高一数学必修四一　任意角三角函数第一课导学设计

2023-07-31 理论教育版权反馈

【摘要】：数学组王鹏飞学习目标1.（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；（2）掌握正弦、余弦、正切函数的函数值的求解；（3）正确理解三角函数是以角为自变量的函数.2.在任意角三角函数概念的形成过程中，提高分析、探究、解决问题的能力，培养学生的直观想象能力，体会函数思想，培养学生抽象思维能力，体会数形结合思想.3.（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系

数学组　王鹏飞

学习目标

1.（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；（2）掌握正弦、余弦、正切函数的函数值的求解；（3）正确理解三角函数是以角为自变量的函数.

2.在任意角三角函数概念的形成过程中，提高分析、探究、解决问题的能力，培养学生的直观想象能力，体会函数思想，培养学生抽象思维能力，体会数形结合思想.

3.（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式，加强学生逻辑推理能力培养；（2）学习转化的思想，培养严谨治学、一丝不苟的科学精神.

重点难点

1.任意角的正弦、余弦、正切的定义.

2.任意角的三角函数概念的建构过程.

学习探究

问题1：如图1所示的是我们儿时的玩具——风车，在它的一圈一圈转动的形式背后，也蕴含了丰富的数学内涵（如周期性）.下面先看一个具体的数学问题：

图1

图2

（1）如图2所示，半径为1的风车中心O到平面的距离h＝2，点P到点O在同一水平线上，当点P逆时针旋转α时，点P离平面的距离H是多少？比如，时，H＝________？

（2）那么当时，还可以用H＝r sinα＋h进行计算吗？如果可以， pagenumber_ebook=49,pagenumber_book=42 又是多少？

为了解决这类问题，下面我们一起进入今天研究的课题——“任意角三角函数的定义”.

【设计理由】用生活中常见的玩具——风车，学生儿时都有所接触，较为熟悉，再将此转化成一个数学问题，在理科教学中可以增加趣味性，让学生集中注意力尽快进入上课状态，任意角的三角函数是从圆周运动中发展而来的，与此同时引出周期现象，三角函数是研究周期性的一个重要函数，让学生对三角函数的这一特性有一个初步了解，同时也引发学生的认知冲突，让学生初步了解本节课学习的任务，激发学生学习新知的兴趣和欲望，培养学生直观想象、抽象思维能力.

【使用说明】教师提出问题，学生独立完成，当学生完成问题1中（2）小问时会遇到困难，此时暂时不去解决，引出课题.

问题2：如图3所示，初中是如何在直角三角形中定义锐角三角函数的？

【设计理由】回顾初中的锐角三角函数的定义，为后面在坐标系中重新定义三角函数作铺垫，从原有的认知基础出发，认识任意角的三角函数的定义.

图3

图4

问题3：如图4所示，前面已经在直角坐标系中研究了任意角，你能否用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数？

【设计理由】角是在坐标系中重新定义的，因此三角函数也需要在坐标系中重新定义，引导学生用坐标法来研究锐角三角函数，让学生初步抽象出三角函数的定义.

【使用说明】学生自主预习教材，思考并完成问题2、问题3.

问题4：如图5所示，当角α确定，三角函数比值会随着P点在角α的终边上位置的改变而改变吗？为什么？

图5

【设计理由】取OP＝1，体现简约思想，并且OP＝1会使P点在半径为1的圆上运动，顺势提出单位圆概念.

【使用说明】使用几何画板动画展示，在单位圆上拖动P点，锐角α改变，P点的坐标也在发生改变，观察比值是否发生改变，验证学生的结论.

问题5：如图6，在单位圆中，P点在圆周上运动，观察发现P点的坐标、坐标比会随着角α的变化而变化，P点的坐标或坐标比和角α之间有什么关系？请以锐角为例进行说明.

图6

【设计理由】前面为此处做了很多铺垫，这时候让锐角α动起来，让学生观察感受函数的动态特点，有利于学生探究、理清此处的函数关系，再探究单位圆上的表达式，反复巩固单位圆上的定义，为提出任意角三角函数的定义做铺垫，并再次强调P点是单位圆上的点，本质是在强调我们对三角函数的定义，后面都是在单位圆上进行的.

【使用说明】教师提出，这个P点是任意的一点吗？强调是角α终边与单位圆的交点.

问题6：当角α是任意角时，这些还成立吗？它们还是函数关系吗？（动画展示角α是任意角时，观察P点的坐标变化）.

【设计理由】由于学生对任意角三角函数的定义的认识是重难点，并且教材中对这块的处理是先提出任意角三角函数的定义，再去说明对于确定的角α，三个值都唯一确定来说明函数，此处运用几何画板动画观察，先让学生观察发现P点横纵坐标、坐标比值随着角α的变化而变化，并且唯一确定，先让学生体会这是函数，再顺理成章地提出这个函数称为三角函数，处理更为自然。在此可以先主要观察从锐角的正弦定义推广到任意角的正弦定义，先解决一个，再运用类比思想提出并探究余弦、正切，突破难点，从而达到从锐角三角函数定义推广到任意角三角函数的定义，突破重难点.

【使用说明】在此，教师提出任意角三角函数定义：

如图5，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：

（1）y称为α的正弦（sine），记作sinα，即sinα＝y；

（2）x称为α的余弦（cossine），记作cosα，即cosα＝x；

（3）称为α的正切（tangent），记作tanα，即tan.