四维空间的距离：实数与纯虚数的关系

2023-08-05 理论教育版权反馈

【摘要】：如上所述，既然四维空间被看作实数，而时间间隔被看作纯虚数，我们就可以说，实四维距离同普通空间距离的关系比较密切，而虚四维距离则比较接近时间距离。在采用闵可夫斯基的术语时，前一种四维距离称为类空间间隔，后一种称为类时间间隔。

在解决了空间轴和时间轴上的单位如何进行比较的问题之后，我们现在可以问：在四维时空世界中两点间的距离应该如何理解？要记住，现在每一个点都是空间和时间的结合，它对应于通常所说的“一个事件”。为了弄清这一点，让我们看看下面的两个事件。

事件Ⅰ：1945年7月28日上午9点21分，纽约市五马路和第五十街交叉处一层楼的一家银行被劫。

事件Ⅱ：同一天上午9点36分，一架军用飞机在大雾中撞到了纽约第三十四街和五、六马路之间的帝国大厦第七十九层楼的外墙上（见图32）。

这两个事件，在空间上南、北相隔16条街，东、西相隔半条街，上、下相隔78层楼；在时间上相隔15分钟。很明显，表达这两个事件的空间间隔不一定要注意街道的号数和楼的层数，因为我们可以用大家熟知的毕达哥拉斯定理，把两个空间点的坐标距离的平方和开方，变成一个直接的距离（见图32右下角）。为此，必须先把各个数据转化成相同的单位，比如英尺。如果相邻两街南、北相距200英尺，东、西相距800英尺，每层楼平均高12英尺，这样，三个坐标距离是南、北3 200英尺，东、西400英尺，上、下936英尺。用毕达哥拉斯定理得出两个出事地点之间的直线距离为

图32　事件举例

如果把时间当作第四个坐标的概念确实有实际意义，我们就能把空间距离3 360英尺和时间距离15分钟结合起来，得出一个表示两个事件的四维距离的数值。

按照爱因斯坦（Albert Einstein）原来的想法，四维时空的距离，实际上只要把毕达哥拉斯定理进行简单推广便可得到，这个距离在各个事件的物理关系中所起的作用，比单独的空间距离和时间间隔所起的作用更为基本。

要把空间和时间结合起来，当然要把各个数据用相同的单位表达，正如把街道间隔和楼房高度都用英尺表示一样。前面我们已经看到，只要将光速作为变换因子，这一点就很容易办到了。这样，15分钟的时间间隔变为800 000 000 000光英尺。如果对毕达哥拉斯定理作简单的推广，即定义四维距离是四个坐标距离（三个空间和一个时间）的平方和的平方根，我们实际上就取消了空间和时间的一切区别，承认了空间和时间可以互相转换。

然而，任何人——包括了不起的爱因斯坦在内——也不能把一根尺子用布遮上，挥动一下魔棒，再念念“时间来，空间去，变”的咒语，就变出一只亮闪闪的新牌闹钟来（见图33）！

图33　爱因斯坦教授从来都不会来这一手，但他所做的比这还要强得多

因此，我们在使用毕达哥拉斯定理将时空结合成一体时，应该采用某种不寻常的办法，以便保留它们的某些本质区别。按照爱因斯坦的看法，在推广毕达哥拉斯定理的数学表达式时，空间距离与时间间隔的物理区别可以在时间坐标的平方项前加负号来强调。这样，两个事件的四维距离可以表示为三个空间坐标的平方和减去时间坐标的平方，然后开平方。当然，首先将时间坐标转化成空间单位。

因此，银行抢劫案和飞机失事案之间的四维距离应该这样计算：

第四项与前三项相比是非常大的，这是因为这个例子取自“日常生活”，而用日常生活的标准来衡量时，时间的合理单位真是太小了。如果我们所考虑的不是纽约市内发生的两个事件，而用一个发生在宇宙中的事件作为例子，就能得到大小相当的数字了。比如说，第一个事件是1946年7月1日上午9点整的比基尼岛上有一颗原子弹爆炸，第二个事件是同一天上午9点10分有一块陨石落在火星表面。这样，时间间隔为540 000 000 000光英尺，而空间距离为6 500 000 000 000英尺，两者大小相当。

在这个例子中，两个事件的四维距离是

它在数值上与纯空间距离与纯时间间隔都很不相同。

当然，大概有人反对这种似乎不太合理的几何学。为什么对其中的一个坐标不像对其他坐标那样一视同仁呢？千万不要忘记，任何描述物理世界的数学系统都必须符合实际情况；如果空间和时间在它们的四维结合上的表现确实有所不同，那么，四维几何学的定律当然也要按照它们本来的面目去塑造。而且，还有一个简单的办法，可以使用爱因斯坦的时空几何公式，它看起来与学校里所教的古老的欧几里得几何公式一样美好。这个想法是德国的数学家闵科夫斯基（Hermann Minkowski）提出的，做法是将第四坐标看作纯虚数。你大概记得在本书第二章讲过，一个普通的数字乘以就成了一个虚数；我们还讲过，应用虚数来解几何问题是很方便的。于是，根据闵可夫斯基的提法，时间这第四个坐标不但要用空间单位表示，并且还要乘以这样，原来那个例子中的四个坐标就成了：