你能数到的最大数字是多少？

2023-08-05 理论教育版权反馈

【摘要】：在经过几分钟绞尽脑汁的思索之后，另一个人给出了他能想到的最大数字。10右边的上标数字74表示需要书写出来的零的个数，也就是说，这个数字意味着3要用10乘上74次。但是，古代会计学涉及的数字最大不会超过几千，因此更大的十进制单元符号并不存在。

有一则故事讲的是两位匈牙利贵族在玩一个数字游戏，如果谁说出的数字最大，那么就算谁赢。

“好吧，”其中一个人说，“先说出你的数字吧。”

在经过几分钟绞尽脑汁的思索之后，另一个人给出了他能想到的最大数字。

“3。”他说。

现在轮到第一个人了，但是在思考了足足一刻钟之后，他放弃了。

“你赢了。”他心服口服地说。

当然，这两位匈牙利贵族并不一定智力过人，也可能这个故事根本就是胡编乱造的谣传。但如果这两位贵族不是匈牙利人而是霍屯督人的话，那么这样的对话也不足为奇。我们确实从非洲探险家的权威报告中获悉，许多霍屯督部落还没有相应的词汇来表述大于3的数字，你问一个当地土著他有几个儿子，或者问他杀了多少个敌人，如果这个数字大于3，那么他的回答就是“许多”。因此，在霍屯督人的国度里，就数数这件事而言，勇猛的武士也会被美国幼儿园里自吹能数到10的孩子虐得“体无完肤”吧。

现在，只要我们想，多大的数字都能写出来，我们对此已经习以为常了，无论是以美分为单位来计算军费支出，还是以英寸为单位来测量星际距离，只需要在一定的数字右边加足够多的零就行了，你可以加零加到手酸，但是在你还没感觉到手酸之前，你可能已经写出了一个比全宇宙原子总数^[1]还大的数字，譬如300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000，或者你也可以简写成：3×1074。

10右边的上标数字74表示需要书写出来的零的个数，也就是说，这个数字意味着3要用10乘上74次。

但是古代没有这种“算术如此简单”的表示方法，实际上，这是由印度一位不为人知的数学家发明的，距今还不到两百年的时间。在这个伟大发明之前——虽然我们平时意识不到，但这的确是一个伟大的发明——人们经常用一些特殊的符号来记数，我们现在称之为十进制单元，通过重复书写来表示相应数位上的数值，例如，古埃及人是这样书写数字8732的：

而在恺撒大帝时期，办公室职员用下面这种形式书写：

MMMMMMMMDCCXXXII

上面这些数字符号你一定不会觉得陌生，因为在现代的某些特定场合，我们还是会使用到罗马数字，用以表示书籍的卷册或章节，或在雄伟的纪念碑上标注历史事件的日期等。但是，古代会计学涉及的数字最大不会超过几千，因此更大的十进制单元符号并不存在。对一个古罗马人来说，无论他在算术方面的造诣有多高，当被要求写出“一百万”的时候，他也会表现得相当窘迫，对于这种要求，他能写出的最好答案恐怕就是连续写一千个“M”了吧，这可是一项需要花费数小时才能完成的艰难工作啊（图1）。

图1　恺撒大帝时期的一个古罗马人正尝试着用罗马数字表示“一百万”，但整面墙写满之后，也才“十万”不到

对古人而言，天上的星星、海里的鱼、沙滩上的沙粒都是不可计数的，就像霍屯督人对“3”的感情一样，只能用“许多”来表述。

公元3世纪，著名的科学家阿基米德用他过人的才智，向世人证明了大数是可以被书写的，他在《数沙者》中这样写道：

“有人认为沙粒的数量是无限的，我这里所说的沙粒不只是存在于锡拉库萨（意大利西西里岛东部港口城市）或西西里岛的，还包括地球上的其他所有地方，无论那里是否有人居住。当然，也有人认为这个数字不是无限的，只是想不到一个足够大的数来定义地球上沙粒的数量。但对持这种观点的人来说，有一点很明确，那就是如果把地球想象成一个大沙球，并用沙子把上面所有的海洋和凹陷地带填得与最高峰一样高，他们会更加确信没有一个数能够表示这个大沙球里沙粒的数量。但是，我将用我定义数字的方法来向你们展示，不仅是这个大沙球，就连和整个宇宙一样大的大沙球中包含沙粒的数量都可以表示出来。”

阿基米德提出的大数书写方法与现代科学上的方法相似，古希腊算术中，最大的数字“myriad”就是他提出来的，也就是现在的“万”，然后他又引出新数字“万万”，他称之为“亿”或者“二阶单元”，“亿亿”就是“三阶单元”，“亿亿亿”就是“四阶单元”，依此类推。

花几页纸写一个大数，虽然看上去有些小题大做，但在阿基米德那个时代，能找到一种书写大数的方法就算是很伟大的发明了，是数学学科发展史上的一大进步。

要算出填满整个宇宙需要用到的沙粒数，阿基米德必须先知道宇宙有多大。在那个时代，人们普遍认为宇宙就是一个大水晶球，星星附着其上，与他同时期的学者阿里斯塔克斯（古希腊著名的天文学家）估算从地球到宇宙边缘的距离约为10亿英里^[2]。

通过对比宇宙和沙粒的大小，并经过一系列复杂的计算之后，阿基米德得到了最终结果：

“很明显，按照阿里斯塔克斯给出的尺寸计算，宇宙所能装下的沙粒数量不会比一千万的‘八阶单元’大。”^[3]

不难发现，阿基米德估算的宇宙半径要比现代科学家认为的小得多，一千万英尺^[4]只不过比太阳到土星的距离大一点点而已。利用天文望远镜，我们将会探索宇宙的边界至5 000 000 000 000 000 000 000英里，到时候，填满宇宙所用的沙粒数量会超过10100（也就是1后面有100个0）。

当然，这个数要比本章开篇提及的全宇宙原子总数3×1074大得多，但是我们可不要忘了，宇宙并不是由原子填满的，实际上，平均每立方米空间才只有一个原子。

当然我们完全没有必要为了得到很大的数字，而做这种用沙粒填满宇宙的疯狂事，其实，有很多乍一看很简单的问题会涉及大数，只是刚开始你想不到这个数会比几千还大。

传说有一次，印度的舍罕王着实被算术问题给难倒了，他想赏赐一位发明并赠予他象棋的大臣西萨·班·达依尔，而这位聪明的大臣却十分谦逊地跪在舍罕王的面前说：“陛下，如果您真想赏赐我的话，那就赐予我一棋盘的麦子吧，不过我有个要求，那就是在棋盘上第一个方格中放一粒麦子，在第二个方格中放两粒麦子，在第三个方格中放四粒麦子，在第四个方格中放八粒麦子，依此类推，下一格中的麦子永远是前一格中麦子的两倍，一直到最后一个（第64个）方格为止。”

“你要的也不多嘛，我的爱卿。”舍罕王大声地说，但心里却默默地在想，对这位象棋发明者的慷慨赏赐并不会花费他太多，并因此感到窃喜。“我一定会满足你的要求的。”然后他就命令侍从运来了一袋小麦（图2）。

图2　精通数学的首席大臣西萨·班·达依尔在向印度舍罕王索要奖赏

但是当按照第一格一粒、第二格两粒、第三格四粒这样的规则开始计数之后，在还不到第二十个方格的时候，袋子就已经空了。越来越多的小麦被运送过来，但由于麦粒的需求成倍增加，不一会儿舍罕王就明白了，即使把皇室所有的粮食都运过来也满足不了西萨·班·达依尔的要求，而要满足他的要求一共需要18 446 744 073 709 551 615粒麦子^[5]！

这个数字与全宇宙的原子总数相比也不算太大，我们假设1蒲式耳（英式计量单位，等于36.4升）小麦约有5 000 000粒，那么一共需要400亿蒲式耳的麦子才能满足西萨·班·达依尔的要求。而当时全世界小麦的平均年产量约为2 000 000 000蒲式耳，因此，满足这位首席大臣的要求恐怕得等上2 000年。

这让舍罕王觉得自己深陷债务之中，而摆在他面前的选项有两个，一个是砍掉大臣的脑袋，另一个是永无止境地偿还，我想他肯定选择了前者。

另一个以大数为主角的故事也发生在印度，讲的是关于“世界末日”的话题，酷爱数学的历史学家鲍尔向我们讲述了这个故事^[6]：

在象征世界中心的贝拿勒斯（位于印度北方邦东南部，印度教圣地）的一个神殿里，安放着一块铜板，铜板上面固定着三根宝石针，均为1脘尺（1腕尺约等于20英寸^[7]）高，粗细和蜜蜂的身体差不多。梵天创世之时，在其中一根针上穿了64片纯金的盘片，贴着铜板的那片最大，然后往上依次变小，这就是梵天塔。祭司不分昼夜地将这些金盘从一根宝石针上转移到另一根上，按照梵天定律的要求，祭司一次只能转移一个金盘，并且小金盘不能置于大金盘之上。当64个金盘从创世之时的那根宝石针上全部转移到另一根上的时候，塔、神殿，还有婆罗门众神就会轰然崩塌，化为尘埃，而伴随着一声惊雷，世界也会化为乌有。

图3描绘的就是这个故事，只不过图中画出的金盘数量不足64个。你可以用几个普通的圆纸板代替金盘，用3个洋钉代替宝石针，把这个印度神话中令人迷惑的祭祀玩具做出来。按照定律要求，找到规律并不难，你会发现，移动一个金盘到另一根宝石针上所需要的动作次数是移动上一个金盘的两倍。移动第一个金盘只需要动作一次，但移动后面的金盘所需要的动作次数将以几何倍数增长，当把所有64个金盘移完所需要的动作次数将和西萨·班·达依尔所要求的小麦粒数一样多^[8]。

那么问题来了，把64个金盘从一根宝石针移到另一根上需要花费多长时间呢？我们假设祭司1秒钟移动一次金盘，而且他不分昼夜地工作，没有休息日，也没有假期，一年有31 558 000秒，这样算下来，他需要花超过5 800亿年的时间才能完成这项工作。

图3　一名祭司正在大型梵天塔模型前研究“世界末日”的问题，由于绘画方面的难度，这里画出的铜盘并没有64个

把这种关于宇宙寿命纯传说性质的预言与现代科学的预测作比较是一件十分有趣的事。根据目前的宇宙演化理论，大约30亿年前，恒星，以及包括我们地球在内的行星，形成于一片混沌之中。此外，我们还知道，使恒星，尤其是太阳发光发热的“原子燃料”还能持续燃烧100亿～150亿年（见第十一章 “创世”的年代）。因此，宇宙的全生命周期绝不会超过200亿年，而没有像印度传说中估计的5 800亿年那么长。毕竟那只是个传说而已。

在文学作品中出现的最大数字应该是著名的“印刷行数问题”。假设我们造出了这样一台印刷机，它可以一行接一行连续不断地印刷，并且能自动地为每一行选出不同的字母加符号组合。这台机器的压印滚筒由有许多独立的、带有字母或符号印章的碟盘组成，这些碟盘就像汽车里程表上的数字碟盘一样组装在一起，每当上一个碟盘转动一周，下一个碟盘就会转动一格，而纸张在辊轴带动下，自动地压在压印滚筒上，完成印刷。制造这样一台自动印刷机并不困难，它大概的样子如图4所示。

图4　一台自动印刷机准确无误地打出了一行莎士比亚戏剧的台词

接下来，让我们启动这台机器，看一下它的印刷结果。每个印刷行的内容均不相同，并且有很多印刷行的内容根本就不成句子，比如：“aaaaaaaaa…”，或者“boobooboobooboo…”，再或者“zawkporpkossscilm…”。

但由于这台机器可以印刷出任何可能的字母和符号组合，我们也可以在这些文字垃圾中发现一些有用的句子，有许许多多像下面这样的废话：“马儿有六条腿……”，或者“我喜欢吃用松脂煎的苹果……”。

但搜索一番，我们也会发现几行莎士比亚写的诗句，甚至包括那些他自己扔进废纸篓的诗句。

实际上，这样一台自动印刷机可以打印出人们学会写字以来所写出的任何句子：每一行散文或诗歌、报纸上的每一篇社论或广告、每一卷沉重的科学论文、每一封情书、每一封写给送奶工的信，等等。

此外，这台机器还能打印出未来几个世纪将会出现的所有文字。从压印滚筒下面出来的报纸上，我们可以看到30世纪的诗歌、未来的科学发现、美国第500届国会上的演讲，以及对2344年星际交通事故的记述；会有一页又一页的从来没有人写过的短篇或长篇小说出现；而拥有这种自动印刷机的出版商只需从大量的文字垃圾中挑选和编辑几段，就能得出一篇好文章——现在的出版商正在这么干。

既然如此，那为什么不能这样做呢？

好吧，让我们来数一数，如果这台机器把所有可能的字母和符号组合全都打印出来，那它印刷出来的行数是多少？

26个英文字母、10个数字（0，1，…，9）、14个常用符号（空格、句号、逗号、冒号、分号、问好、感叹号、破折号、连字符、引号、省略号、方括号、圆括号、大括号）：一共50个字符。我们假设压印滚筒由65个碟盘组成，与应印刷行上大小相等的65个方格一一对应，每个印刷行可以由这50个元素中的任何一个打头，也就是说第一个方格有50种可能；当指定了第一个方格中的元素后，第二个方格中的元素也有50种可能，至此，会出现的组合数已经达到了50×50=2 500个了；而当前两个方格的组合给定之后，第三个方格也有50种可能，依此类推，整个印刷行上的文字组合数为：即5065，它等于10110。

为了更直观地认识这个庞大的数字，我们假设宇宙中每一个原子都代表一台单独的印刷机，这样我们就有3×1074台印刷机同时运转。再作进一步的假设，所有印刷机从宇宙形成以来，就一直不停地运转，即30亿年或1017秒，并且以原子振动的速率印刷，即每秒印刷1015行。那么，到现在为止，它们应该已经印刷了3×1074×1017×1015=3×10106（行），这才仅是我们想要的那个数字的三千分之一而已。

没错，想要在这台印刷机打印出的海量材料中甄选出一些有实质性内容的文字，无疑要花费很长很长的时间。

你能数到的最大数字是多少？

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