数学女王：最纯粹的数学与科学交融

2023-08-05 理论教育版权反馈

【摘要】：数学通常被认为是所有自然科学的女王，尤其是在数学家的心目中，作为一个女王，它自然要避免与其他学科发生“贵贱联姻”的情况。但是，尽管数学本身是青睐纯理论的，想要与其他科学，尤其是物理，保持一定的距离，但数学也尽可能与它们“友好相处”。它就是所谓的“数论”，它是最古老、最复杂的数学基础理论之一。奇怪的是，数论作为一门最纯粹的数学学科，从某种角度来说，可以被称为一种经验科学，甚至是实验科学。

数学通常被认为是所有自然科学的女王，尤其是在数学家的心目中，作为一个女王，它自然要避免与其他学科发生“贵贱联姻”的情况。譬如，为了消除数学家两大流派之间的敌意，大卫·希尔伯特被要求在“基础数学与应用数学联合大会”开幕式上致辞，他用下面这种方式开场：

我们经常被告知，基础数学与应用数学势不两立，这种说辞并不正确，基础数学和应用数学不是敌对的双方，基础数学和应用数学从来都没有对立过，将来也不会相互对立。基础数学和应用数学不可能是敌对的，因为，事实上，它们之间没有任何共通之处。

但是，尽管数学本身是青睐纯理论的，想要与其他科学，尤其是物理，保持一定的距离，但数学也尽可能与它们“友好相处”。而现在，每一个基础数学的分支几乎都被用来解释物理宇宙的这个或那个特征，其中包括抽象群理论、不可交换代数，以及非欧几里得几何学等学科，这些都是一直被认为最偏向于基础理论且没有任何用途的学科。

然而，有一个庞大的数学系统，到目前为止，除了用来刺激大脑皮层之外，毫无用处可言，因此它可以戴上象征荣耀的“纯粹皇冠”。它就是所谓的“数论”（基础数学中研究整数的分支），它是最古老、最复杂的数学基础理论之一。

奇怪的是，数论作为一门最纯粹的数学学科，从某种角度来说，可以被称为一种经验科学，甚至是实验科学。事实上，它的大多数命题都是在数字方面作不同的探索，就像物理定律对实物对象进行各种探索之后得到结果一样。正如物理学中，有些命题通过“纯数学”的方法被证明，而另一些命题则还是纯经验主义的，它们仍在挑战着世界上最优秀的数学家们的大脑。

比如关于质数的问题，质数就是指除了1和其本身之外不再有其他因数的自然数。1、2、3、5、7、11、13、17等都是质数，而12就不是，因为它可以写成2×2×3。

质数的个数是无限的吗？还是说存在一个最大质数，凡是比这个质数大的数都可以用若干个已知质数的乘积来表示？这个问题最早由欧几里得自己提出，并且给出了一个简单而优雅的证明，即质数的个数是无限的，所以不存在“最大质数”这个东西。

为了验证这个观点，我们暂时假设质数的个数有限，用字母N表示最大的质数。现在我们求全体质数的乘积，然后再加上1，即

（1×2×3×5×7×11×13×…×N）+1

当然，这个数远远大于假设出来的“最大质数”N。但是，很明了的是，这个数不能分解成若干个已知质数（包括N在内）的乘积，因为从它的构造我们可以看出，把所有质数除完之后，还有余数1。因此，这个数要么是个质数，要么可以被一个大于N的质数整除，这两种情况都与我们最初的假设（N是最大的质数）矛盾。这种证明方法叫作反证法，是数学家最喜欢的证明方法之一。

一旦我们知道质数是无限的，我们就会发问，是否有一种简单的方法，可以依次把质数列出来，而不遗漏其中任何一个？解决这个问题的方法最早由古希腊哲学家和数学家埃拉托色尼提出，这就是现在广为人知的“质数筛法”。你需要先把完整的自然数序列写出来，如1、2、3、4，等等，然后删除所有2的倍数，再删除所有3的倍数、5的倍数，等等。埃拉托色尼对前100个自然数的筛选情况如图9所示。

图9　埃拉托色尼筛选前100个自然数

图9中一共有26个质数。利用上述简单的筛选方法，我们可以制出大到10亿的质数表。

如果有一个公式，能够快速、自动地筛选出所有质数，那问题就简单多了。但是，几个世纪以来人们进行了各种各样的尝试，至今没有找到这样的公式。1640年，著名的法国数学家费马认为自己找到了一个只挑选质数的公式：

其中n=1，2，3，4…。

利用这个公式我们可以得到：

实际上，由这个公式得到的都是质数。但大约在费马宣布这个消息一个世纪之后，德国数学家欧拉证明，费马公式中n为5，即的结果4 294 967 297不是质数，而是6 700 417和641的乘积。因此，费马计算质数的经验性公式被证明是错误的。另一个可以生成很多质数的公式是

n2-n+41

其中n还是表示1，2，3…。已经证明，在n为1～40的任一整数的情况下，利用上述公式只能得到质数，但不巧的是，当n=41的时候，这个公式错得很彻底。

实际上，

（41）2-41+41=412=41×41

这是一个完全平方数，不是一个质数。

还有一个不成立的公式：

n2-79n+1 601

只有在n不大于79的情况下才可以由这个公式得到质数。因此，如何找到一个只得到质数的通用公式仍然是个未解之题。

数论上还有一个有趣的理论，至今既没有被证实也没有被证伪，那就是提出于1742年的哥德巴赫猜想，它指出每个偶数都可以用两个质数的和来表示。举几个简单的例子，你很容易发现它是正确的，比如：12=7+5，24=17+7，32=29+3。但是，尽管做了大量的工作，数学家们至今没有给出这一说法确凿无误的结论性证明，也没有找到一个可以推翻它的例子。早在1931年，一位俄罗斯数学家辛尼勒曼（Schnirelman）就向理想的证明迈出了建设性的第一步，他证明出每个偶数都是不超过30万个质数的和。再后来，辛尼勒曼的“30万个质数之和”和理想的“两个质数之和”的差距又被另一位俄罗斯数学家维诺格拉多夫（Vinogradoff）大大地缩小了，他证明了偶数是“4个质数之和”。但是，从维诺格拉多夫的“4个质数”到哥德巴赫的“两个质数”这最后两步似乎是最艰难的，没有人知道证明或证伪这个复杂的命题还需要几年或者是几个世纪的时间。

所以，我们距离推导出一个能够自动算出任意大质数的公式还有很长一段路要走，甚至我们连这样的公式到底存不存在都不能确定。

现在我们可以问一个更简单的问题——是否能够算出一个数值区间内质数的占比，在取值越来越大的情况下，这个占比是否会趋近一个常数？答案如果是否定的话，那它是增大还是减小？我们可以依靠经验，计算表1中各个区间内的质数数量，我们发现小于100（102 ）的质数有26个，小于10 000（104）的质数有168个，小于100万（106）的质数有78 498个，小于10亿（109）的质数有50 847 478个。用这些数字除以相应的数值区间，得到质数占比如表1所示。

表1

从表1首先可以看出，随着数值范围的扩大，质数的数量相对减少，但是并不存在质数的终止点。

有没有一个简单方法可以用数学形式表示这种质数占比随范围的扩大而减小的现象呢？答案是有的，并且这个有关质数平均分布的规律已经成为数学上最值得称道的发现之一。这条规律很简单，就是：从i到任何自然数N之间所含质数的百分比，近似由N的自然对数^[1]的倒数所表示。N越大，这个规律就越精确。

从表1的第4列，可以看到N的自然对数的倒数。把它们和第3列对比一下，就会看出两者是很相近的，并且N越大，它们就越相近。

有许多数论上的定理，开始时都是凭经验作为假设提出，而在很长一段时间内得不到严格证明的。上面这个质数定理也是如此。直到19世纪末，法国数学家阿达马和比利时数学家布散才终于证明了它。由于证明的方法太烦琐，这里就不介绍了。

既然谈到整数，就不能不提一提著名的费马大定理，尽管这个定理和质数没有必然的联系。要研究这个问题，先要回溯到古埃及。古埃及的每一个好木匠都知道，一个边长之比为3∶4∶5的三角形中，必定有一个角是直角。现在有人把这样的三角形叫作埃及三角形。古埃及的木匠就是用它作为三角尺的^[2]。

公元3世纪，亚历山大里亚城的丢番图（Diophante）开始考虑这样一个问题：从两个整数的平方和等于另一整数的平方这一点来说，具有这种性质的是否只有3和4这两个整数？他证明了还有其他具有同样性质的整数（实际上有无穷多组），并给出了求这些数的一些规则。这类三个边都是整数的直角三角形称为毕达哥拉斯三角形。简单来说，求这种三角形的三边就是解方程

x2+y2=z2

式中，z，y，z必须是整数^[3]。

1621年，费马在巴黎买了一本丢番图所著《算术学》的法文译本，里面提到了毕达哥拉斯三角形。当费马读这本书的时候，他在书上空白处作了一些简短的笔记，并且指出：

x2+y2=z2

有无穷多组整数解，而形如

xn+yn=zn

的方程，当n大于2时，永远没有整数解。

他后来说：“我当时想出了一个绝妙的证明方法，但是书上的空白太窄了，写不完。”

费马死后，人们在他的图书室里找到了丢番图的那本书，里面的笔记也公之于世了，那是在3个世纪以前。从那个时候起，各国最优秀的数学家们都尝试重新做出费马写笔记时所想到的证明，但至今都没有成功。当然，在这方面已有了相当大的发展，一门全新的数学分支——“理想数论”——在这个过程中被创建起来了。欧拉证明了方程x3+y3=z3和x4+y4=z4不可能有整数解。狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）证明了方程x5+y5=z5也是这样。依靠其他一些数学家的共同努力，现在已经证明，在n小于269的情况下，费马的这个方程都没有整数解。不过，对指数n在任何值下都成立的普遍证明却一直没能做出。人们越来越倾向于认为，费马不是根本没有进行证明，就是在证明过程中有什么地方搞错了。为征求这个问题的解答，有人曾经悬赏过10万马克。那时，研究这个问题的人真是不少，不过，这些拜金的业余数学家都一事无成。这个定理仍然有可能是错误的，只要能找到一个实例，证实两个整数的某一次幂的和等于另一个整数的同一次幂就行了。不过，这个幂次一定要在比269大的数目中去找，这可不是一件容易事啊。

数学女王：最纯粹的数学与科学交融

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