固体火箭发动机设计中的通用坐标法

2023-08-02 理论教育版权反馈

【摘要】：通用坐标法通常的标准几何图形分为三类，分别是平面、柱面和回转面。赐给开封府以示表彰。固体火箭发动机装药通用坐标计算法使得装药设计程序化、规范化，为装药设计的优选开辟了一条新路，但通用坐标法也存在其局限性。随着三维几何造型技术的发展，一种结合通用坐标法的新方法——实体造型法，正在逐步推广。图2.27二维封闭线的扩张

随着发动机装药技术的不断发展，固体火箭发动机药柱已由简单的二维药型发展到了复杂的三维药型，对发动机设计起到越来越重要的作用。燃烧面积计算方法有作图法、解析法、通用坐标法、体积元素法、边界拟合法等。作图法和解析法一般适用于简单的药型，对于复杂的三维药型，用这两种方法进行燃烧面积计算，需要花费很长时间，随着计算技术的发展，已渐渐被其他方法所取代。体积元素法需要划分正交化网格，且存在计算精度和计算量之间的矛盾。通用坐标法是最早提出的一种针对三维装药设计的方法，不但被广泛应用，而且为后来的其他方法提供了设计思路，其众多的优点得到继承和发展。

通用坐标法的基本思想是假设推进剂药柱外形和空腔可分解成若干基本图形，药柱的初始空腔由各种基本几何体填满，燃烧面积退移过程按平行层燃烧的规律进行，利用药柱相邻的肉厚对应的体积之差，除以肉厚的退移距离，求得相应的平均燃烧面积。首先计算每一对应肉厚下的药型体积，对应肉厚下的燃烧面积则等于体积对肉厚的微分，通过数值方法求解该微分，即可得到燃烧面积。

在编程实现时是将药柱的初始自由容积用给定的各种标准几何图形分解组合，将这些基本形体的坐标位置和基本参数按规定输入计算机。这些几何图形在燃烧过程中沿着法向等厚度平行扩大或缩小，基本几何图形在给定烧去距离发展后的形状由子程序预先描述，在各基本图形发展过程中它们可能重叠、深入药柱或伸出壳体外，通过程序自动判定各燃烧面后退位移下的空腔和药柱的分界面，并且计算该时刻的药柱体积，再对体积进行微分得到燃烧面积。通用坐标法有很好的通用性，可以计算多种装药药型结构的燃面退移过程。

通用坐标方法进行装药设计是在给定的肉厚和轴向的横截面上（见图2.26），计算药柱横截面的面积。将Y轴的计算区域分成有限份，计算Y=Y1直线与药柱内表面和壳体外边界的交点坐标，判定空腔和药柱分界面与Y=Yjl的交点Zjl（l=1，2，3，···）。

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图2.26　通用坐标下装药柱的肉厚和轴向横截面图

在给定Wk、Xi和Yj的前提下：

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该药柱横截面的面积：

在给定肉厚Wk下药柱的体积：

药柱在每一燃烧肉厚的燃烧面积等于药柱体积对肉厚的导数，也就是燃烧面积：

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因此，利用数值微分可求出每一肉厚的燃烧面积。

利用通用坐标法，不但可以求出装药的表面积，还可以得到装药的总体积V、总质量M、沿Z轴轴向的重心位置、各轴的转动惯量等重要参数。其中，总体积为：

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总质量为：

式中，Vp为装药总体积；ρp为装药密度。

沿Z轴的重心位置为：

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通用坐标法通常的标准几何图形分为三类，分别是平面、柱面和回转面。各种药型都可以用基本几何图形表示出来，可以用来计算出药柱体积。

平面是最简单的几何基本图形，如果已知平面上一点P0（x0，y0，z0）及平面的法线方向，则平面方程可表示为：

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式中，（x0，y0，z0）为平面上任一点P0的坐标；（α，β，γ）为平面法线的方向角；P0n为原点到P0的距离在法线上的投影。

柱面药型通常都具有轴对称性的特点，使所有的计算参数都能用柱面坐标来表示，可以达到简化计算公式的目的。根据药柱内空腔形成规律，可以用两种类型的计算公式来求空腔的各参数，一类是以径向坐标r为积分变量的计算公式，另一类是以轴向坐标Z为积分变量的计算公式。

拉伸体和旋转体是由二维母线生成的，只有改变其母线才能得到变化的体素。母线等距扩张，要引起某边的消失，凹点处还要出现新的弧段，其计算和逻辑判断较为复杂。

首先母线必须是由直线和弧段组成的封闭线，直线和弧段按一定方向首尾相连。母线扩张就是每一线段退移后，都位于沿母线的一侧。扩张的约束是直线段大小不变，方向也不变；弧段则圆心角不变，方向也不变。这样得到的母线不是连续的，在凹点处间断，在凸点处则会相交；根据燃烧的平行层假定，间断处应用圆弧过渡，相交处应用交点代替原来的端点。

如果某些元素在扩张过程中消失或者新生，则可能涉及几何元素的方向改变，可对此舍去或增添，按照新的交界面或点生成一个符合燃烧规律封闭的新的多义线。再重新生成表面及其与原始实体表面的等距面。

采用这一算法可以处理比较复杂的二维封闭线，如图2.27所示。

三维装药包含各种回转体，可以利用其特性来达到简化计算的目的。常见的回转体有前后封头相连的药柱头部球面，药柱端部在燃烧时产生的圆环面，药柱内腔的凹尖点燃烧时产生的球面等。

固体火箭发动机装药通用坐标计算法使得装药设计程序化、规范化，为装药设计的优选开辟了一条新路，但通用坐标法也存在其局限性。对于不同药型的装药仍然需要进行将装药划分为多个标准几何体的工作，对于复杂装药标准几何体的定义烦琐而困难，而划分的好坏对于计算结果起着重要的作用，而且不能计算同一标准几何体内燃速不均匀对内弹道的影响，还存在着燃烧面积计算随肉厚的变化从而使计算精度不高、计算精度不易控制、计算结果出现跳动等问题，对于一定的肉厚，肉厚的等份数过多或过少都可能引起较大的误差。

针对上述问题所提到的燃烧面积计算所存在的波动和误差的问题，可以通过变微分法为积分法的方式来解决。前提是要得到装药燃烧初始面积（或周长），通过积分法直接积分燃烧面积，可在保持数值法优点的同时减少燃烧面积计算误差。由于积分过程与肉厚的等份精度无关，可避免计算值随肉厚等份数和肉厚而变化的缺点。

边界拟合坐标法也是通用坐标法的一种发展，它是通过构造一个曲线参数坐标系统，使其与实际燃烧面边界相一致，然后在此坐标系统下离散三维面，对每一个离散点求其法向位移，得到下一个离散的燃烧表面。该方法摆脱了解析函数构建的过程，通过三维网格划分来模拟燃烧过程中燃烧面积的变化，网格退移过程更接近实际情况，精度更高。但该方法在曲面的离散、法向位移扩展过程中需要解微分方程组，计算量较大。

随着三维几何造型技术的发展，一种结合通用坐标法的新方法——实体造型法，正在逐步推广。实体造型方法生成的几何体不仅包含了曲面的信息，而且包含了三维形体以及形体之间相互关系的拓扑信息，构成装药的几何体信息是完备的，非常适合进行药柱的推移计算。应用实体造型技术进行装药设计，不仅能得到任意时刻燃烧面积，而且能够得到与药柱体积相关的信息，对装药设计、结构分析、流场分析都提供了条件。

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图2.27　二维封闭线的扩张

固体火箭发动机设计中的通用坐标法

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