精细的二维额度更新风险模型的大偏差

2023-07-06 理论教育版权反馈

【摘要】：在本节中，我们拟将式推广至二维更新风险模型，也就是说研究二维额度相依更新风险模型中索赔向量和的精细大偏差。注3.2 定理3.1在允许索赔与索赔发生时间间隔相依的条件下给出了总索赔额向量的精细大偏差公式，在一定程度上推广了定理2.5。

考虑一个标准的二维更新风险模型，其中两种索赔都在相同的时刻发生，且索赔发生时间间隔｛θk；k≥1｝是一分布为G的i.i.d.随机变量序列，其构成一个更新计数过程。令；k≥1｝为i.i.d.的索赔额向量序列，则到时刻t（≥0）为止的总索赔额向量模型（也是一更新风险模型）为

在近几年，多维风险模型的精细大偏差也吸引了部分学者的兴趣，并取得了部分结论，具体可见Lu（2012），Shen和Tian（2016）以及Wang和Wang（2007，2013），但这些多维风险模型的精细大偏差都是基于索赔额与索赔发生时间间隔独立的框架而得到的。在本节中，我们拟将（2.28）式推广至二维更新风险模型，也就是说研究二维额度相依更新风险模型中索赔向量和的精细大偏差。

其中gu（·）是一有限正值函数。

本节的主要结论如下。

注3.2 定理3.1在允许索赔与索赔发生时间间隔相依的条件下给出了总索赔额向量的精细大偏差公式，在一定程度上推广了定理2.5。同时，该定理也说明无论是索赔与索赔发生时间间隔之间的相依结构，还是索赔向量内部分量之间的相依性，对｛→S（t）；t≥0｝精细大偏差的渐近性质几乎都没影响。

显然，｛N**（t）；t≥0｝为一广义双延迟更新计数过程，｛N**（t）；t≥0｝的分布通过（X1＞x1）和（X2＞x2）与x1和x2相关。

我们首先介绍一个与广义双延迟更新计数过程相关的引理。

引理3.1 除了假设F，再令Eθ=1/λ∈（0，∞）和Varθ＜∞，因而对每个0＜δ＜λ，a＞0和b＞0，都有

证明根据Chen和Yuen（2012）中引理2.1以及Bi和Zhang（2013）中引理3.4的证明方法，稍作修改后即可知引理3.1成立。

接下来给出的引理是定理3.1的证明基础，它是对Shen和Tian（2016）所得关于ERV族结果的一个推广。

在最后一步中我们利用了Fi∈C，（i=1，2）这一条件以及C族的性质。

类似地，根据Shen和Tian（2016）中对渐近上界的证明方法以及Fi∈C（i=1，2），我们有

由此再结合（3.4）式即知（3.2）式成立。引理3.2得证。

接下来我们开始定理3.1的证明。