多飞行器协同避碰控制策略

在多枚导弹形成队形和变换队形的过程中，可能存在弹道交叉的情况，即导弹之间存在发生碰撞的可能。针对此问题，根据预设性能控制器可将系统误差控制在满足性能函数上下边界范围内的特点，可通过合理地设置性能指标函数来实现弹间的避碰。基于性能函数，可实时计算从弹在领弹弹道坐标系x、y、z三个方向的位置波动范围，如图5-2所示。

图5-2　预设性能控制下位置误差范围变化趋势

（a）位置误差长方体；（b）性能函数曲线

图5-2（b）所示为x、y、z三个方向的性能函数曲线，当t=0时，性能函数的初值=ke（0），其中，误差e（0）为初始位置到期望位置的距离，即e（0）=[x（0）-hx　y（0）-hy　z（0）-hz]T。图中，性能函数单调递减，因此从弹位于一个随时间缩小的长方体中。如图5-2（a）所示，圆圈为从弹的初始位置，五角星为从弹的理想编队位置。当t=0时，从弹位于边长为（2x0，2y0，2z0）的初始位置误差长方体中（图中的实线部分）；当t=τ时，从弹位于边长为（2x（τ），2y（τ），2z（τ））的位置误差长方体中（图中的橙色虚线部分）。在图5-2（a）中，蓝色曲线为从弹在控制器作用下的运动轨迹，随着时间推移，从弹在x、y、z三个方向上的位置收敛到各期望位置的小邻域内。

接下来，将上述性质应用于多弹编队成员间避碰策略的设计中。为了不失一般性，仍然以两枚从弹为例进行分析。在领弹弹道坐标系下，领弹位于固定点（0，0，0），领弹和从弹之间的关系可分为以下几种情况来进行研究。

1.两枚从弹的初始位置误差长方体不相交，且领弹位于两个长方体之外

在理想队形已经给定、各导弹的初始位置已经确定且边界系数k已设定的情况下，当满足以下三种情况之一时，

两枚从弹的初始位置误差长方体不相交。同时，假设领弹不在这两个长方体内，如图5-3所示。

图5-3　从弹初始位置误差长方体不相交且领弹位于位置误差长方体外示意

—从弹起始位置；—从弹过渡位置；—从弹理想位置

随着时间的推移，两个位置误差长方体逐渐缩小，因此在预设性能控制器的控制下，各从弹向期望位置飞行，而且其飞行轨迹位于各初始位置误差长方体内，飞行轨迹无交叉，又由于领弹位于两个从弹初始位置长方体之外，因此，在整个过程中，从弹间且从弹与领弹不会发生碰撞。

2.两枚从弹的初始位置误差长方体不相交，但领弹位于某长方体内

假设领弹位于从弹i的位置误差长方体内（与位于从弹j的位置误差长方体内的情况类似），由于领弹在领弹弹道坐标系中位于原点（0，0，0），因此可将其视为静止点，通过实时改变从弹i的编队临时期望位置来使静止目标点领弹位于长方体边界上，从而达到避碰的目的。以x方向为例，当xi≠0时，从弹i的x方向为可调整方向，设计调整策略如下。

（1）若满足xi（0）＞0、hxi＜xi（0）（图5-4（a）），或满足xi（0）＜0、hxi＞xi（0）（图5-4（c）），则临时期望位置调整为

（2）若满足xi（0）＞0、hxi＞xi（0）（图5-4（b）），或满足xi（0）＜0、hxi＜xi（0）（图5-4（d）），则临时期望位置调整为i

根据式（5-16）、式（5-17）调整后，有=ωxi（t），即领弹位于从弹i的位置误差矩形边界上，如图5-5所示。

通过实时调整从弹i的x方向编队临时期望位置，使领弹位于位置误差长方体边界上，从弹i在位置误差长方体内飞行，不会与领弹发生碰撞。在调整过程中，实时检测领弹和从弹与原编队期望位置构成的误差长方体的相对位置，若领弹位于此误差长方体之外，则无须再调整临时期望位置。若从弹i的期望位置为原期望位置，则此时领弹与从弹的关系与情况1相同，从弹在位置误差长方体内飞行，达到期望的编队位置。

图5-4　情况2调整前

（a）xi（0）＞0，hxi＜xi（0）；（b）xi（0）＞0，hxi＞xi（0）；（c）xi（0）＜0，hxi＞xi（0）；（d）xi（0）＜0，hxi＜xi（0）

图5-5　情况2调整后

（a）xi（0）＞0，hxi＜xi（0）；（b）xi（0）＞0，hxi＞xi（0）；（c）xi（0）＜0，hxi＞xi（0）；（d）xi（0）＜0，hxi＜xi（0）

根据领弹及位置误差长方体的关系可知，当存在一个可调整方向时，通过调整即可满足避碰需求。因此，在选择可调整方向时，只需选择一个方向作为调整方向，其余方向期望位置保持原期望位置即可，本书按照z、y、x的顺序依次判断其能否作为可调整方向。

3.两枚从弹的初始位置误差长方体相交，领弹位于这两个长方体之外

若当两枚从弹的初始位置误差长方体相交，则需要针对这两枚从弹在不同的初始位置与期望位置的情况下分别设计避碰策略。

在从弹i和从弹j的初始位置误差长方体相交的情况下，如从弹i的初始xi（0）满足xi（0）＜hxj-xj（0）或xi（0）＞hxj+xj（0），则称从弹i在x方向可进行调整；在y、z方向可同理判断。图5-6显示了此时两枚从弹及初始位置误差长方体在Oxy平面的投影，由图可见，当从弹i在x方向可调整时，其在从弹j的投影矩形外。

将存在可调整方向的从弹作为绕行者，通过实时改变绕行者在可调整方向的临时编队期望位置，可使两枚从弹的位置误差长方体实时不相交，即能实现避碰目标。针对图5-6所示的情况，从弹i的x方向为可调整方向，设计调整策略如下。

图5-6　x方向可调整示意

（a）xi（0）＜hxj-xj（0），hxi＞xi（0）；（b）xi（0）＜hxj-xj（0），hxi＜xi（0）；（c）xi（0）＞hxj+xj（0），hxi＜xi（0）；（d）xi（0）＞hxj+xj（0），hxi＞xi（0）

（1）当xi（0）＜hxj-xj（0）时，若hxi＞xi（0）（图5-6（a）），则编队临时期望位置调整为

若hxi＜xi（0）（图5-6（b）），则编队临时期望位置调整为

（2）当xi（0）＞hxj+ωxj（0）时，若hxi＜xi（0）（图5-6（c）），则编队临时期望位置调整为

若hxi＞xi（0）（图5-6（d）），则编队临时期望位置调整为

定义此时从弹i的误差边界为。当临时期望位置调整为上述情况后，有。如图5-7所示，经过调整后，绕行者从弹i的位置误差矩形（图中的蓝色部分）与从弹j的边界矩形有一边重合。

图5-7　情况3存在可调整方向时调整策略示意图

（a）xi（0）＜hxj-xj（0），hxi＞xi（0）调整后；（b）xi（0）＜hxj-xj（0），hxi＜xi（0）调整后；（c）xi（0）＞hxj+xj（0），hxi＜xi（0）调整后；（d）xi（0）＞hxj+xj（0），hxi＞xi（0）调整后

由图5-7可见，调整后，位置误差矩形存在一条边（平行于y轴）重合，由于未调整时两个位置误差长方体为相交状态，因此调整后这两个长方体存在一个面（平行于Oyz平面）重合。令从弹i到原期望位置的误差边界为，由于从弹i在y、z方向、从弹j在三个方向均未调整临时期望位置，因此其到原期望位置的实时位置误差边界分别为和zj（t），在下一个时间步长，以原编队期望位置为参考，判断由当前位置和原编队期望位置形成的两个位置误差长方体是否分离，即是否满足以下三种情况之一：

若满足，则无须再调整临时期望位置，设从弹i的期望位置为原期望位置，此时从弹i和从弹j的情况就变成了情况1，两枚从弹在各自的位置误差长方体内飞行，达到期望的编队位置；若不满足，则继续进行调整，直到满足。

在调整过程中，选择从弹i的一个方向进行调整即可实现从弹间避碰。若某从弹与领弹及另一从弹在避碰过程中所选择的调整方向相同，则需要进一步对临时期望位置进行比较（见情况4）。因此，为尽可能避免二者方向相同而降低避碰效率，本节按照x、y、z的顺序依次进行判断是否能够作为从弹间避碰的可调整方向。

当不存在可调节方向时，保持从弹i的相对位置不变，从弹j将从弹i视为一个相对静止点目标来躲避。以x方向为例，当满足xi（0）＜xj（0）、hxj＜xj（0）或xi（0）＞xj（0）、hxj＞xj（0）时（图5-8（a）（c）），则飞行器j的临时期望位置调整为

当xi（0）＜xj（0）、hxj＞xj（0）或xi（0）＞xj（0）、hxj＜xj（0）（图5-8（b）（d））时，飞行器j的临时期望位置调整为

经过调整后，有，因此从弹i位于从弹j的位置误差矩形边界上，如图5-9所示。

图5-8　情况3不存在可调整方向时调整前

（a）xi（0）＜xj（0），hxj＜xj（0）；（b）xi（0）＜xj（0），hxj＞xj（0）；（c）xi（0）＞xj（0），hxj＞xj（0）；（d）xi（0）＞xj（0），hxj＜xj（0）

图5-9　情况3不存在可调整方向时调整后

（a）xi（0）＜xj（0），hxj＜xj（0）；（b）xi（0）＜xj（0），hxj＞xj（0）；（c）xi（0）＞xj（0），hxj＞xj（0）；（d）xi（0）＞xj（0），hxj＜xj（0）

由于将一个导弹视为静止目标、另一个导弹单向调整，相对于两个导弹同时飞行调整，其编队形成的效率比较低，因此按此策略飞行一段时间后，当存在可调节方向时（从弹i位于从弹j的位置误差长方体之外），从弹j向原期望位置飞行，从弹i根据式（5-18）～式（5-21）的方式进行调节。

由调整策略（式（5-18）～式（5-21）、式（5-25）、式（5-26））可知，调整后的位置误差长方体位于初始位置误差长方体内。因此，当初始位置误差长方体不与领弹相交时，调整后的长方体仍不与领弹相交，故无须考虑与领弹的避碰问题。

4.两枚从弹的初始位置误差长方体相交，且领弹位于某长方体内

假设从弹i作为绕行者且两枚从弹的初始位置误差长方体相交，当领弹位于从弹j的位置误差长方体内时，按照情况2的方法计算从弹j的临时期望位置，按照情况3的方法计算从弹i的临时期望位置，即可实现领弹及从弹间的避碰目标。

当领弹位于从弹i的位置误差长方体内时（图5-10），可分别按照情况2、3的方法计算从弹i的临时期望位置。此时，当从弹i相对于从弹j具有可调整方向时，存在以下两种情况：

（1）从弹i相对于从弹j的调整方向与从弹i相对于领弹的调整方向不同，如从弹i通过实时调整与从弹j避碰、从弹i通过实时调整与领弹避碰，此时，从弹i可分别调整各方向的期望位置，使两位置误差长方体不相交，且领弹位于位置误差长方体外（或边界上），从而实现与领弹及从弹j的避碰。

（2）从弹i相对于从弹j的调整方向与从弹i相对于领弹的调整方向相同，如都调整x方向，设根据式（5-18）、式（5-21）和式（5-16）、式（5-17）得到的需调整的距离分别为，为使调整后的位置误差长方体与从弹j及领弹都不相交，选取中较小的期望位置作为最终临时期望位置hxai（t），按此策略调整后同时满足（图5-10中的蓝色实线）。

图5-10　情况4调整策略示意图

由图5-10可见，调整后，从弹i与从弹j在各自的位置误差长方体内飞行，且领弹位于位置误差长方体之外，从而能达到避碰的目的。

如果从弹i相对于从弹j不存在可调整方向，则从弹i将领弹看作一个静止点进行调整，从弹j将从弹i看作静止点进行调整。

下一步，对3枚导弹之间相对位置进行判断，再根据情况进行相应调整。

综合情况1～4，可得考虑弹间碰撞避免的编队算法流程，如图5-11所示。

图5-11　考虑弹间碰撞避免的编队算法流程

例5-1　假设领弹（导弹1）和两枚从弹（导弹2、导弹3）编队飞行。领弹在领弹弹道坐标系的位置为（0，0，0），领弹的速度、初始弹道倾角和初始弹道偏角分别为Vl=200 m/s，θl0=0°和ψVl0=0°。两枚从弹的相关参数见表5-1，表中的下标“0”表示初始时刻。

表5-1　两枚从弹相关参数

考虑到导弹的过载约束，设3枚导弹的最大切向加速度为40 m/s2，法向加速度为60 m/s2。预设性能控制器的性能指标函数参数k=1.2、p1=p2=0.18、=1，控制器参数k1=k2=10-4、k3=5，滤波器时间常数τ=0.1。

仿真结果如图5-12～图5-15所示。在图5-12中，“○”为起点，“★”为飞行100 s时到达的位置。在图5-13、图5-14中，黑色“○”为领弹位置，红色表示导弹2的位置误差长方体边界，蓝色表示导弹3的位置误差长方体边界，每个位置误差长方体中的“○”为当前位置，“◇”为期望位置。图5-13所示为初始位置误差长方体。图5-14显示了调整后两枚从弹的位置误差长方体变化情况，图中逐渐缩小的长方体分别对应t=0 s、t=6 s、t=12 s时的情况。

图5-12　三枚导弹的三维弹道图

图5-13　初始位置误差长方体

图5-14　位置误差长方体变化图

图5-15　长方体在Ozx平面的投影

由仿真初始条件可知，两个从弹的初始位置误差长方体相交且领弹位于导弹3的位置误差长方体内，如图5-13所示。由于导弹2的初始位置在导弹3的初始位置误差长方体外，且在x方向满足x2（0）＜hx3-x3（0），因此选择导弹2作为绕行者，将其x方向作为调整方向，通过实时改变hxa2来与导弹3避碰。如图5-14、图5-15所示，在t=0 s、t=6 s时，两个位置误差长方体有一面重合，飞行一段时间后两位置误差长方体分离，导弹2向原期望位置hx2=100 m飞行（如图中t=12 s）。导弹3在z方向满足z3≠0，因此可通过实时调整hza3与领弹实现避碰。在图5-14、图5-15中，t=0 s时通过调整hza3使领弹位于导弹3的位置误差长方体边界上，飞行一段时间后，领弹位于位置误差长方体外（如在t=6 s、t=12 s时），导弹3向原期望位置hz3=-50 m飞行。在整个调整过程中，导弹2相对于导弹3进行x方向的调整，导弹3相对于领弹进行z方向的调整，这两个方向的调整可以各自进行，互不干扰，实现了碰撞避免。由图5-13可知，通过导弹2、导弹3及相对领弹的相互避让，在形成编队的过程中避免了碰撞，且最后形成了指定的队形。

导弹2和导弹3在x、y、z三个方向的相对位置及期望位置如图5-16～图5-21所示，图中的下标“2”和“3”分别代表导弹2和导弹3。

图5-16　导弹2的x2、hxa2曲线

图5-17　导弹2的y2、hya2曲线

图5-18　导弹2的z2、hza2曲线

图5-19　导弹3的x3、hxa3曲线

图5-20　导弹3的y3、hya3曲线

图5-21　导弹3的z3、hza3曲线

由图5-16可见，t=0 s时，绕行者导弹2根据式（5-16）调整x方向的临时期望位置=-172.7 m。此时，导弹2的边界为=1.2×=92.7 m，导弹3边界为x3=1.2×180 m。调整后，满足=92.7+180，此时两个位置误差长方体有一面重合，导弹在各位置误差长方体内飞行，避免发生碰撞。此调整一直持续到7.3 s。当t=7.3 s时，导弹2、导弹3的边界=97.48 m、=97.48 m，此时满足式（5-23），两个位置误差长方体分离。因此，t≥7.3 s时，导弹2的期望位置变回原期望位置=100 m。飞行过程中，导弹2在y、z方向的期望位置始终为真实期望位置，如图5-17、图5-18所示。导弹3为躲避领弹，在z方向进行调整，当t＜3.4 s时，根据式（5-16）进行调整。调整后，满足，领弹位于导弹3的位置误差长方体边界上，导弹3在位置误差长方体内飞行，从而实现了与领弹的碰撞避免。当t=3.4 s时，导弹3的边界x3=98.07 m（小于=100 m），领弹位于导弹3的位置误差长方体外。因此，当t≥3.4 s时，导弹3的期望位置为原期望位置，如图5-19所示。由图5-16～图5-21也可以看出，最后导弹2和导弹3在三个方向均实现了对指定编队期望位置的跟踪，良好地实现了编队。

导弹2和导弹3的位置跟踪误差及边界函数如图5-22～图5-27所示，图中的下标“2”和“3”分别代表导弹2和导弹3。Δmnup、Δmndown（m=x，y，z，n=2，3）分别表示导弹n的m方向的误差上边界和下边界。

图5-22　导弹2的ex2及边界曲线

图5-23　导弹2的ey2及边界曲线

图5-24　导弹2的ez2及边界曲线

图5-25　导弹3的ex3及边界曲线

如图5-22所示，当t＜7.3 s时，导弹2通过调整x方向的临时期望位置来与导弹3避碰，此时边界。当t≥7.3 s时，x方向为原期望位置，性能函数为x2（t）=（x2（7.3）-1）e-0.18×（t-7.3）+1。同理，如图5-27所示，当t＜3.4 s时，边界z3（t）=1.2；t≥3.4 s时，导弹3在z方向为原期望位置，性能函数为z3（t）=（z3（3.4）-1）e-0.18×（t-3.4）+1。如图5-23～图5-26所示，导弹2在y和z方向、导弹3在x和y方向的期望位置为原期望位置，由式（5-2）可知，其边界曲线为单调递减的指数形式。由图5-22～图5-27可知，导弹2、导弹3的位置跟踪误差始终在上下边界范围内，即导弹2、导弹3始终在位置误差长方体内飞行，显示了预设性能控制器的良好性能。

图5-26　导弹3的ey3及边界曲线

图5-27　导弹3的ez3及边界曲线

导弹2和导弹3的控制加速度变化曲线如图5-28、图5-29所示，导弹2、导弹3的加速度均不超过最大加速度。开始，由于导弹的实际位置与期望位置的误差较大，因此控制量出现了饱和的情况；之后，脱离饱和，在两个位置误差长方体分离时（t=3.4 s和t=7.3 s），导弹2、导弹3的控制量出现突变，之后趋于平稳，最后变为0，各导弹以相同的状态编队飞行。

图5-28　导弹2的加速度变化曲线

图5-29　导弹3的加速度变化曲线