带投资和副索赔的二维重尾时依更新风险模型的破产概率渐近估计优化方案

2023-07-06 理论教育版权反馈

【摘要】：显然，副索赔发生在其主索赔之后，且延后的时间是随机的。因此，两保险公司具有随机投资收益的盈余过程分别为由此定义两类有限时破产概率由于在现实中索赔额与索赔发生的时间间隔之间往往是存在着一定的联系，因此在本节中对主索赔和副索赔仍旧采用假设B和假设C。

与3.2节一样，本节仍旧考虑两家保险公司共同承保标的，并按δ1和δ2（δ1+δ2=1）的比例承担索赔。假设两保险公司只共同经营一种保险业务，同时假设每个（主）索赔都附带一个副索赔。显然，副索赔发生在其主索赔之后，且延后的时间是随机的。

则Dt表示到t（≥0）时刻为止总索赔额的折现值。记x=（x1，x2）T为两保险公司的初始资金，函数c（t）=（c1（t），c2（t））T为t时刻两保险公司保费的收益密度，其中ci（t）∈［0，M］，i=1，2，M＞0。因此，两保险公司具有随机投资收益的盈余过程分别为

由此定义两类有限时破产概率

由于在现实中索赔额与索赔发生的时间间隔之间往往是存在着一定的联系，因此在本节中对主索赔和副索赔仍旧采用假设B和假设C。同时，进一步假设｛R（t）；t≥0｝，｛（Xk，θk）；k≥1｝与｛（Yk，Qk）；k≥1｝之间相互独立。本节的主要结论如下。

当索赔额分布属于正则变尾族时，定理3.3可简化成如下形式。

推论3.2 考虑具有随机投资收益的二维时依更新风险模型（3.35），如果F∈R-α和G∈R-α，那么在定理3.3的条件下，对所有满足P（τ1≤T）＞0的T，有

为了证明定理3.3，我们首先引入一些有用的引理。

引理3.5 在定理3.3的条件下，对所有满足P（τ1≤T）＞0的T，有

证明 Fu和Ng（2014a）证明了当P（τi≤T）＞0时，

因此，由Markov不等式和引理2.1可得

因此，当P（τi≤T）＞0时，

利用Fu和Ng（2014a）处理其（3.6）式的方法，即有

和

事实上，即使所有的j都使得P（τj+Qj≤T）=0，（3.44）式也仍然成立，因为此时（3.44）式两边都变成了0。这就意味着对任意的0＜ε＜1，存在充分大的n0和x0，使得对所有的x≥x0，有

对于P12，我们有

其中在第二步中利用了Markov不等式，在最后一步中利用了（3.41）式。类似地，由假设C和引理2.1可知对任意的0＜ε＜1，存在充分大的x2＞0，使得对所有的x≥x2和u≥0，有

令ρ→1，则由ε的任意性可得

而对于P123，我们有

从而可得，

和

再结合F∈C⊂D即得

同时，根据（3.45）式和n1＞n0可知

再结合（3.47）式和（3.48）式以及D族的性质，即有

因此，由（3.46）式、（3.49）式以及ε的任意性即知（3.40）式成立。引理3.5得证。

接下来我们开始证明定理3.3。

利用Fu和Ng（2014a）的推论2.1直接就有

在上述证明过程中我们利用了（3.42）式以及由引理2.1所推得的

其中在第二步中使用了假设C，在第四步中再次利用了（3.52）式。这也就说明

结合（3.41）式后可知，对任意的0＜ℓ＜1，

最后，结合（3.54）和（3.55）式即得（3.38）式成立。

接下来证明（3.39）式。我们注意到

因此，由（3.38）式即得（3.39）式成立。定理3.3证毕。

注3.6 本节的主要结果及证明源自李会杰、倪佳林和傅可昂（2017）。