时间是第四维：科学中的事实与猜想

2023-08-05 理论教育版权反馈

【摘要】：第四维的概念通常被认为是神秘的、很值得怀疑的。时间的伸展从盖房时算起，到最后被烧毁，或被某个拆迁公司拆除，或因年久倒塌为止。时间间隔是用钟表量度的：嘀嗒声表示秒，当当声表示小时；而空间间隔则是用尺子量度的。不过，即使有上述区别，我们仍然可以将时间看作物理世界的第四个方向要素，不过，要注意它与空间不一样。在选择时间作为第四维时，采用本章开头所提到的描绘四维形体的方法较为方便。

第四维的概念通常被认为是神秘的、很值得怀疑的。我们这些只有宽度、长度、高度的生物，怎么敢奢谈四维空间呢？在我们三维的头脑里能想象出四维的情景吗？一个四维的正方体或四维的球体该是什么样子呢？当我们想象一头鼻孔喷火、尾巴上披鳞的巨龙或一架设有游泳池并在双翼上有两个网球场的超级客机时，实际上只不过是在头脑里描绘这些东西真的突然出现在我们面前的样子。我们描绘这种图像的背景，仍然是大家所熟悉的、包括一切普通物体——连同我们本身在内的三维空间。如果说这就是“想象”这个词的含义，那我们就想象不了出现在三维物体背景上的四维物体是什么样子的。不过且慢，我们确实可以在平面上画出三维物体来，因而在某种意义上可以说是将一个三维物体压进了平面。然而，这种压法可不是用水压机或诸如此类的设备来实现的，而是用“几何投影”的方法实现的。用这两种方法将物体（以马为例）压进平面的差别，可以从图24中看出来。

图24　把一个三维物体“压”进二维平面的两种方法（左图是错误的，右图是正确的）

用类比的方法，现在我们可以说，尽管不能把一个四维物体完全“压”进三维空间，但我们能够讨论各种四维物体在三维空间中的“投影”。不过要记住，四维物体在三维空间中的投影是立体图形，如同三维物体在平面上的投影是二维图形一样。

为了更好地理解这个问题，让我们先考虑一下，生活在平面上的二维扁片人是如何领悟三维立方体的概念的。不难想象，作为三维空间的生物，我们有一个优越之处，即可以从二维空间的上方——第三个方向上来观察平面的世界。将立方体“压进”平面的唯一方法，是用图25所示的方法将它“投影”到平面上。旋转这个立方体，可以得到各式各样的投影。观察这些投影，那些二维的扁片朋友就多少能对这个叫作“三维立方体”的神秘图形的性质形成某些概念。它们不能“跳出”自己的那个面，像我们这样看这个立方体。不过仅仅是观看投影，它们也能说出这个东西有八个顶点、十二条边等。现在看图26，你会发现，你和那些只能从平面上琢磨立方体投影的扁片人一样处于困难的境地。事实上，图中那一家人如此惊愕地研究着那个古怪复杂的玩意儿，正是一个四维超正方体在普通三维空间的投影^[1]。

图25　二维扁片人正惊奇地观察着三维立方体在它们那个世界的投影

图26　四维空间的来客（这是一个四维超正方体的正投影）

仔细观察这个物体，很容易发现，它与图25中令扁片人惊讶不已的图形具有相同的特征：普通立方体在平面上的投影是两个正方形，一个套在另一个内部，并且顶点和顶点相连；超正方体在一般空间中的投影则是由两个立方体构成的，一个套在另一个内部，顶点也相连。数一数就知道，这个超正方体共有16个顶点、32条棱和24个面。好一个正方体，是吧！

让我们再来看看四维球体该是什么样的。为此，我们最好先看一个较为熟悉的例子，即一个普通球体在平面上的投影。不妨假设将一个标记出陆地、海洋的透明球投射到一堵白墙上（见图27）。在这个投影上，两个半球无疑重叠在一起，而且，从投影上看，美国纽约和中国北京距离很近，但这只是表面现象。实际上，投影上每一个点都代表球体上两个相对的点，而一架从纽约飞往北京的飞机，其投影则先移动到球体投影的边缘，然后再一直退回来。尽管从投影图上看，两条航线完全重合，但如果它们确实分别在两个半球上，是不会相撞的。

图27　球体的平面投影

这就是普通球体平面投影的性质。再发挥想象力，我们就不难判断出四维超球体在三维投影的形状。正如普通球体的平面投影是两个重合（点对点）、只在外面的圆周上连接的圆盘一样，超球体的三维投影一定是两个互相贯穿并且外表面相连接的球体。这种特殊结构，我们在上一章已经讨论过了，不过那时是作为与封闭球面类似的三维封闭空间的例子提出的。因此，这里只需再补充一句：四维球体的三维投影就是上一节讲到的两个沿整个外表皮长在一起的苹果。

同样地，用这种类比法，我们能够解答许多有关四维形体的其他性质。不过，无论如何，我们也绝不可能在我们这个物理空间内“想象”出第四个独立的方向来。

但是，只要你再深入思考一下，就会意识到，把第四个方向看得太神秘是毫无必要的。事实上，有一个我们几乎每天都要用的字眼，可以用来表示，并且也的确就是物理世界的第四个独立的方向，这个字眼就是“时间”。时间经常和空间一起用来描述我们周围发生的事情。当我们说到宇宙中发生的任何事情时，无论是在街上与老朋友邂逅，还是遥远的星体爆炸，一般都不只说出它发生在何处，还要说出它发生在何时。因此，除了表示空间位置的三个方向要素外，又增加了一个要素——时间。

再进一步考虑，你会很容易地意识到，所有实际物体都是四维的：三维属于空间，一维属于时间。你所住的房屋就是在长度上、宽度上、高度上和时间上伸展的。时间的伸展从盖房时算起，到最后被烧毁，或被某个拆迁公司拆除，或因年久倒塌为止。

不错，时间这个方向要素与其他三维大不相同。时间间隔是用钟表量度的：嘀嗒声表示秒，当当声表示小时；而空间间隔则是用尺子量度的。此外，你能用一把尺子来量度长、宽、高，却不能把这把尺子变成钟表来量度时间；还有，在空间中你能向前、向后、向上走，然后再返回来，而在时间上却只能从过去到将来，是退不回去的。不过，即使有上述区别，我们仍然可以将时间看作物理世界的第四个方向要素，不过，要注意它与空间不一样。

在选择时间作为第四维时，采用本章开头所提到的描绘四维形体的方法较为方便。还记得四维形体，比如那个超正方体的投影是多么古怪吧？它居然有16个顶点、32条棱和24个面！难怪图26中的那些人会瞠目结舌地瞪着这个几何怪物了。

不过，从这个新观点出发，一个四维正方体就只是一个存在了一段时间的普通立方体。如果你在5月1日用12根铁丝做成一个立方体，一个月后把它拆掉，那么，这个立方体的每个顶点都应看作沿时间方向有一个月那么长的一条线。你可以在每个顶点上挂一本小日历，每天翻过一页以表示时间的进程。

现在要数出四维形体的棱数就很容易了（见图28）。在它开始存在时有12条棱，它在结束时还有12条棱^[2]，另外还有描述各个顶点存在时间的8条“时间棱”。用同样的方法可以数出它有16个顶点：在5月1日有8个空间顶点，在6月1日也有8个空间顶点。用同样的方法还能数出面的数目，请读者自己练习。不过要记住，其中有一些面是这个普通正方体的普通正方形面，而其他的面则是由于原正方体的棱从5月1日伸展到6月1日而形成的“半空间半时间”面。

图28　四维正方体的例子

这里所讲的有关四维正方体的原则，当然可以应用到任何其他几何体或物体上，无论它们是活的还是死的。

具体地说，你可以把你自己想象成一个四维空间体。这很像一根长长的橡胶棒，从你出生之日延续到你生命结束之时（见图29）。遗憾的是，在纸上无法画出四维的物体来，所以，我们所取得的时间方向是和扁片人所居住的二维平面垂直的。图29只表示出这个扁片人整个生命中很短暂的一部分，至于整个过程则要用一根很长的橡胶棒来表示：以婴儿开始的那一端很细，在很多年里一直变动着，直到死时才有固定不变的形状（因为死人是不会动的），然后开始分解。

图29　如橡胶棒一样的四维空间体

如果要更准确，我们应该说，这个四维棒是由为数众多的一束纤维组成的，每一根纤维是一个单独的原子。在生命过程中，大多数纤维聚在一起成为一群，只有少数在理发或剪指甲时离去。因为原子是不灭的，人死后，尸体的分解也应考虑为各纤维向各个方向飞去（构成骨骼的原子纤维除外）。

在四维时空几何学的词汇中，这样一根表示每一个单独物质微粒历史的线叫作“世界线”（时空线）。同样，组成一个物体的一束世界线叫作“世界束”。

图30所示是一个表示太阳、地球和彗星的世界线^[3]的天文学例子。如同前面所举的例子一样，我们让时间轴与二维平面（地球赤道平面）垂直。太阳的世界线在图中用与时间平行的直线表示，因为我们认为太阳是不动的^[4]。地球绕太阳运动的轨道近似圆形，它的世界线是一条围绕着太阳世界线的螺旋线。彗星的世界线先靠近太阳的世界线，然后又远离而去。

图30　世界线的天文学例子

我们看到，从四维时空几何学的角度着眼，宇宙的历史和拓扑涂层融洽地结合成一体；要研究单个原子、动物或恒星的运动，都只考虑一束纠结的世界线就行了。

时间是第四维：科学中的事实与猜想

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