带副索赔的重尾时依更新风险模型破产概率的渐近估计

2023-07-06 理论教育版权反馈

【摘要】：类似地，我们对副索赔及其相应的延后时间也给出一定的相依结构假设。在本节中我们将考虑带副索赔的时依风险模型中的有限时和无限时破产概率的渐近估计。对于p QAI索赔额序列，在其共同分布属于ERV族以及索赔额与索赔发生时间间隔相互独立的条件下，Li对模型的最终破产概率给出了如下的渐近估计。同时，我们也打算将定理2.3从ERV族推广至更大的控制变尾族，并给出有限时和无限时破产概率的渐近估计。

在一些自然灾害中，有些索赔可以立马就赔付，而一些由主要损失引起的其他损失可能需要过一段时间（也许几个月，也许几年）才可以确定情况和赔付。这也就是说有些相关风险的发生可能会推迟，如洪灾过后，水中所带有的病毒以及细菌会引起瘟疫等，要经过一段时间才会发生，同时，又有一些房屋在水的长时间浸泡后慢慢地会在洪灾过后的一段时间里坍塌，在这些情况下就有了一些延迟的索赔发生，即同一次事故会引起主、副索赔（时间上一前一后）。

简单起见，考虑一个非标准风险模型，其中每个主索赔都可能带有一个副索赔，副索赔一般都发生在主索赔之后且副索赔的延后时间是随机的。令主索赔｛Xk；k≥1｝与副索赔｛Yk；k≥1｝是两个共同分布分别为F和B的非负同分布随机变量序列，假设主索赔按照更新计数过程｛N（t）；t≥0｝发生，更新函数λt=E N（t）。令｛Qk；k≥1｝表示相应的副索赔的延后时间，为一非负同分布随机变量序列（共同分布为H且可能在0点处退化）。假设保险公司的初始资金为x（≥0），那么保险公司的保费收支可表示为如下的复合更新过程：

假设保险公司只进行无风险投资并令δ＞0为常数利息力，则保险公司到时刻t（≥0）为止的盈余可表示为

众所周知，加入副索赔后的盈余过程变得更加复杂，由于其更符合实际情况而被许多学者所研究，具体可参阅Boogaer和Haezendonck（1989），Li（2013），Xiao和Guo（2007），Waters和Papatriandafylou（1985），Wu和Li（2012），Yuen和Guo（2001）以及Yuen等（2005）。需要指出的是，上述这些文献中所构建的风险模型都假设索赔额与索赔发生时间间隔是相互独立的，显然这一假设在实际中是不大合理的。和上一节一样，我们仍旧采用Asimit和Badescu（2010）所提出的关于一般随机对（X，θ）的相依假设，具体可见如下假设。

假设B 主索赔及其相应的间隔时间所构成的随机对序列｛（Xk，θk）；k≥1｝与一般随机对（X，θ）同分布，且（X，θ）满足当x→∞时，

对所有的t∈［0，∞）和可测函数h（·）：［0，∞）→（0，∞）一致成立，其中。

类似地，我们对副索赔及其相应的延后时间也给出一定的相依结构假设。

假设C 副索赔及其相应的延后时间所构成的随机对序列｛（Yk，Qk）；k≥1｝与一般随机对（Y，Q）同分布，且（Y，Q）满足当x→∞时，

对所有的t∈［0，∞）和可测函数φ（·）：［0，∞）→（0，∞）一致成立，其中。

当t不是θ或Q的取值时，（2.17）式和（2.18）式中的条件概率可看成无条件概率且对该t有h（t）=1或φ（t）=1。显然，E h（θ）=1，Eφ（Q）=1。在本节中我们将考虑带副索赔的时依风险模型中的有限时和无限时破产概率的渐近估计。

由于索赔之间的独立性假设在保险实务中也不大合理的，不少学者将索赔额序列也设为是相依的随机变量序列。对于p QAI索赔额序列，在其共同分布属于ERV族以及索赔额与索赔发生时间间隔相互独立的条件下，Li（2013）对模型（2.16）的最终破产概率给出了如下的渐近估计。

定理2.3 考虑如（2.16）所示的带副索赔的风险模型，假设｛θk；k≥1｝，｛Qk；k≥1｝与｛Xk，Yk；k≥1｝之间相互独立，X1，Y1，X2，Y2，…是一p QAI序列且随机对序列（X1，Y1），（X2，Y2），…是同分布的。如果F∈ERV，B∈ERV，那么

如Liu（2009）中的例4.1和4.2所示，EUND结构不仅包含了常用的负相依结构和QAI相依结构，还包含了一些正相依结构。由于在实际中，索赔之间往往具有一定的正相依性，因此本节的主要结论围绕着具有EUND结构的索赔额展开。同时，我们也打算将定理2.3从ERV族推广至更大的控制变尾族，并给出有限时和无限时破产概率的渐近估计。具体结果如下所示。

当F∈C，B∈C时，LF=LB=1。因此由定理2.4即可推出如下结论。

推论2.3 考虑带副索赔的风险模型（2.16），如果F∈C，B∈C，那么在定理2.2的条件下，对所有满足P（τ1≤T）＞0的0＜T≤∞，有

下面证明定理2.4，为此先给出一系列引理。

引理2.6 对于主索赔及其相应的时间间隔所构成的随机对序列｛（Xk，θk）；k≥1｝，令其满足假设B及F∈D，那么对任意满足P（τ1≤T）＞0的0＜T≤∞，X1e-δτ1 I（τ1≤T）的分布函数也属于D族且满足

进一步，如果X1，X2，…是EUND序列且Xi与θj（i≠j）相互独立，那么｛Xie-δτi I（τi≤T）；1≤i≤n｝就是一p QAI随机变量序列。

证明对任意的0＜ε＜1，由关系式（2.17）可知存在着某个x0＞0，使得对所有的x≥x0和u≥0都有

同样地，利用引理2.1（3）可知

显然（2.21）式在P（τi≤T）=0时也成立，因为此时等号两边都为0。因此，我们就可以说随机变量序列｛Xie-δτi I（τi≤T）；1≤i≤n｝是一p QAI序列。引理2.6得证。

对于（2.22）式中的第一部分，由于Xi与τi-1相互独立，则由Chen和Ng（2007）中的方法可知

进而可得

因此，我们可以说对任意的0＜ε＜1，存在某个较大的n0和x0，使得对所有的x≥x0，有

成立，其中我们利用了（2.19）式。类似地，利用Yi与τi的独立性即有

进而可得

从而由注2.4可知，对任意的0＜ε＜1，存在某个较大的n1和x1，使得对所有的x≥x1，有

成立，只要其中某一个i≥1满足P（τi+Qi≤T）＞0即可。事实上，如果对所有的i都有P（τi+Qi≤T）=0，上式两端都为0也能保证式子成立。因此，结合（2.22）式可知，对任意的0＜ε＜1，存在某个较大的n2（＞n0∨n1）和x2（＞x0∨x1），使得对所有的x≥x2，有

成立。因此，由Yi等（2011）中的定理1可知，对任意的0＜ε＜1，存在某个较大的n2和x2，使得对所有的x≥x2，有

在上述证明中我们利用了｛Xie-δτi I（τi≤T）+Yie-δ（τi+Qi）I（τi+Qi≤T）；i≥1｝是p QAI随机变量序列这一性质。因此，再利用ε的任意性即知引理2.7中的渐近下界成立。

接下来我们开始证明渐近上界。对任意的0＜ρ＜1和充分大的n2，我们有

对I9进行如下分解：

根据假设B，对任意的0＜ε＜1，存在着某个充分大的x3，使得对所有的x≥x3和u≥0，有

类似地，由假设C可知对任意的0＜ε＜1，存在着某个充分大的x4，使得对所有的x≥x4，有

接下来令ρ→1以及利用ε的任意性，即有

至于I93，我们有

在最后一步中我们利用了（2.21）式和控制变尾族的基本性质。将（2.23）式应用于I10，结合F∈D和B∈D后可知

最后再加上ε的任意性就可推出引理2.7中的渐近上界成立。引理2.7证毕。

接下来我们开始证明定理2.4。

定理2.4的证明显然，带副索赔的风险模型（2.16）等价于

因此我们可以得到

进而可得

因此结合引理2.7就可得到

这样就得到了定理2.4中的渐近上界。

接下来我们证明渐近下界成立。对充分小的0＜ℓ＜1，

这就意味着

由此再结合（2.25）式即知定理2.4中的渐近下界成立。定理2.4证毕。

注2.6 本节的主要结果及证明源自Fu，Qiu和Wang（2015）。

带副索赔的重尾时依更新风险模型破产概率的渐近估计

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