解密：弯曲空间与重力的奇迹

2023-08-05 理论教育版权反馈

【摘要】：对于前面十多页让读者们读了之后头昏脑涨的四维坐标系的内容，我深表歉意，现在我诚挚地邀请读者朋友们一起漫步于弯曲空间。每个人都知道什么是曲线和曲面，但“弯曲空间”一词是什么意思呢？这样的一个定义可以概括为：“直线”就是表示在给定的曲面上或空间中两点之间最短的距离的线。二是弯曲空间或者曲面有些部分是平的，有些部分是弯曲的，因此有必要找到普适的测量方法。

对于前面十多页让读者们读了之后头昏脑涨的四维坐标系的内容，我深表歉意，现在我诚挚地邀请读者朋友们一起漫步于弯曲空间。每个人都知道什么是曲线和曲面，但“弯曲空间”一词是什么意思呢？想象这个概念之所以困难，与其说是由于概念不同寻常，不如说是因为我们可以从外部观察曲线和曲面，而三维空间的曲率必须从内部观察，因为我们就置身其中。为了理解一个三维的人可以设想他所居住的空间的曲率，让我们首先考虑二维的假设情况。在图39中，我们可以看到平面和曲面（球面）“表面世界”的二次元科学家，他们在研究自己的二维空间几何学。最简单的几何图形当然是一个三角形，即三条线段连接三个几何点形成的图形。大家一定都记得高中几何课上学过的，任何绘制在平面上的三角形内角和等于180°。然而，很容易看出，上述定理不适用于在球体表面绘制的三角形。事实上，由两个地理子午线的截面从极点发散形成的球形三角形，以及由它们所切割的平行截面（地理意义也一样），在底部有两个直角，并且可以为0°～360°的任何角度。图39（b）中的两位二次元科学家正在研究一个特殊的例子，即三个角的和等于210°。因此，通过测量所在二维世界中的几何图形，二次元科学家就算不从外部观察也可以发现它的曲率。

图39　平面和曲面（球面）“表面世界”的二维科学家在检查欧几里得定理的三角形内角和

将上述观察引用到多了一维的世界中，我们很自然地就能总结出，生活在三维空间中的人类科学家不用跳到四维空间去确定这个空间的曲率，只需要测量连接这个空间中三个点的三条直线的夹角即可。如果三角之和等于180°，则说明空间是平面，不然空间一定是弯曲的。

不过在推出进一步的结论之前，我们必须讨论一下关于“直线”一词的准确意义。看过图39中的两个三角形之后，读者们可能觉得平面内的三角形无论哪条边都是直线［图39（a）］，而曲面上的每一边也一定是弯曲的［图39（b）］，是与球面一致的圆弧^[6]。

这样一种基于我们常识性几何概念的说法，将使二次元世界里的科学家失去所有发展其二维空间几何的可能性。直线的概念需要一个更普遍的数学定义，这个定义不仅适用于欧几里得几何学说，而且可以扩展到曲面上和更复杂空间中的直线上去。这样的一个定义可以概括为：“直线”就是表示在给定的曲面上或空间中两点之间最短的距离的线。在平面几何中，上述定义当然与直线的一般概念一致，而在曲面等更复杂的情况下则有一组“界限分明”的线，它们在这里起到的作用与欧几里得几何中的普通“直线”相同。为了避免误解，我们经常把表示曲面上最短距离的线称为短程线或测地线，因为这个概念最初是在大地测量学中引入的，大地测量学是测量地球表面的科学。事实上，当我们说到纽约和旧金山之间的直线距离时，我们的意思是“直线飞行距离”，就是沿着地球表面的曲线走，而不是假设有一个巨大的遁地机把地球直直地穿透。

以上这种定义把“广义直线”或者“短程线”看作两点间最短距离，让我们展示一个简单的做这种线的物理方法：在两点间拉紧一根绳。如果你在平面上这样做，你将会得到一根一般的直线；如果你在球面上这样做，你会发现这根绳沿着大圆的弧拉紧，即为球面上的短程线。

用同样的方法就有可能知道我们所生活的三维空间是平整的还是弯曲的。我们要做的就是在空间内的三个点之间拉紧绳子，看看三个夹角之和是否等于180°。但是做这个实验的时候要注意两点。一是这个实验要在大范围内进行，因为曲面上或者弯曲空间内的微小部分在我们看来可能显得十分平坦；显然我们不能用测量后花园得到的结果来确定地球表面的曲率！二是弯曲空间或者曲面有些部分是平的，有些部分是弯曲的，因此有必要找到普适的测量方法。

有个不错的想法，是包含在爱因斯坦的广义弯曲空间理论中的一个基础假设，说的是：物理空间是在巨大的质量的附近变弯曲的，质量越大则曲率越大。为了通过实验证明这个假设，我们可能要在一座大山上环山钉三个木桩，在木桩之间拉伸绳子，然后测量三个木桩间绳子的夹角（见图40）。选择你能找到的最大的山——甚至是喜马拉雅山——你会发现，你的测量在允许误差之内，无论在哪里测得的三个角的和最终都是180°。但是，这个结果并不意味着爱因斯坦是错的，而且并不能表明大质量物体的存在不会使它们周围的空间弯曲。或许即使是喜马拉雅山也不足以使其周围的空间弯曲到用我们最精密的仪器可以测量出来的程度。大家应该还记得伽利略试图用他的遮光灯来测量光速的那次失败吧（见图40）！

图40　测量夹角

所以你不要气馁，一定要用更大的物体再试一次，比如太阳。

看，这就成功了！你会发现，如果你在地球上找一个点拉紧一根绳，拉到另一颗恒星上，再拉到第三颗恒星上，然后拉回地球上的起点，这三个点围成的三角形要把太阳圈在里面，这时三个角度之和很明显和180°不同。如果你没有适用于这个实验的足够长的绳子，可以用一束光线代替，哪一点都和绳子一样好，而且光学告诉我们光总是走最短的路线。

这个测量光线形成的角度的实验原理示意如图41所示。位于太阳两侧（进行观测时）的恒星SⅠ和SⅡ射出的光线会进入用来测量它们之间夹角的经纬仪，然后在太阳偏离方向时重复实验，并对两个角度进行比较。如果它们有所不同，那么就证明了太阳的质量改变了它周围空间的曲率，让光线偏离了它原有的轨迹。这个实验最开始是爱因斯坦为了证明他的理论提出的。读者们可以通过对照图42所示的类似的二维分析来更好地理解这种情况。

图41　实验原理示意

图42　二维分析

但显然在正常情况下进行爱因斯坦的这项实验是有一个实际障碍的：因为太阳圆盘的光芒，我们看不到它周围的星星，但是日全食的时候，就算在白天也可以清清楚楚地看见星星。根据这个事实，1919年一支英国天文学远征队到达普林西比群岛（非洲西部），正好发生了适合观测的日全食，他们发现两颗恒星之间的角距离在它们之间有太阳和没有太阳的情况下相差1.61″± 0.30″，之前爱因斯坦的理论计算值是1.75″。后来很多次观测又证实了相同的结果。

当然，对于一个角来说1.5″这个角度不算大，但是已经足以证明太阳的质量对它周围的空间产生了使其弯曲的作用。

如果我们可以用其他质量更大的恒星来代替太阳，那么欧几里得关于三角形内角和的定理就会出现几分甚至几度的错误。

对于一个内部的观察者来说，要花一些时间和大量的想象力去适应关于弯曲的三维空间的概念，不过一旦你明白了，它会和任何其他经典理论的概念一样清楚明确。

为了完全弄明白爱因斯坦关于弯曲空间的理论以及其与万有引力这个根本问题之间的联系，我们需要进行更重要的一步。为此我们必须记住刚才一直在讨论的三维空间是四维时空世界的一部分，后者是一切物理现象发生的场所。因此弯曲空间只不过是四维时空世界弯曲的反映，而且光线和这个世界的实物在四维世界线上的运动的表现在超空间中都应被看作曲线。

根据这个观点看待问题，爱因斯坦推出了一个非凡的结论：重力现象只不过是四维时空世界弯曲产生的效应。事实上，我们现在可以抛弃太阳对行星产生直接作用并使之在围绕着它的圆形轨道上运动这个不再适用的老观点。更准确的说法应该是：太阳的质量弯曲了它周围的时空，而行星的世界线只不过是穿过弯曲空间的测地线，如图30所示。

因此，按照我们的推理，重力作为独立力存在这种概念就完全不存在了，取而代之的是：在纯粹的空间几何学中，所有实物都在其他巨大质量的存在所造成的弯曲空间中沿着“最短的线”或者测地线运动。

解密：弯曲空间与重力的奇迹

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