无穷大数的计数与比较方法，揭秘科学中的事实与猜想

2023-08-05 理论教育版权反馈

【摘要】：但的确有一些无穷大的数，它们比我们可以写出的任何数都要大，不管我们花多长时间都写不出来。康托尔提出了与此相同的方法，用于比较两个无穷数。但这只是你的印象，为了得到准确的答案，你必须运用上面的方法来比较这两个无穷数。根据我们比较无穷数的规则，我们不得不承认偶数数列的无穷数和所有数字的无穷数一样大。实际上，在无穷数的世界里，部分可能与全体相等！

在上一节中，我们讨论了数字，其中有许多相当大的数字。尽管西萨·班·达依尔所要求的麦粒数量大到令人咋舌，但它仍然是有限的，只要给的时间足够多，一个人还是能够把最后一位给写出来的。

但的确有一些无穷大的数，它们比我们可以写出的任何数都要大，不管我们花多长时间都写不出来。比如，“所有数字的个数”显然是不确定的，“线段上的所有点”也是如此。关于这些数字，除了无穷大之外，还有什么要交代的吗？或者说，有没有可能，把两个无穷大的量作比较，看哪一个“更大”？

“所有数字的个数和线段上的所有点，孰大孰小？”问这样的问题有意义吗？这样的问题乍一听有些搞怪，但却是著名的数学家格奥尔格·康托尔（见图5）深思熟虑后提出来的，他才是“无穷算术学”真正的奠基人。

图5　非洲土著和康托尔教授都在比较一对他们数不出来的数字

如果我们非得谈论两个无穷数孰大孰小，那我们将面临一个问题，那就是我们不能把它们定义或书写出来，这和一个霍屯督人打开宝箱查看自己的水晶念珠和铜币哪一样多的处境如出一辙。但是，正如你们所知，霍屯督人数不到3以上。那么，霍屯督人会因为无法数出水晶念珠和铜币的数目而放弃比较吗？肯定不会。如果他足够聪明，他会把水晶念珠和铜币一一比较，从而得到他的答案。他会在一个水晶念珠旁边放上一枚铜币，在第二个水晶念珠旁边放上第二枚铜币，依此类推。如果他用光了所有的水晶念珠之后，还有铜币剩余，他就会知道他拥有的铜币比水晶念珠多；反之，用光了铜币还有水晶念珠剩余，那就是水晶念珠比铜币多；如果两样同时用完，那他就知道水晶念珠和铜币一样多。

康托尔提出了与此相同的方法，用于比较两个无穷数。假设我们可以把两个无限集合中的对象两两比对，其中一个无限集合里的每一个对象都可以与另一个无限集合里的对象比对，而且比对之后，两个无限集合均无剩余对象，那么就说这两个无穷数是相等的。但是，如果这种比对方法无法实现，或者其中一个无限集合有对象剩余，那我们就说这个无限集合所对应的无穷数比另一个更大，或者说更强。比较两个无穷数，这显然是最合理的方法，事实上也是唯一可行的方法，但当我们开始付诸实践的时候，一定要做好接受惊喜的准备。举个例子，所有偶数组成的无限集合与由所有奇数组成的无限集合，你当然会直觉地感到偶数和奇数一样多，因为这和上面的方法完全一致，这些数可以进行一对一的比对：

上面，每个奇数都有一个偶数与之对应，反之亦然，因此偶数的无穷数等于奇数的无穷数。这真是再简单和自然不过了！

但是，等一下。你认为包括偶数和奇数的所有整数的个数和偶数的个数哪个大？当然，你会说所有整数的个数更大，因为它囊括了所有的偶数和所有的奇数。但这只是你的印象，为了得到准确的答案，你必须运用上面的方法来比较这两个无穷数。比较之后，你会惊讶地发现你的印象是错误的。下面是所有数字一一对应的列表，上面一列是所有数字，下面一列只有偶数。

根据我们比较无穷数的规则，我们不得不承认偶数数列的无穷数和所有数字的无穷数一样大。当然，这句话听上去是矛盾的，因为偶数只是所有数字的一部分，但是有一点你要清楚，我们是站在无穷数的层面来作比较的，所以必须做好与不同特性“不期而遇”的思想准备。

实际上，在无穷数的世界里，部分可能与全体相等！阐述这个观点最好的例子是关于著名的德国数学家大卫·希尔伯特的一个故事。关于无穷数特有的矛盾特性，希尔伯特在讲座中这样讲道^[9]：

“让我们想象一个房间数量有限的旅馆，假设所有的房间都有人住。一位新客人来了，想要开一个房间，旅馆老板说：‘很抱歉，所有的房间都有人住了。’现在我们再想象一个有无数个房间的旅馆，所有的房间都有人住了，来了一位新客人，想要开一个房间。

“‘当然可以！’旅馆老板高声回应，他让原来住进1号房间的人搬到2号房间，住进2号房间的人搬到3号房间，3号房间的人搬到4号房间，依此类推……在进行了一番调换之后，1号房间空了出来，新客人得以顺利入住。

“让我们想象一下，现在有一家无限多房间的酒店，所有的房间都住了人，而且又有无限多的新客人想要入住。

“‘当然可以，先生们！’酒店说，‘请稍等。’

“他把1号房间的住客安排到2号房间，把2号房间的住客安排到4号房间，把3号房间的住客安排到6号房间，……依此类推。

“现在所有的偶数房间都空了出来，无限多的新客人就可以安排入住了。”

即使在战时的华盛顿，希尔伯特所描述的情形也是很容易想见的，这个例子能使人明白的一点是：无穷数的一些特性与我们习以为常的普通算术的情况是截然不同的。

利用康托尔法则，我们现在可以证明全体分数 pagenumber_ebook=21,pagenumber_book=17 或者的个数与全体整数的个数是相等的。事实上，我们可以把所有的分数排成一行：先写出分子、分母之和为2的分数，很显然只有这一个；然后再写出分子、分母之和为3的所有分数：和再写出分子、分母和为4的分数： pagenumber_ebook=21,pagenumber_book=17 等等。如此写下去，我们将得到一个无穷的分数数列，凡是你能想到的分数全部包括在内。现在，我们再来写整数数列，你要把这两个数列做到一一对应，到这儿你就会发现它们的个数是一样多的。

“嗯，这很棒，”你可能会这样说，“但这是不是意味着所有的无穷数都是相等的呢？如果是这样的话，把它们作比较又有什么用呢？”

不，不是这样的，我们很容易就能找到一个比整数个数或分数个数更大的无穷数。

我们回头看一下本章开篇提出的那个问题：线段上所有点的数量与全体整数的数量哪个大？我们会发现这是两种不同类型的无穷数，线段上所有点的数量要比全体整数或全体分数的数量多得多。为了证明这个命题，我们试着建立一种线段上所有点和全体整数之间一一对应的关系。

线段上的每一个点都可以通过它与线段端点的距离来表示，这个距离可以写成无限小数的形式，比如0.735 062 478 005 6…或者0.382 503 756 32…^[10]，因此我们要比较的对象变成了全体整数的数量和全体无限小数的数量。那么问题来了，上面给出的无限小数与普通的算术分数 pagenumber_ebook=22,pagenumber_book=18 之间又有什么不同呢？

你一定还记得，数学课上老师讲过，每一个分数都可以写成一个无限循环小数，比如428 571…428 571…4 …=前面我们已经证明过，全体普通算术分数的个数等于全体整数的个数，因此全体无限循环小数的个数也等于全体整数的个数。但是线段上的点并不一定都可以用无限循环小数来表示，在更多的情况下，我们得到的无限小数并没有表现出任何周期性，而且也很容易判断出，在这种情况下是无法进行线性比对的。

假设有人说自己了以下的对比排列，它看起来是这样的：

事实上，无限小数是无法完全写出来的，从上面的对比我们可以看出制表人所采用的比对方法（这和我们列出分数数列的方法有些类似）可以保证每一个无限小数都被列出。

要证明这个方法是错误的一点也不困难，因为我们随时可以写出一个不包含在这个无限列表中的无限小数。那我们具体该怎么做呢？很简单，只需要写出一个无限小数，其十分位上的数字与表中第一号小数的第一小数位不同，其百分位上的数字与表中第二号小数的第二小数位不同，依此类推。那么，你写出来的数字是这个样子的：

不管顺着那个列表往下找多久，你永远都找不到这个无限小数。事实上，如果制表人对你说，你写的这个小数处在表中的第137行（或者其他行），那么你就可以斩钉截铁地回答：“不可能，那不是同一个小数，因为我写的这个小数的第137位与表中第137行的小数不一样。”

因此，我们不可能在线段上的点与整数之间建立起一一对应的关系，这就意味着线段上所有点的数量对应的无穷数要比全体整数的数量对应的无穷数更大，或者说更强。

我们一直在讨论“长度为单位1”的线段上的点，根据我们的“无穷算数学”的法则，很容易证明任意长度的线段也是一样。实际上，无论线段长度是1英寸、1英尺还是1英里，上面点的数量都是相同的。为了证明这一点，请参见图6，它比较了两条长度不同的线段AB和AC上点的个数。为了找到这两条线段上点之间的对应关系，我们从AB上的每一点出发画出一条平行于BC的线，并将这条线与AC的交点与AB上的点配对，比如D和D′、E和E′、F和F′等。AB上的每个点在AC上都有一个点与之对应，反之亦然。因此，根据我们的比对法则，两条线段上的点数相等。

利用这种无穷大的分析方法可以得到一个更让人震惊的结论，即平面上点的数量等于直线上点的数量。为了验证这个结论的正确性，我们分析一下长度为1英寸的线段AB上的点，以及边长为1英寸的正方形CDEF内的点（见图7）。

图6　比较线段AB和AC上点的个数

图7　比较线段AB和正方形CDEF上点的个数

线段AB上的任一点都可用一个确切的小数表示出来，以0.751 203 86…这个点为例，我们可以把它拆分成两个不同的小数，分别将其小数点后的奇数位和偶数位上的数字组合在一起，可以得到

0.710 8…

还有

0.523 6…

在正方形CDEF上找到纵、横坐标分别为上面两个小数的点，这个点就是线段AB上那个点的对应点。反之，如果正方形CDEF上某个点的位置可以用小数0.483 5…和0.990 7…来描述，我们也可以将两数合并，得到这个点在线段AB上的对应点：

0.498 930 57…

显然，这个过程在两个点集之间建立起了一种一一对应的关系，线段AB上的每一点在正方形CDEF上都有对应点，正方形CDEF上的每一点在线段AB上也都有对应点，并且两个点集都不会有多余的点。因此，根据康托尔法则，正方形CDEF上点数对应的无穷数等于线段AB上点数对应的无穷数。

同样，我们也很容易证明一个立方体内点数对应的无穷数与一个正方形或一条线段上点数对应的无穷数也是相等的。为了证明这一点，我们只需将原来的小数分解成3个^[11]，用得到的3个小数作为三维坐标来确定立方体内对应点的位置。而且，和长度不同的两条线段一样，正方形上或立方体内点的数量与它们的尺寸无关。

但是，所有几何点的个数，虽然比所有整数和小数的个数要大，但在数学家看来，却不是最大的。事实上，人们还发现，各种各样的曲线，包括那些形状最不规则的曲线，其包含点的个数要比所有几何点的个数更大，因此必须用无穷数里的第三个数来描述（见图8）。

格奥尔格·康托尔在《无穷算术》一书中写道，无穷数可以用右边带有数字下标的希伯来字母א（读作“阿莱夫”）表示，下标数字表示无穷数的等级。那么包括无穷大在内的量数数列就可以写成：

1，2，3，4，5…，א1，א2，…

我们可以说“线段上有א1个点”，或者“一共有א2条曲线”，就像我们说“世界上有七大洲”或者“一副牌有52张”一样。

图8　无穷数中的前三个

最后，对我们所讨论的无穷数作一下总结，你想当然地认为这些数字可以应用到某些集合，可事实上它们却大得超乎你的想象。我们知道א0表示所有整数和小数的数量，א1表示所有几何点的数量，א2表示所有几何曲线的数量，但却没有人能想象任何一个能被א3所表示的集合。好像只用无穷数中的前三个就足以计量任何我们所能想到的东西了，这和虽有很多儿子却不能数超过3的霍屯督人的处境正好相反！

【注释】

[1]以现有最大望远镜能够看到的范围为界。

[2]1英里=1.609 344千米。

[3]用现代的数学方法表示就是：

[4]1英尺=0.304 8米。

[5]机智的大臣所要求麦粒的总数可以用如下公式来表示：
1+2+22+23+24+…+263+264
数学上，对每个数字都以固定倍数（本例中的倍数是2）递增的一列数求和，称为几何级数。可以看出，这个数列的和等于固定倍数的项数（本例中为64）次幂减去第一项（本例中为1），然后除以固定倍数与1的差值，即

[6]引自W.W.R.Ball的著作《数学拾零》。

[7]1英寸=0.025 4千米。

[8]假如只有7个金盘，那么需要移动的次数为：
1+21+22+23+24+…+26=127
或者是
27-1=2×2×2×2×2×2×2-1=127
在动作敏捷且不犯任何错误的前提下，完成这项工作需要花费大约一个小时的时间，
而移动64个金盘所需要的动作次数为：
264-1=18 446 744 073 709 551 615
这和西萨·班·达依尔所要求的小麦粒数一样多。

[9]引自《希尔伯特故事集（The Complete Collection of Hilbert Stories）》，虽然这本书广为流传，但却未见出版，也可能根本就没人写过这本书。

[10]我们假设线段的长度为1，所以这些无限小数都比1小。

[11]以0.735 106 822 548 312…为例，我们可以将其拆分为 0.718 53…、0.302 41…、0.562 82…。

无穷大数的计数与比较方法，揭秘科学中的事实与猜想

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