维度与坐标：科学中的事实与猜想，从一到无穷大

2023-08-05 理论教育版权反馈

【摘要】：还要补充一点，在有些情况下，用角度当坐标会方便很多，3个坐标不一定非得是表示距离的数。比如，在纽约，通常用街道和马路来表示位置，这称为直角坐标；而莫斯科是围绕克里姆林宫建立起来的城市，所以需要用极坐标来表示位置。假如某座房子坐落在克里姆林宫东北方向第二十条马路上，肯定能很方便地查找到这座房子。

我们都明白空间是什么意思，但如果非要说出这个词的确切含义，又说不出它到底是个什么意思。你也许会这么说：包容一切，可以让万物在其中上下、前后、左右运动的就是空间。我们所处的物理空间之最基本的性质之一，是由3个互相垂直的独立方向所构成的。这个空间是三维的，也就是有3个方向，可以用这3个方向确定空间里的任一位置。假如我们去了一座陌生的城市，想找一家有名的办事处，旅店服务员就会和你说往南走过五个街区，接着向右拐，再经过两个街区，然后再上到第七层楼，这3个数就可以看作坐标。在这个例子中，大街、楼的层数和出发点（旅店前厅）的关系由坐标来确定。只要采用一套能准确表示新出发点和目标点之间关系的坐标，就能从其他别的地方来判断相同的目标点的方位，这一点是显而易见的。此外，还可以通过简单的数学计算，用老坐标表示新坐标，前提是要知道新、老坐标系统的相对位置，我们称这一过程为“坐标变换”。还要补充一点，在有些情况下，用角度当坐标会方便很多，3个坐标不一定非得是表示距离的数。

比如，在纽约，通常用街道和马路来表示位置，这称为直角坐标；而莫斯科是围绕克里姆林宫建立起来的城市，所以需要用极坐标来表示位置。若干街道从城市中心辐射出来，环城还有多条同心的干路。假如某座房子坐落在克里姆林宫东北方向第二十条马路上，肯定能很方便地查找到这座房子。

几种用3个坐标表示空间中某一点位置的方法如图12所示，其中一些坐标是距离，一些坐标是角度。因为我们所研究的是三维空间，所以不管是什么系统，都需要3个数。

图12　用三个坐标表示空间中某一点位置的不同方法

对我们这些具备三维空间概念的人而言，设想比三维空间的维数多的多维空间是困难的，而设想比三维空间的维数少的低维空间却相对容易，二维空间可以是一个平面、一个球面或者其他什么面。只用两个数就可以表示面上的任意一点。同样的道理，只要用一个数就可以表示线上各点的位置，因为线（直线或曲线）是一维的。我们同样也可以说，在一个点上没有两个不同的位置，因为点是零维的。但再想想，有谁会对点感兴趣呢？

由于我们能“从外面”观察它们，所以作为一种三维的生物，我们认为很容易理解线和面的几何性质。不过，因为我们是这个空间的一部分，所以理解三维空间的几何性质就有点难度了。这就是为什么我们非常轻易就理解了曲线和曲面的概念，但是会在听到有弯曲的三维空间时惊讶不已。

不过，只要利用一些实践去了解“曲率”这个词的准确含义，你会发觉弯曲的三维空间这个概念实际上是非常简单的。此外，我们希望在下一章完结之前，你可以轻松讨论一个貌似非常可怕的概念，即弯曲的四维空间。

但是，我们先来做几节关于一维曲线、二维曲面和普通三维空间的脑力操，然后再讨论弯曲的三维空间。

维度与坐标：科学中的事实与猜想，从一到无穷大

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