数学课程设计：八年级一次函数图像，第1课时，核心素养实践

2023-07-31 理论教育版权反馈

【摘要】：前面已经学习了用描点法画函数的图像，运用数学核心素养的几何直观及数形结合思想，可进一步研究函数的性质和应用.那么，一次函数的图像是什么形状呢？画一次函数的图像时，只需要确定几个点？

数学组　魏　创

学习目标

1.通过画图、观察，发现一次函数的图像形状.

2.归纳画一次函数图像的简便方法.

3.如果某些一次函数解析式有相同或相似之处，则它们的图像会有什么特征.

4.直线y＝kx＋b（k≠0，k、b为常数）中，k和b的取值对图像位置的影响.

重点难点

重点：熟练作出一次函数的图像，理解k和b的取值对图像位置的影响.难点：探究某些一次函数图像的异同点，从而总结k和b的取值对图像位置的影响.

学习探究

问题1：（做一做）在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图像：

（1）y＝x；（2）y＝x＋2；（3）y＝3x；（4）y＝3x＋2.

观察所画出的这些一次函数的图像，你能发现一次函数图像的形状是什么？

【设计理由】前面已经学习了用描点法画函数的图像，运用数学核心素养的几何直观及数形结合思想，可进一步研究函数的性质和应用.那么，一次函数的图像是什么形状呢？此问旨在通过学生亲自动手，运用描点法画出函数的图像，观察并发现一次函数图像的形状特征，达成目标1.既巩固了描点法画函数的图像，又在此基础上去发现、获得新的知识，同时，也为探索反比例函数、二次函数等的图像形状积累了方法.

【使用说明】让学生在坐标纸上动手，用描点法画函数的图像.教师巡视、指导学生画图，画完后引导学生直观地发现所提问题及正比例函数图像是经过原点（0，0）的一条直线.

问题2：几个点可以确定一条直线？画一次函数的图像时，只需要确定几个点？你会怎么选这两个点？

【设计理由】在学生认识到一次函数的图像是一条直线这一事实后，教师继续追出此问题串，旨在让学生进一步思考画一次函数图像的简便方法，达成目标2.培养学生的数学应用意识.因学生对“两点确定一条直线”这一公理非常熟悉，所以，对此问中第一小问的回答应是水到渠成.至此，学生意识到由最初的描多个点画图像到可以由两个点画图像，收获了学习方法，同时也会惊讶：“原来刚才我们走了‘弯路’呀”！从而迫不及待地想要通过新获得的方法去画一次函数的图像，激发了学习热情.

【使用说明】“你会怎么选这两个点？”此问先让学生独立思考，再小组内交流，然后请各组发表看法.教师综合各组方法，归纳：如何取点可根据计算和描点简便确定，直线y＝kx（k≠0）可取原点（0，0）和另一点即可.在以后的学习中，画直线y＝kx＋b（k≠0）的图像时常取与x轴和y轴的交点，这里不必作机械的规定.让学生在以后的实践中对比、体会后再引导.

问题3：（观察与思考）认真观察上述四个函数图像的特点，比较下列各对一次函数的图像有什么共同点？有什么不同点？

（1）y＝3x与y＝3x＋2；

（2）y＝x＋2；

（3）y＝x与y＝x＋2与y＝3x＋2.

【设计理由】此问是突破本节难点的桥梁.若直接设问：k和b的取值对图像的位置有何影响，学生会茫然无措.这里通过对上述三个问题中每对一次函数图像的比较，让学生直观体会直线y＝kx＋b中k和b的几何意义.突破难点并达成目标3.

【使用说明】给学生足够的时间观察、讨论、交流、体会并充分发表自己的意见.教师深入各组，关注各组的讨论情况，鼓励学生积极参与并发表自己的意见，督促小组成员之间要互相帮扶；对有困难的小组给予及时的指导；倾听学生观察所得到的结果；展示各小组交流的结果.教师引导学生除了从“形”上观察图像异同点之外，还应从“数”（各组函数关系式）的角度观察异同点，明确“形”的异同是因“数”的异同而导致.从而由“形”想到“数”，由“数”想到“形”，建立起研究函数的重要数学思想——数形结合的思想.

问题4：直线y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0），k和b对图像的位置有何影响？

【设计理由】此问是本节的又一重点，旨在引导学生在问题3的基础上归纳、总结图像产生异同点的本质原因：k和b的取值决定了图像所经过的位置.k决定图像的走向，b决定图像与y轴的交点，达成目标4.为以后研究函数的性质以及数形结合研究函数的问题作准备.

【使用说明】教师先引导学生总结k和b对图像位置的影响，再让学生独立画出①k＞0，b＞0；②k＞0，b＝0；③k＞0，b＜0；④k＜0，b＞0；⑤k＜0，b＝0；⑥k＜0，b＜0时6种情况所对应的函数图像，对个别有困难的同学，由小组成员进行帮扶.让学生初步形成函数模型思想，发展学生的形象思维.

【反馈练习】形成思想，发展学生的形象思维.

1.分别在同一直角坐标系中，画出下列一次函数的图像，并说明它们有什么关系.

（1）y＝2x与y＝2x＋3；

（2）y＝2x＋1与y＝x＋1.