数学史视角下的数的产生教学设计

陈省身先生曾说过，“了解历史的变化是了解这门科学的一个步骤”，可见传播数学史是了解数学的重要部分。数学史之于数学教学的价值早在19世纪就被一些西方数学家所认识，1972年，在英国埃克塞特（Exeter）召开的第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，HPM）。2007年，在我国“第二届数学史与数学教育研讨会暨全国数学史会议”上，宋乃庆教授提出数学史与数学教育相融合的观点，数学史支持数学教育的发展，数学教育也拓展并深化数学史的价值。《新课标》在教材编写建议中明确指出，“教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，激发学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美”[38]。因此，义务教育的各个阶段都不同程度地选入了一些数学史料作为背景知识。如人教版小学数学教材中的数学史料主要以阅读材料“你知道吗?”的形式呈现，也有一些史料散现在习题、数学广角里。然而，据调查：“一线教师对与教材相关的数学史知晓率偏低，对数学史本体知识掌握浅；教师对数学史教材的认知缺位；从来没有听过以数学史料为主题的公开课；对数学史的运用能力比较低。”[39]人教版小学数学四年级上册“数的产生”和“计算工具的认识”两个课时是有关数学史教学的正式内容，但《课标》和《教参》中并没有对数学史的教学提出目标和要求，一线教师在对相关内容进行教学时也大多一带而过，可想而知，作为阅读材料和习题的数学史料的价值认同是怎样的。本文旨在数学史视角下，对人教版小学数学四年级上册“数的产生”作一些初步的探讨和研究。

(一)“数的产生”史料梳理

亿万年前，居住在岩洞里的原始人就有了数的概念，他们在长期的狩猎与分配过程中，产生了“有”和“无”，再从“有”中分离出“多”与“少”。因为计数的需要慢慢产生了数的概念，如部落头领要知道他有多少成员，牧羊人需要知道他有多少只羊。在文字出现以前，人类最初的计数方法是相似的，主要是用人身体的一部分来表示，如每数一只羊就扳一个手指头，一只手表示5，后来才逐渐衍生出三种有代表性的计数方法：实物计数、结绳计数和刻道计数。即使是现在，我们刚开始学习计数时，也用到实物计数如用屈指、小棒、计数器计数。“计算”（calcul）一词正是由拉丁语——calculi（小石头）这个词根衍生出来的。“结绳计数”世界许多地方都使用过，我国群经之首《周易·系辞下》上说：“结绳而治”，三国吴人虞翮在《易九家义》中说：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多少，随物众寡。”《尚书·序》中称“古者伏羲氏王天下也，始画八卦，造书契，以代结绳之政，由是文籍生焉”。“书契”就是在木或竹上刻画记事（数）。用画线的方式计数，是最简单的记录方法。20世纪50年代，人们在如今刚果民主共和国境内的爱德华湖附近发现两块大约2万年以前的“伊尚戈骨”，其上布满了均匀分布的刻痕，这或许是人类历史上的第一个计数系统吧。但是，这种“每增加一个就多刻一条线”的计数方法很快就显得捉襟见肘，因为它不能处理相对较大的数。为了更快更方便地计数，人们需要发明一些计数符号，可能是受手指表达数的影响，最早表示数1、2、3、4的书写符号大多是相应数目的竖或横的堆积，如中国古代的算筹数字、古印度的婆罗门数字、罗马数字、古埃及象形数字、巴比伦楔形数字等。最初的符号系统里没有0，如早期的巴比伦楔形数字和宋元以前的中国算筹数字都只是留出空格而没用符号，后来改用不同的方式如“·”、方框“”、圆圈“○”等表示“0”，巴比伦人和玛雅人虽然引进了零（玛雅人是用一只贝壳或眼睛），但仅用它表示空位而没有赋予它数字的地位，“0”还没有单独存在。大约在公元3世纪时，印度人发明了一种特殊的计数符号，这一时期的印度数学于1881年在今巴基斯坦西北地区一个叫巴克沙利的村庄被发现，这一写在树皮上的“巴克沙利手稿”中数学内容十分丰富，其中点“·”表示“0”。公元628年，印度数学家婆罗摩笈多在他的著作《婆罗摩修正体系》里第一个将“0”作为一个数字进行了完整描述，同时他还描述了“0”的性质，从此“0”最终作为一个数字加入了数字大军，与其他数字具有了同样的地位。

古人在创造这些计数符号的时候也在寻找某种逻辑，将计数方法系统化。为了避免用无穷多个符号表示所有的数字，世界各地的人们不约而同地采取同一组符号表示从1开始的若干连续数字作为基本数字，用另一组符号（如十进制的十、百、千...）表示由它们组合（如位置记数法）的大于这些数字的数。由于人类每只手有5个手指，每只脚有5个脚趾，所以五进制、二十进制曾被广泛使用，古巴比伦人使用的六十进制，今天仍在时间和角度计量单位中不可或缺。但人类最终普遍接受了十进制，原因正如亚里士多德所说，“十进制被广泛采纳，只不过是由于我们绝大多数人生来具有10个手指这样一个解剖学的事实”[40]。

印度人发明的计数系统由0～9这十个计数符号和十进制位置原则组成，经由阿拉伯人改造后于12世纪左右传递到西方，欧洲人就把这些数字称为阿拉伯数字。中国直到明末清初才开始使用阿拉伯数字。它很简单，为一切计算提供了极大的方便，是今天世界上数以千计的语言系统中唯一通用的符号系统。阿拉伯数字的出现让全世界的科技、文化、政治、经济的发展和交流得到了统一。

(二)“数的产生”教材分析

教材通过图文配合的方式，首先简要地介绍了数的产生背景和古人三种主要的一一对应的计数方法：实物计数、结绳计数、刻道计数。小精灵的话引出了计数符号（数字）的发明和统一的必要性，使学生初步知道早期的数字是与具体的数目相联系的，只是到后来才逐渐发展成抽象的符号，如现在通用的阿拉伯数字。

然后呈现了0～9的阿拉伯数字，并通过小精灵的话说明了数字的作用，再用简练的文字揭示自然数的概念与特点。自然数是数系的重要内容之一，人类最初认识的数就是自然数。这里给学生建立自然数的概念，一方面是对以前认数知识的概括和总结，另一方面也为以后把数的范围扩展到分数、小数做好准备，同时也渗透了辩证唯物主义观点。

第17～21页的“你知道吗?”以阅读材料的形式图文并茂地分别简要介绍了阿拉伯数字的由来、中国算筹数字、位值制及数字“0”的发明、发展过程。

(三)“数的产生”教学设计

1.教学内容

人教版小学数学教材四年级下册第16～17页及第21页“你知道吗?”等相关内容。

2.教学准备

史料选择与加工。

人类的计数活动有数万年的历史，但拥有文字的历史只有数千年，没有史书能记载和描述人类是如何从心智中诞生出数的，只能从文物研究中大致勾勒出数的产生、发展过程。但对于在数学史视野下设计和教学这一内容，史料的选择和应用必然与常规课的侧重点不同，要符合科学性、有效性、可学性、体验性原则。因此，笔者重点选取了三种计数法：实物计数、结绳计数和刻道计数；五种计数符号：古埃及人的数字、巴比伦数字、中国算筹数字、罗马数字、阿拉伯数字；三种计数系统：古埃及人的累积制、巴比伦人的六十进制、中国算筹计数的十进制以及“0”的发明发展过程作为教学内容。

3.教学过程

（1）问题导入。

每个国家、不同的民族都有不同的语言和文字，但是有一种语言符号世界通用，谁知道?我们的生活离不开数，古希腊数学家毕达哥拉斯在大约2500多年前就说过“万物皆数”。

比如：（班级数、班人数、年龄、身高），在幼儿园的时候，大家就认识了0～9这十个数字，那么数是怎么产生的，为什么阿拉伯数字和十进制计数法会成为世界通用的数学语言呢?

（2）了解古代计数方法。

师：让我们穿越到远古时代。那时的人们以打猎为生，在捕猎和分配过程中，感受到了“有”和“无”，“多”与“少”的数概念，但那时候还没有发明数字，连文字都还没有出现，他们是用什么方法记录数的多少呢?（扳手指头、摆石子、结绳计数、刻痕。）

课件出示：图片。

师：比如，出去放牧时，每放出一只羊，就摆一个小石子，一共出去了多少只羊，就摆多少个小石子；放牧回来时，再把这些小石子和羊一一对应起来，如果回来的羊的只数和小石子同样多，就说明放牧时羊没有丢。即使是现在，我们刚开始学习计数时，还用到实物计数如用手指、小棒、计数器……来辅助记数。“结绳计数”在世界许多地方都使用过，事大打个大结；事小打小结，事有多少结就有多少（课件出示）。我国挖掘的“甲骨文”上的“数”字，就源于结绳计数。用画线的方式计数（刻道计数）是最简单的记录方法。我们现在知道的有关刻道计数的最早记录，是在一九五几年刚果的爱德华湖附近发现的两块“伊尚戈骨”上，上面布满了均匀分布的刻痕，说明大约在2万年以前，人类的祖先就用这种方法计数了。现在某些场合还使用刻道计数的方法，比如评优时画“正”字，我认为就是一种升级版的“刻道计数”。

师：这些计数方法有一个共同的特点就是一一对应。但是这会有什么麻烦呢?当需要记录的数量越来越大时，处理起来就很不方便!怎么办?

（3）计数符号的发明。

师：人们在生产劳动和生活过程中，逐渐发明了一些计数的符号，也就是最初的数字。

①介绍并简单认识和体验古埃及人的计数符号（揭示计数法就是表示计算单位的个数，体验没有位值带来的不便）。

课件依次出示：

以上为5000多年前古埃及人的计数符号。

问题：这个数用到了哪些计数单位，是多少?（4217）你是怎么想的。（有什么计数单位和有几个这样的计数单位）。

你能用古埃及的计数方法表示出太阳的直径1 389 000千米吗?试一试。

讨论：通过体验，你有什么感觉?（麻烦）为什么?

每个计数单位都要用不同的符号，表示数时，有几个这样的计数单位就要画几次，古埃及人的计数系统是累积制。

②介绍并简单了解其他文明古国的数字符号，体会各自的异同及统一数字的必要性。

课件出示：

以上三幅图分别为古巴比伦楔形数字（60进制）、2000多年前的中国算筹数字、现在还能见到的罗马数字。

③由于每个国家的文化背景不同，所以各国的数字也不一样，人们交流起来很不方便，这就需要有统一的数字符号。这就是“阿拉伯数字”（课件依次出示）。

师：阿拉伯数字是谁发明的?

阿拉伯数字大约是3世纪时（1800年前后）由印度人发明的。当初的印度数字也不是我们现在看到的样子。后来印度数字传到了阿拉伯，大约在12世纪（900年前后）从阿拉伯传入欧洲，欧洲人称之为“阿拉伯数字”。印度数字中开始没有“0”，零用“·”表示。公元628年，印度数学家婆罗摩笈多在他的著作《婆罗摩修正体系》里第一个将“0”作为一个数字进行了完整描述，同时他还描述了“0”的性质。从此“0”从只表示空位变成了一个数字，“0”的出现是数学史上一大创造，带动了数学的进一步发展。

阿拉伯数字本身笔画简单，写起来方便，看起来清楚，特别是用来笔算时，演算很便利。因此，随着历史的发展，阿拉伯数字逐渐在各国流行起来，成为世界各国通用的数字。阿拉伯数字传入我国，大约是在13到14世纪（700～800年前），不过在我国推广使用才有100多年的历史。现在，阿拉伯数字已成为各国人们学习、生活和交往中最常用的数字。

（4）认识自然数。

阿拉伯数字只有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共10个数字，用这10个数字能记录多少个物体?（自己阅读）这些表示物体个数的0、1、2……都是自然数，最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数是无限的。

（5）体会十进位值制的价值。

（课件）古人很聪明，大家不约而同地都是只创造了几个基本数字符号，然后通过某种组合就可以记录所有的物体个数了。如中国算筹数字只有1～9，阿拉伯数字最初也只有1～9，巴比伦楔形数字后来只有表示“1”的钉头形和表示“10”的尖头形，“1”和“60”长得一模一样，罗马数字只有七个，等等，为什么几个基本的数字符号就能记录所有的物体个数呢?因为聪明的古人在创造基本数字符号的基础上还创造了位值制，高位在左，低位在右，从左往右书写。同样的数字符号写在不同的位置表示的大小就不同，这样就不用发明那么多的数字了，计数也不用那么麻烦了。比如：999，三个数字9，右边的9写在个位表示9个一，中间的9写在十位表示9个十，左边的9写在百位表示9个百。中国算筹数字、阿拉伯数字、巴比伦楔形数字系统都是采用位值制（埃及数字和罗马数字不是）。另外，还发明了一些简单的数学符号（小数点、负号、百分号等），这些符号可以明确表示所有的有理数。

（6）课堂小结。

这节课我们学习了什么?你有什么感受?

（7）课堂延伸。

①查找并阅读与“数的产生和发展”有关的历史故事或成语。

②用你喜欢的计数符号创造一份作品（故事、绘画、习题等）。

③试着研究罗马数字系统的计数规则。

④反思与展望。

《数的产生》是人教版小学数学有关数学史教学的正式内容，但《课标》和《教参》中并没有对数学史的教学提出目标和要求，一线教师在对相关内容进行教学时也大多一带而过，重点放在第18页十进制计数法的教学上，然而，并没有从历史的视角了解数的产生、计数符号的由来和位值制的价值，在教学十进制计数法时也是重复前几年的说辞，学生只是死记硬背，认识并没有太多提高。我在阅读的基础上，对教学内容进行整合、深挖，重新从数学史的视角进行设计，把这些内容作为一个完整的课时进行教学，无论是教师本人还是学生，不仅获得了一种历史感，对数学产生更加敏锐的理解力和鉴赏力，而且亲历知识的源与流，了解数学知识的来龙去脉，也可以更为深刻地理解数学的本质，激发探究的兴趣，拓展知识面，养成正确的数学史观。怎样落实和充分发挥数学史在小学数学中的教育功能，还需要数学史家、教材编写者和广大一线教师继续努力。

（华南师范大学附属小学　常春丽）