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两类相依累计索赔折现值的尾部概率

2023-07-06 理论教育版权反馈

【摘要】：注3.7 定理3.4在重尾索赔以及允许索赔与计数过程相依的情况下给出了两类相依聚合索赔的折现过程的一致尾渐近公式，推广了许多先前的结论，具有一定的理论和实际应用价值。定理3.4的证明我们首先证明式在t∈ΛT时的一致性。接下来我们将关系式的一致性范围推广至整个Λ区间。同样地，由于式可知，对所有的t∈（T0，∞］一致成立。

其中K1（t），K2（t），K3（t）是三个相互独立的更新过程，K3（t）可理解为对两类保险业务都会产生影响的某些事件（比如自然灾害）。此类模型的具体应用背景可见Yuen等（2002，2006）。

对所有t∈［0，∞）一致成立，其中hi（·）：［0，∞）→（0，∞）（i=1，2，3）为可测函数，U，V，W是三个独立非负随机变量且分布函数分别为F1，F2，F1*F2。当t不在θ（i）（i=1，2，3）的支撑内时，（3.57）式-（3.59）式中的条件期望看成无条件期望，且此时有hi（t）=1。显然，我们还有E hi（θ（i））=1。具体假设如下所示。

假设G 存在可测函数hi（·）：［0，∞）→（0，∞）（i=1，2，3）使得关系式（3.57）-（3.59）对t∈Λ一致成立。

注3.7 定理3.4在重尾索赔以及允许索赔与计数过程相依的情况下给出了两类相依聚合索赔的折现过程的一致尾渐近公式，推广了许多先前的结论，具有一定的理论和实际应用价值。

为了证明定理3.4，我们先给出一些引理。

对所有n＞n0和任意的0＜ε＜1/10一致成立。结合（3.67）式和ε的任意性即知（3.64）式对所有的n＞n0一致成立，再加上（3.65）式即可推出（3.64）式对于所有的正整数n都一致成立。引理3.7得证。

对于n=1，2，…都一致成立。

接下来我们开始证明定理3.4。

定理3.4的证明我们首先证明（3.60）式在t∈ΛT时的一致性。显然，

其中｛U，Ui；i≥1｝，｛V，Vj；j≥1｝和｛W，Wk；k≥1｝是三个相互独立的i.i.d.的非负随机变量序列，其分布函数分别为F1，F2，F1*F2。

对每个固定的M，N和L，将P（Dr（t）＞x）的表达式分成如下八个部分：

对t∈ΛT，又一致地成立

其中Δ（x；M，N，L）在先让x→∞再让M，N，L→∞的情况下，对所有的t∈ΛT都一致收敛于0。这也就是说在先让x→∞再让M，N，L→∞的情况下，

对所有的t∈ΛT一致成立。

和处理S1（x）类似，对S2（x）进行如下拆分：

由引理3.7可知，对充分大的x，

对所有的t∈ΛT一致成立。通过相同的讨论我们还可以证明：在先让x→∞再让M，N，L→∞的情况下，

对所有的t∈ΛT一致成立。因此，结合P（Dr（t）＞x）的拆分以及（3.70）式-（3.72）式就可推出关系式（3.60）对所有的t∈ΛT一致成立。

接下来我们将关系式（3.60）的一致性范围推广至整个Λ区间。当t=∞时，Dr（t）变成了

成立，因而可得

对所有的t∈（T0，∞］一致成立。同样地，由于（3.74）式可知，

对所有的t∈（T0，∞］一致成立。结合ε的任意性即知，关系式（3.60）对所有t∈（T0，∞］和充分大的x一致成立，再加上前面已证关系式（3.60）对所有t∈ΛT一致成立就可推出关系式（3.60）对所有t∈Λ一致成立。定理3.4证毕。

注3.11 本节的主要结果及证明源自Fu和Li（2017）。