Y1+Y2+Y3+…+Yn）2

这里的X和Y既可以是正数，也可以是负数，视这位醉汉是离开还是接近灯柱而定。应该注意，既然他的运动完全无序，因此在X和Y的取值中，正数和负数的数量应该是差不多相等的。现在我们按照数学的基本运算规则展开上式的括号，即把括号内的每一项都与括号内的任一项相乘：

这一长串数值包括了X的所有平方项和所谓的“混合积”，如X1X2，X2X3，等等。

到目前为止，我们所用的都是简单的数学方法，但是由于醉汉所走路径的无序性，我们要用到统计学的知识。醉汉朝灯柱走或者背灯柱走的可能性相等，因此X的各个取值中正、负数值会各占一半。因此，在混合积中，总是可以找出数值相等、符号相反的可以相互抵消的数对。N的数值越大，这种抵消就会越明显。只有那些平方项总是正数，因此能够保留下来。这样，总的结果就变成

X表示各段路程在X轴上投影长度的平均值。

图81　醉汉所走的路线

同理，第二个括号也能化为NY2，Y是各段路程在Y轴上投影长度的平均值。必须再次强调，我们所进行的并不是严格的数学运算，而是考虑到了运动随意性的自然规律的统计学运算。现在，我们得到醉汉离灯柱的可能距离为

R2=N（X2+Y2）

或

但是各路程在两根轴上的45°投影相等，所以由毕达哥拉斯定理得等于平均路程的长度。用1表示平均路程的长度，我们得到

通俗地讲，醉汉在走了许多段不规则的弯折的路程后，距灯柱的最可能的距离为各段路径的平均长度乘以路径段数的平方根。

因此，如果这个醉汉每走1码^[4]就拐一个弯（以任意方向），那么，他走了100码的长路后，他距灯柱的距离一般只有10码；如果笔直地走，就能走100码——这表明，走路时有清醒的头脑肯定会占很大的便宜。

从上面的例子我们可以看出统计规律的本质：我们给出的并不是每一种场合下的精确距离，而是最可能的距离。如果有一个醉汉偏偏能够笔直走路而不转弯（尽管这种醉汉太罕见），他就会沿着直线离开灯柱。如果一个醉汉每次都转弯180°，他就会在第偶数次转弯的时候到达灯柱的位置。但是，如果有一大群醉汉都从同一根灯柱开始互不干扰地按“之”字形路线走自己的路，那么，经过足够长的时间后，你将会发现他们会按上述规律分布在灯柱四周的广场上。图82所示为六个醉汉无规则走动时的分布情况，毋庸置疑，醉汉越多，不规则转弯的次数越多，上述规律就越适用。

图82　六个醉汉无规则走动时的分布情况

现在，把一群醉汉换成一批很小的物体，如悬浮在液体中的植物花粉或细菌，你就会看到生物学家布朗在显微镜下看到的那种现象。当然，花粉和细菌是不喝酒的，但我们在前面说过，他们被卷入了周围分子的热运动，被不停地撞击到各个方向，因此被迫走出弯弯曲曲的路线，恰似因酒精作用而失去方向感的人一样。

通过显微镜观察一滴水中的许多小颗粒的布朗运动时，你可以集中精力观察在某个时刻位于同一区域的（类似于灯柱的位置）的一批颗粒。你会发现，随着时间推移，它们会分散在视野中的各个地方，而且它们与原来位置的距离同时间的平方根成正比，正如我们在推导醉汉公式时所得到的数学公式一样。

这条定律当然也适用于水滴中的任意单个的分子。但是，我们看不到单个的分子，即使看见了，也无法将它们互相区分开来。为了看到它们的运动，我们必须用两种不同的颜色区分两个不同的分子。现在，我们拿一个试管，注入一半呈漂亮紫色的高锰酸钾水溶液，再小心地注入一些清水，同时注意不要把这两层液体搞混。观察这个试管，我们就能看到，紫色将渐渐进入清水中。如果观察足够长的时间，全部液体就会变成颜色均匀的统一体（见图83）。这种大家熟知的现象叫作扩散。它是高锰酸钾的分子在水中作无规则热运动的结果。我们把每一个高锰酸钾分子看成一个小醉汉，它不停地被周围的分子撞击。水分子间的距离较小（与气体分子相比），因此两次连续碰撞间的平均自由程很短，大约只有亿分之一英寸。另一方面，在室温下，分子的速度大约为0.1英里/秒。因此，一个分子每隔一万亿分之一秒就会发生一次碰撞。这样，每经过1秒，单个染料分子发生碰撞并转换方向上万亿次，它在1秒内走出的距离是亿分之一英寸（平均自由程）乘以一万亿的平方根，即每秒走出1%英寸，这就是扩散速度。考虑到在没有碰撞时，分子在一秒后就会跑到0.1英里以外的地方去，可见这个速度是很慢的。要等上100秒，分子才会挪到10倍远的地方；要经过10 000秒，也就是将近3个小时，颜色才会扩展100倍即1英寸远。由此可知，扩散是一个相当慢的过程。所以，如果你向茶里放糖^[5]，还是要用汤匙搅动，不要傻等分子自行运动到各处。

图83　扩散现象

我们再来看一个扩散的例子——热在火炉拨火棍中的传导方式，这是分子物理学中最重要的过程之一。首先，我们考虑热量是通过什么方式在拨火棍中传递的。把拨火棍的一端插入火中，根据经验，另一端要在相当长的一段时间后才会烫手。你大概不知道热量是靠电子的扩散传递过来的。拨火棍也好，其他金属物体也好，内部都有许多电子，这些电子与诸如玻璃之类的非金属物体中的电子不同。金属中的那些位于原子核外层的电子能够脱离原子核，在金属晶格内游荡，他们会像气体中的微粒一样参与不规则运动。

金属物体的外表面会对电子施加作用力，阻碍它们脱离束缚^[6]；但在金属物体内部，电子几乎可以自由运动。如果给一根金属丝施加电场力，这些不受约束的自由电子将沿电场力的方向运动，形成电流；而非金属物体的电子则被束缚在原子上，不能自由运动，因此，非金属物体大多是良好的绝缘体。

把金属棒的一端插入火中，该部分金属棒中的自由电子的热运动便会加剧，于是，这些高速运动的电子就开始携带过多的热能向其他部位扩散。这个过程很像染料分子在水中扩散的情形，只不过这里不是两种不同的微粒（水分子和染料分子），而是热电子扩散到冷电子的区域中去。醉汉走路的定律在这里同样适用，热在金属棒中传递的距离与相应时间的平方根成正比。

最后，再举一个与前两者截然不同的、具有宇宙意义的非常重要的扩散的例子。在下一章中，我们将看到，太阳的能量是由它自己内部深处的元素在嬗变时产生的，这些能量以辐射的形式释放出去。这些光微粒，或者说光量子，从太阳内部向表面运动。光的速度为300 000千米/秒，太阳的半径为700 000千米。所以，如果光量子走直线，只需要2秒钟就能从太阳中心到达太阳表面。但事实上绝非如此，光量子在向外运行时，要与太阳内部无数的原子和电子相撞。光量子在太阳内的自由程约为1厘米（比分子的自由程大多了）。太阳的半径是70 000 000 000厘米，这样，光量子就得像醉汉那样转弯（7×1010）2次即5×1021次后才能到达太阳表面。这样，每一段路程需要花费 pagenumber_ebook=203,pagenumber_book=199 秒即3×10-11秒，而整个旅程所用的时间即3×10-11×5×1021=1.5×1011（秒），也就是5 000年左右！我们又一次看到扩散过程是何等缓慢。光从太阳中心走到太阳表面要花50个世纪，而从太阳表面穿越星际空间直线到达地球，却仅仅需要8分钟。

无序运动：高锰酸钾分子的无规则热运动

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