翻转空间：科学事实与猜想

直到现在，我们都在谈论各种曲面，即二维空间的拓扑学原理。对于我们生活于其中的三维空间，我们也可以提出类似的问题。如此一来，在三维情况下地图着色问题就变成了：用不一样的物质造出不同性质的镶嵌体，然后把它们拼在一起，并且同一种物质的两个小块没有共同的接触点、线、面。这样的话，究竟需要多少种物质呢？

哪种三维空间适用于二维的球面或环状圆纹曲面呢？可不可以想出一些特殊空间，它们和一般空间的关系就如同球面或环状圆纹曲面和一般平面的关系呢？猛一看，好像没有必要提出这个问题，虽然想出很多种类的曲面对我们来说很容易，然而我们却一直相信只有一种三维空间，那就是我们熟知并生活于其中的物理空间。但是，这类想法是有欺骗性，让人感觉危险的。我们只要运用一下想象力，就可以想到一些其他的三维空间，它迥异于欧几里得教科书里所描述的空间。

想象这样一些古怪空间的主要困难是，我们只有“从内部”去观察这个空间，而无法像在观察各种曲面时那样“从外部”去观察，因为我们本身也是三维空间中的生物。但是，我们能够让自己在征服这些怪空间时不用太费劲，比如我们可以做几节脑力操。

我们要先创建一种三维空间模型，它的性质与球面类似：没有边界，但是有确定的面积；是弯曲的，自我封闭的。这些都是球面的主要性质。我们可不可以想象出一种一样自我封闭，具有确定体积但是没有明显界面的三维空间呢？

想象有两个球体，每一个都被限制在自己的球形表面内，就像两个没有削皮的苹果。现在，我们可以想象这两个球体彼此穿过外表面粘在一起。话说回来，这并不是两个像苹果一样的实物，它们可以互相穿透并将外皮粘连在一起。而苹果即使是被挤成碎块，也不会互相穿透。

或是，我们想象有个苹果，虫子把它吃出了弯曲盘绕的隧道。假设有一黑一白两种虫子，它们彼此回避，彼此厌恶。所以，虽然在苹果皮上它们可以从相邻的两点蛀食进去，但是苹果内两种虫子所蛀的隧道并不相连。这个被两种虫子蛀来蛀去的苹果，就会出现互相紧密纠缠、布满整个苹果内部的双条隧道，如图18所示。虽然黑虫与白虫的隧道能够非常接近，但是必须先走到表面上去，才能从这两座迷宫中的一座跑到另一座。假如设想的隧道数目越来越多，越来越细，它们最终会在苹果内得到两个互相交错的独立空间，它们只在公共表面上相连。

图18　被两种虫子所蛀的苹果

你要是不喜欢用虫子当作例子，可以想象一种双过道楼梯系统，就像纽约世界贸易大厦那座巨大球形建筑里的样子。想象整个球体内被每一套楼梯系统盘过，必须先走到球面上两套楼梯的会合处，然后往里走，才能从其中一套楼梯的一个地点到达相邻一套楼梯的一个地点。这两个球体互相交错，但是互不干扰。你和你的朋友要见见面、握握手都必须要兜好大一个圈子，虽然你们可能离得很近。值得注意的是，因为你一直都可以把整个结构变形，把连接点弄到里面去，把之前在里面的点移到外面来，所以两套楼梯系统的连接点实际上与球内的各点并没有什么不同之处。另外要注意的是，虽然在这个模型中两套楼梯系统的总长度是确定的，但是不存在“死胡同”。你在楼梯中绝不会被墙壁或栅栏挡住，可以在其中来回走动；你一定会在某一时刻重新走到你的出发点，只要你走得足够远。假如从外面观察整个结构，你可以说，由于楼梯逐渐弯曲成了球形，在这迷宫里行走的人总是会回到出发点。但是这个空间对于处于内部、不了解“外面”的人来说，就是一种具有确定大小但是没有明确边界的东西。这种没有明显边界但是并非无限的“自我封闭的三维空间”在普遍地讨论宇宙性质时是非常实用的，这一点我们会在下一章里谈到。实际上，之前用最厉害的望远镜所进行的观察似乎证明了，宇宙在我们视线边缘这么远的距离上好像开始弯曲了，这就像那个被虫蛀出隧道的苹果的例子一样，显示出它有明显的折回来自我封闭的趋势。但是，在探索这些让人激动的问题之前，我们还必须了解空间的一些其他性质。

我们与苹果和虫子的缘分还没有结束。能不能把一只被虫子蛀过的苹果变成一个甜甜圈是下一个问题。我们现在只是说让苹果和甜甜圈的形状变得一样，而不是说让它们的味道变得一样。我们所研究的不是烹饪法，而是几何学。让我们拿一只之前说过的两个“互相穿过”并且表皮“粘连在一起”的苹果。如图19所示，假设其中一只苹果被一只虫子蛀出了一条环形隧道。

图19　怎样把一个被虫蛀过的“双苹果”变成一个好吃的甜甜圈

不要忘了，隧道是被蛀在一只苹果里面的。因此，在隧道内只有那个没有被蛀过的苹果的物质，在隧道外的每一点都是属于两个苹果的双重点。这个“双苹果”如今有了一个由隧道内壁组成的自由表面［见图19（a）］。

要是苹果怎么捏就怎么变形，是否可以假定它具有很大的可塑性呢？如果苹果不会发生裂口，可以把这个被虫子蛀过的苹果变成面包圈吗？把苹果切开是为了便于操作，但是在实施过必需的变形操作后，还应该把原切口给粘起来。

首先，我们要除去粘住这个“双苹果”果皮的胶质，把两个苹果分开［见图19（b）］。用Ⅰ和Ⅰ′表示这两张果皮，以便在下面各个步骤中盯住它们，并在最后重新把它们粘起来。然后，把那个被蛀出一条隧道的苹果沿隧道切开［见图19（c）］。这一下又切出两个新面来，记之以Ⅱ、Ⅱ′和Ⅲ、Ⅲ′，后面还会把它们粘回去。现在，隧道的自由面显示出来了，它应该成为甜甜圈的自由面。那么，我们现在就按图19（d）的样子来摆弄这几个“零件”。现在这个自由面被拉伸成很大一块。不过，按照我们的假设，这种物质是可以任意伸缩和切开的，面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ都变小了。与此同时，我们也对第二个苹果进行手术，把它缩小成樱桃那么大。现在开始往回粘。第一步先把Ⅲ、Ⅲ′粘上，这很容易做到，粘成后如图19（e）所示。第二步把被缩小的苹果放在第一个苹果所形成的两个夹口中间。收拢两个夹口，球面Ⅰ就和Ⅰ′重新粘在一起，被切开的面Ⅱ和Ⅱ′也再结合起来。这么一来，我们就得到了一个甜甜圈，光溜溜的，多么精致！

这样做有什么用处呢？

除了让你做做脑力操，体会一下何谓想象几何学以外，其实这样做也没什么用，但这对理解弯曲空间和封闭空间这些不寻常的东西很有帮助。

如果你愿意让你的想象力走得更远一些，那我们就来看看上面做法的一个实际应用。你的身体居然具有甜甜圈的形状，这一点你可能从来没有意识到吧。实际上，所有生命有机体在它们发育的初始阶段都经历过“胚囊”这个阶段。在这一阶段，它中间贯穿着一条宽阔的通道，呈现球形。通道的一端用来输入食物，生命体汲取了有用成分之后，由另一端排出剩余的物质。等到了发育成熟期，这条内部通道就会越发复杂，变得越来越细，甜甜圈形体的全部几何性质都没有改变，最重要的性质依然如故。

那么，你自己现在也是个面包圈了，现在试一下按照图19所示过程的逆过程把它翻回去，把你的身体（在思维中）变成有一条内部通道的“双苹果”。你会发现，你身体中彼此有些交错的各个部分组成了这个“双苹果”的果体，而包括地球、月亮、太阳和星辰的整个宇宙，都被挤进了内部的圆形隧道！

你还可以试着画画看，看能画成什么样子。假如你的成绩不错，那就连达利本人也要承认你是超现实派的绘画权威了（见图20）。这一节已经够长了，但我们不能就此结束，还得讨论一下左手系和右手系物体以及它们与空间的一般性质的关系。这个问题通过一副手套来讨论最为简便。一副手套有两只（见图21），把它们比较一下就会发现，它们的所有尺寸都相同，然而，两只手套却有很大的不同：你决不能把左手那只戴到右手上，也不能把右手那只戴到左手上。你可以随意地把它们扭来转去，但左手套永远是左手套，右手套永远是右手套。另外，从鞋子的形状、汽车的操纵系统（美国的和英国的）、高尔夫球棒等其他很多物体，都可以看到左手系和右手系的区别。

图20　翻过来的宇宙（这幅超现实的图画所表现的是一个人在地球表面上走，并抬头看着星星。这幅画是用图19所示的方法进行拓扑学变换的。地球、太阳和星星都被挤到了人体内的一个狭窄的环形通道里，它们的四周是人体的内部器官）

图21　右手系和左手系的物体（它们看起来非常相像，但却极为不同）

另外，像礼帽、网球拍等物体就没有这种差别。去商店里买几只左手用的茶杯这种蠢事没有人会做；要是有谁让你去向邻居借一把左手用的活动扳手，那根本就是在搞恶作剧。那么，这两种物体的区别有哪些呢？你稍微思考一下就能感觉到，一个对称面会存在于礼帽和茶杯这一类物体上，沿着这个面可以把物质切成两个相同的部分。这种对称面在手套和鞋子上就不存在。你完全可以试试看，不管你如何切，你都无法把一只手套割为两个同样的部分。假如某一类物体不存在对称面，我们可以说它们是非对称的，而且可以把它们分为左手系和右手系两类。这两类的差别在自然界中也很常见，而不仅在手套这种人造的物体上表现出来。举个例子，有两种不同的蜗牛在别的方面都一样，不同之处仅在于给自己盖房子的方式：一类蜗牛的壳是顺时针的螺旋形，另一类蜗牛的壳是逆时针的螺旋形。即使在分子这种构成所有物质的微粒中，也经常有左旋和右旋两种形态，就像手套和蜗牛壳的情况一样。当然，肉眼是看不见分子的，然而，这种不对称性都体现在这类分子所构成的物质的结晶形状和光学性质中。比如，糖就有两种，左旋糖和右旋糖；不管你信不信，还有两种细菌会吃糖，每一种仅吞吃和自己同类的糖。

从以上内容来看，如果把一个右手系物体（例如一只右手套）变为左手系物体，应该是根本不可能的。但事实果真如此吗？可以设想出一些能够实现这类变化的神奇空间吗？我们之所以能站在比较优越的三维地位上来考察各个方面，是因为我们从生活在平面上的扁平人的角度解答了这个问题。请看图22，图中画出了只有两维空间的扁平国的代表。我们称呼那位手里拿着一串葡萄的站着的人为“正面人”，因为他没有侧面，只有正面。他身边的动物则是一头“侧面驴”，严格来说，是一头“右侧面驴”。话说回来，我们也可以把一头“左侧面驴”画出来。此时，从两维的观点来看，因为两头驴都局限在这个面上，它们的差别就像在三维空间中的左、右手套一般。你无法让“左侧面驴”和“右侧面驴”一起向前，因为它们中的一个必须要翻个肚皮朝天，才能鼻子碰着鼻子、尾巴碰着尾巴。要是这样的话，它就只有四脚朝天，连站都站不住了。

图22　扁平国的代表（生活在曲面上的二维“扁片生物”就是这个样子的。不过，这类生物很不“现实”。那个人有正面而无侧面，他不能把手里的葡萄放进自己嘴里。那头驴子吃起葡萄来倒是挺便当，但它只能朝右走。如果它要向左去，就只好退着走。驴子倒是常往后退的，不过这毕竟不那么像样）

然而，要是从面上取下来一头驴子，在空间中掉一下头，然后放到面上去，两头驴子就完全一样了。和这个类似，我们要是从我们这个空间中把一只右手套拿到四维空间中，用合适的方法旋转一下然后放回来，它就会变为一只左手套。不过，上面的方法是根本无法实现的，因为我们这个物理空间并没有第四维存在。那么，还有其他的方法吗？

我们还是回到二维世界中来吧。然而，我们要把像图22那样的一般平面换为所谓莫比乌斯面。一个世纪前^[6]第一个对这种面进行研究的德国数学家命名了这种曲面。要得到它是很容易的：取一张长条普通纸，在一端拧一个弯后，把两端粘在一起，形成一个环。这个环的做法可以参看图23。这种面具有很多特殊的性质，我们很容易发现其中的一个性质：拿一把剪刀沿着和边缘平行的中线剪一圈（图23中的箭头），你肯定会觉得，这样做的话这个环会被剪成两个独立的环，但是你试一下就会知道你想得不对，你得到的只有一个环，并非两个环，它比之前那个长一倍，窄一半。

我们来看看，一头侧面驴沿着莫比乌斯面走一圈会有什么事情发生。假设它从位置1（见图23）开始，现在看到它是头“右侧面驴”。我们可以清楚地在图上看到，它一直在走，走过了位置2、位置3，最终又离出发点很近。然而，不只是你觉得奇怪，就是它自己都觉得有问题了，它居然蹄子朝上了。当然，它可以在面里旋转一下，让蹄子朝下，不过这样一来，头的方向就又不对了。

图23　莫比乌斯面和克莱因瓶

总之，我们的“左侧面驴”沿着莫比乌斯面走了一圈后变成了“右侧面驴”。别忘了，这种情况是在驴子一直处在面上而从未被取出来在空间旋转的情况下发生的。然后我们发现，在一个扭曲的面上，左、右手系物体全部能在经过扭曲处时发生转换。图23所示的莫比乌斯面是被称为“克莱因瓶”（见图23右边）的更一般性的曲面的一部分。克莱因瓶自我封闭且没有明显的边界，只有一个面。假如这种面在二维空间里存在，那么，在三维空间中也会发生同样的情况。空间本身必须有一个合适的扭曲。当然，想象莫比乌斯空间不是一件简单的事情。我们处于内部通常是看不清我们自己的这个空间的，而且也无法像看侧面驴那样从外部看。然而，天文空间都有一个莫比乌斯式扭曲，它并非不可能自我封闭。

假如情况真的是这样，那么，环游宇宙的旅行家回到地球上时将会带着一颗位于右胸腔内的心脏。手套和鞋子生产商也许会因为简化生产过程而得到一些益处，因为他们只需要制造一样的鞋子和手套，接着把一半产品装入飞船，让它们绕行宇宙一周就可以了。

我们就用这一奇想来为这个不寻常空间的不寻常性质的讨论画上句号吧。

【注释】

[1]“几何学”这个名词出自两个希腊文ge（地球或地面）和metrein（测量）。很明显，在构造这个词的时候，古希腊人对这门科学的兴趣是同他们的实际房产联系在一起的。

[2]这个名词在拉丁文和希腊文中的意思都是定位研究。

[3]对本书中所举的拓扑学基本范例有兴趣的读者，可在《数学是什么？》（What is Mathematics？）一书中找到详尽的叙述。

[4]德国占领前用三种颜色就够了：瑞士涂绿色，法国和奥地利涂红色，德国和意大利涂黄色。

[5]平面上和球面上的地图着色问题是相同的。因为，当把球面的地图上色问题解决之后，我们就能在某一种颜色的地区开一个小洞，然后把整个球面“摊开”成一个平面，这还是上面那种典型的拓扑学变换。

[6]指19世纪。