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GM(1,1)预测模型的优化方法

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：目前使用最广泛的灰色系统预测模型是一个变量、一阶微分的GM(1，1)模型。(一)GM(1，1)模型的一般形式定义1设序列X＝(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x，x(n+1))建立的模型为新陈代谢GM(1，1)。(二)GM(1，1)模型检验GM(1，1)模型的检验包括残差检验、关联度检验和后验差检验。若相对残差、关联度、后验差检验在允许的范围内，则可以用所建的模型进行预测，否则应进行残差修正。

灰色预测属定量预测，是用现实数据来构造模型，以获得未来数据，是对对象系统现有状态向未来延伸的预测。目前使用最广泛的灰色系统预测模型是一个变量、一阶微分的GM(1，1)模型。

(一)GM(1，1)模型的一般形式

定义1　设序列X(0)＝(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))

其中，将x(0)(n)取为时间轴的原点，则称t＜n为过去，t＝n为现在，t＞n为未来。

定义2　设序列X(0)＝(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))，(k+1)＝(1-ea) pagenumber_ebook=42,pagenumber_book=35 e-ak，为其GM(1，1)时间相应式的累减还原值，则:

(1)当t≤n时，称(t)为模型模拟值；

(2)当t＞n时，称(t)为模型预测值。

建模的主要目的是预测，为提高预测精度，首先要保证有充分高的模拟精度，尤其是t＝n时的模拟精度，因此建模数据一般应取为包括x(0)(n)在内的一个等时距序列。

定义3　设原始数据X(0)＝(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))

(1)用X(0)＝(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))建立的GM(1，1)模型称为全数据GM(1，l)；

(2)∀k0＞1，用X(0)＝(x(0)(k0)，x(0)(k0+1)，…，x(0)(n))建立的GM(1，1)模型称为部分数据GM(1，1)；

(3)设x(0)(n+1)为最新信息，将x(0)(n+1)置入，称用X(0)＝(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)，x(0)(n+1))建立的模型为新信息GM(1，1)；

4.置入新信息x(0)(n+1)，去掉最老信息x(0)(1)，称用X(0)＝(x(0)(2)，…，x(0)(n)，x(0)(n+1))建立的模型为新陈代谢GM(1，1)。

(二)GM(1，1)模型检验

GM(1，1)模型的检验包括残差检验、关联度检验和后验差检验。

1.残差检验

残差检验即对模型值和实际值的残差进行逐点检验。首先按模型计算(i+1)，将(i+1)累减生成(i)，最后计算原始序列(i)与(i)的绝对残差序列(https://www.chuimin.cn)

Δ(0)＝{Δ(0)(i)，i＝1，2，…，n}，Δ(0)(i)＝｜x(0)(i)-(i)｜及相对残差序列

并计算平均相对残差

给定α，当＜α，且φn＜α成立时，称模型为残差合格模型。

2.关联度检验

关联度检验即通过考察模型值曲线和建模序列曲线的相似程度进行检验。按前面所述的关联度计算方法，计算出(i)与x(0)(i)原始序列的关联系数，然后算出关联度，根据经验，关联度大于0.6便是满意的。

3.后验差检验

后验差检验即对残差分布的统计特性进行检验。

原始序列的平均值:

原始序列X(0)的均方差:

残差的均值:

残差的均方差:

方差比:

小残差概率:

p＝p{｜Δ(0)(i)-｜＜0.6745S1}P＝P{｜ε(i)-｜}＜0.6745s1

若对于给定的C0＞0，当C＜C0时，称模型为均方差比合格模型；如对给定的P0＞0，当P＞P0时，称模型为小残差概率合格模型。

若相对残差、关联度、后验差检验在允许的范围内，则可以用所建的模型进行预测，否则应进行残差修正。