正切函数图像和性质的教学思考与实践

2023-07-31 理论教育版权反馈

【摘要】：问题1：你能结合所学的正切函数知识，类比正、余弦函数的性质，找出正切函数所具备的一些性质吗？如何用这些方法类比得出正切函数的图像？

数学组　何　娅

随着国际课程改革的兴起，教育部于2014年3月30日正式印发《教育部关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》，该文件正式将培养学生的核心素养作为教育的根本目标，提出中国学生在数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养.转眼之间，学校“四环导学魅力课堂”改革已经实施了近五年，在实施改革的过程中，我们更要以提升学生的数学科学素养为宗旨，为满足学生的需求、拓展学生的视野，更好地提升学生的数学科学素养.问题是“四环导学魅力课堂”的四个教学环节情境自学、合作互学、展评激学、提升领学的核心，在“魅力课堂”中，我们通过创设特定的问题情境，将知识目标化、目标问题化、问题思维化、思维层次化，让问题成为学生强大的“引擎”，引导学生在解决学习问题中，主动获取和运用知识，发展其学习的主动性和自主学习能力.“问题导学”以优质的问题作为导学的纽带，引导学生自主参与，主动获取知识，是构建凤中数学魅力课堂的重要策略.

近期，沙坪区高中数学“学本式卓越课堂”展评课如火如荼地在我校展开，我校青年教师薛靖以一堂“正切函数的图像和性质”参赛.本节课是学生学习正弦、余弦函数图像与性质后，又一具体的三角函数，它前承正、余弦函数，后启第五章直线的斜率问题，研究正切函数的图像和性质的过程不仅是正、余弦曲线研讨方法的再现，更是一种提升，更为后续的学习奠定了基石.

本文以指导“正切函数的图像和性质”教学设计的前后为对比，谈一谈在“四环导学魅力课堂”中对”问题导学”的思考.

案例（一）

【原始设计】问题1：①tan（x＋π）＝？　②tan（－x）＝？　③tan x的定义域是什么？

【改进设计】

问题1：你能结合所学的正切函数知识，类比正、余弦函数的性质，找出正切函数所具备的一些性质吗？

【教学反思】原始设计过于忠实教材，显得照本宣科，因循守旧.在课堂上未能激起学生探索、求知的欲望，更没能在课堂上组织起有效的小组讨论和交流.改进后的设计则大胆打破常规，调整课本顺序，为学生大胆提出问题、解决问题构建了一个探索、实践的平台.问题提出后学生经过分组讨论，自己提出问题：正切函数的定义域、奇偶性、周期性、值域、对称性、单调性是怎样的？为什么会有这样的性质？他们整合加工所学知识，结果发现定义域、奇偶性、周期性经过自己论证后轻易可得，值域、对称性、单调性等问题有待解决.改进后的设计激发了学生的探索函数图像的好奇心和热情，很快掀起了本节课的第一轮高潮.

爱因斯坦说过：“提出一个问题，往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要有创造力和想象力.”在问题设置的过程中，我们应尽量考虑让问题富有一定启发性，让学生通过主动的探索、发现和体验，逐渐学会独立分析和思考，有效提升发现问题、提出问题、解决问题的能力.

波利亚说过，学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易理解其中的内在规律、性质和联系.在教学中，我们要十分重视学生发现问题和提出问题能力的培养，要尽可能地给学生提供发现和提出问题的机会，鼓励学生说出自己的想法，通过“问题导学”做好学习新知的准备和思维方法的铺垫，找准学习的“最近发展区”，给学生提供充分的感知素材，引发学生的认知冲突，提出讨论的问题，提高学生的问题意识，促进学生数学素养的提升.

案例（二）

【原始设计】

问题2：请利用正切线画出y＝tan x，的图像：

问题3：根据诱导公式tan（x＋π）＝tan x，请在下图中把上述图像向左、右扩展，得到正切函数y＝tan x，x∈R且的图像，称“正切曲线”.

【改进设计】

问题4：你能利用以前学过的知识作出y＝tan x的图像吗？

【教学反思】

原始设计仅仅是课本知识的重复和罗列，并未教会学生如何思考问题、解决问题.在改进后的设计下，学生需要自己思考、分析，提出问题：作正弦、余弦函数图像都学了哪些方法？如何用这些方法类比得出正切函数的图像？经小组讨论、交流后，有的小组同学类比正弦、余弦函数图像的五点作图法作图，有的小组同学类比正弦函数图像的做法——单位圆的正切线作图，有的小组同学作出了正切函数在的图像，还有其他小组用平移作出了其他部分的图像……在教师精心设计、指导下，课堂呈现出百花齐放的效果.

心理学家布鲁姆说过“教会学生独立思考，我们就给了他们自我教育的能力，要使学生敢于在课堂上阐述自己的观点，我们不能要求学生放弃一切活跃的思考盲目地相信某种结论.”在教学中，对于要解决的问题，我们应设法不直接讲述给学生，而是先把前提条件交代给学生，然后提出疑问，由学生自己开动脑筋，经过思考，追根问底，最后得出结论.

苏霍姆林斯基曾说：“在人的心灵深处，都有一个根深蒂固的需要，那就是希望感到自己是一个发现者、研究者和探索者.”由此可见，教师在课堂上应注意唤醒学生的问题意识，引导学生敢于挑战或否定权威的信心和勇气，培养学生有强烈的好奇心和探索精神，鼓励学生有不同于别人、不同于常规的做法和想法等，同时通过积极的课堂评价让学生乐于提问、敢于提问、善于提问，促进学生数学素养的提升.

案例（三）

【原始设计】

问题5：观察图像，得出正切函数的性质，填下表：

【改进设计】

观察图像，你能进一步研究正切函数的其他性质吗？

【教学反思】

原始设计对于基础知识点显得面面俱到、平均用力.改进设计后，因问题设置更有针对性，函数的基本性质仅仅在交流时得以回顾，而对于有点难度或难以理解的知识点，如正切函数的不连续性、对称性，则集中引导学生分析、讨论，有效突破难点.

英国科学家波普尔说“科学知识的增长永远始于问题，终于问题——越来越深化的问题.”我们上课前一定要对问题的设置进行周密策划和统筹考虑，要对教学内容了然于心，并对学生情况进行充分了解.不仅要对教学的整体布局反复思考，而且对每一个具体环节也要反复斟酌.要针对学生的实际情况设计问题，对学生学习中可能遇到的困难，可能做出的反应，要有充分的估计，并事先设计好应对策略，这样整堂课才会显得张弛有度，重难点突出.

学生数学素养的形成是一个长期的、不断体验的、慢慢积淀的过程.我们教师在做教学设计时，应更多地关注如何挖掘数学知识本身的内涵，设计富有逻辑性的数学活动引领学生层层深入；在课堂教学中，应给学生提供足够的思维时间和空间，让学生自主建构数学知识或解决数学问题；在这个过程中，形成问题意识，学会数学思维，领悟数学精神，体验数学价值，只有将数学素养的形成真正落实到课堂教学并有效地融入学生的学习过程中，持之以恒，学生的数学素养才能真正得到培养和提升.

正切函数图像和性质的教学思考与实践

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