罗素悖论的产生和解决

2023-08-01 理论教育版权反馈

【摘要】：要想说明罗素悖论，必须先讨论数学中的集合论。罗素悖论，又叫做理发师悖论，由罗素于1901年提出。数学家为了解决罗素悖论花了大量精力，目的在于完善康托尔集合论的缺陷，使数学大厦建立在真正坚实的基础上。恰如罗素悖论中的理发师一样，人们的日常行为往往含有两个方面的意义。只是，在罗素悖论提出之前，人们并没有意识到这个问题。罗素悖论还对人的思维逻辑提出了更严格的要求。

在现代科学中，还有一个悖论产生了巨大影响，即“罗素悖论”。要想说明罗素悖论，必须先讨论数学中的集合论。

集合论，是德国数学家康托尔在19世纪末20世纪初创立的数学理论。集合论研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，包含集合、元素和成员关系等最基本的数学概念。在大多数现代数学公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件。

集合论以其简洁而严谨的表达得到了数学界的一致欢迎，几乎所有数学领域都引进了集合的概念。“一切数学成果可建立在集合论基础上”，成了当时数学界的共识。有的数学家甚至欢呼：有了集合论，数学的系统性和严密性已经达到，可以宣布数学大厦的建成了。

然而，罗素悖论出现了。罗素悖论，又叫做理发师悖论，由罗素于1901年提出。其准确表述是，在某个城市中有一位理发师，他的广告词是：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”后来前来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。

可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起剃刀要给自己刮脸，却突然想起了自己的广告语。这一下，他顿时陷入无所适从的状态，因为如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸；如果他给自己刮脸，他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

由刮脸引起的罗素悖论思考

罗素悖论以一种非常浅显易懂的方式，带给集合论巨大的冲击，而且冲击的是集合论中最基本的概念，即一个元素是否属于某个集合不是那么容易确定的，甚至是不能确定的。如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称他的元素都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？集合论将如何确定理发师究竟属于哪一个集合？

德国著名逻辑学家弗雷格写了一本关于集合的基础理论著作，然而，他将这本著作送到印刷厂准备付印时，获悉罗素悖论，又不得不悲哀地在书的最后加上了一句话：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”

当然，我们可以对理发师的广告做一个简单的修改来解决理发师的困境，如将他自己排除在所表述的范围之外。但这样不过是在一个自称完美的大厦外加了一个补丁，实在是有损于这座数学大厦的磅礴气势。显然，数学家不会满足于这样的解决方案。

数学家为了解决罗素悖论花了大量精力，目的在于完善康托尔集合论的缺陷，使数学大厦建立在真正坚实的基础上。详细介绍数学家的解决方案太过高精专，不是本书的内容。只要看一看对解决方案的两个看似相互矛盾的要求，你就会感觉到科学家是在走钢丝（要求极高），突破矛盾的关键就在于找到一个恰当的平衡点。

这两个要求是：解决方案必须足够狭窄，以保证能排除一切矛盾；同时解决方案必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容都能够保存下来。最后，策梅罗等人提出的ZF公理系统和冯·诺伊曼等人提出的 NBG公理系统，很好地解决了罗素悖论问题。

罗素悖论所提出的问题，在日常生活中经常遇到。比如，城管或爱卫会之类的机构在一堵墙壁上张贴一张告示，上面写“此处禁止张贴”。这张告示要表达什么意思人们都清楚，问题在于这张告示在做什么？它难道不是在“张贴”吗？

它的确是在张贴，但是，它的张贴行为并不违反告示的规则。恰如罗素悖论中的理发师一样，人们的日常行为往往含有两个方面的意义。其一，行为的内容包含行为本身；其二，行为的内容不包含行为本身。只是，在罗素悖论提出之前，人们并没有意识到这个问题。

罗素悖论还对人的思维逻辑提出了更严格的要求。笔者花费大量功夫阐述逻辑对于人的重要性。即使在本书中，也对欧氏几何的逻辑体系予以很高的评价，但是我们要清楚，逻辑结论的可靠（准确的表达是演绎结论的可靠）性立足在逻辑规则无懈可击的基础之上。如果逻辑本身存在瑕疵，那么逻辑结论就是可疑的。

我们都对这句话很熟悉，即“实践是检验真理的唯一标准”。就其产生的时代而言，这句话在政治上无疑具有极大的、积极的促进意义，它对反对当时僵化的教条主义、冲破本本主义的禁锢具有重要作用，推动了人们思想的解放。但是，从科学和哲学的角度看，这一口号有其过于绝对之处，问题在于“唯一”二字。许多真理是无法用实践来检验的，比如大量数学中关于无穷的定理。实践中永远不可能做出一个“无穷”，关于“无穷”定理的证明只能依靠严谨的逻辑来推理，所以严谨的逻辑同样是检验真理的标准之一。

政治具有极强的指导性、思想性，这句话的本意是接近真理本身需要通过实践来检验，在相应的时代背景下具有其正确性。而今科学飞速发展，高精尖理论的检验已超出刻板印象，走进社会、走近群众的“实践”，上升到思维层面的归纳、演绎。经得起检验的理论同样属于真理。由此可见，科学以求真为宗旨不会变，也不具备政治含义的复杂性，科学的纯粹在思考中显得极具魅力。

罗素悖论的产生和解决

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