带随机投资收益的重尾时依更新风险模型破产概率的渐近估计

2023-07-06 理论教育版权反馈

【摘要】：不失一般性，我们假设在0时刻其值为1，因此，到时刻t（≥0），保险公司的盈余过程可表示为：Tang等在F∈R以及｛L；t≥0｝与｛Xk；k≥1｝，｛θk；k≥1｝相互独立的条件下，建立了模型（2.1）的破产概率的渐近估计。在索赔额｛Xk；k≥1｝与索赔发生时间间隔｛θk；k≥1｝具有一定相依结构的条件下，给出本节的主要结论。

由于股票投资收益的随机性，从而导致包含股票投资的随机（风险）投资收益具有急升骤降的特点，因而不能用连续几何布朗运动去描述其运动轨迹，而Lévy过程却恰好满足这些特点。因此，我们选择用一广义的Lévy过程去描述风险投资收益，这一假设已被广泛应用于金融数学和精算科学（参见Emmer和Klüppelberg（2004），Emmer等（2001），Heyde和Wang（2009），Paulsen（2008）以及Paulsen和Gjessing（1997）等文献）。

令｛L（t）；t≥0｝为一Lévy过程，这也就是说L（0）=0，L（t）具有独立平稳增量，几乎处处右连续并存在左极限。一般的Lévy过程｛L（t）；t≥0｝，对每个t≥0，L（t）都有一个无穷可分分布且特征函数为E（eiuL（t））=e-tΦL（u），其中特征指数ΦL（·）具有如下的Lévy-Khintchine表示：

显然，øL（z）是一关于z的凸函数，更多关于Lévy过程的理论性质可见Applebaum（2004），Cont和Tankov（2004）和Sato（1999）。

在本节中随机投资收益过程采用几何Lévy过程（又称指数Lévy过程）｛eL（t）；t≥0｝描述。不失一般性，我们假设在0时刻其值为1，因此，到时刻t（≥0），保险公司的盈余过程可表示为：

Tang等（2010）在F∈R以及｛L（t）；t≥0｝与｛Xk；k≥1｝，｛θk；k≥1｝相互独立的条件下，建立了模型（2.1）的破产概率的渐近估计。

定理2.1 对风险模型（2.1），如果索赔额｛Xk；k≥1｝为一i.i.d.的非负随机变量序列，共同分布F∈R-α（0＜α＜∞）；Lévy过程｛L（t）；t≥0｝的Laplace指数对某个α*（＞α）满足ø（α*）＜0且｛L（t）；t≥0｝与｛Xk；k≥1｝，｛θk；k≥1｝相互独立，那么对每个满足P（τ1≤T）＞0的T＞0都有

由于索赔额与索赔发生时间间隔之间的独立性假设在保险中不大现实，许多学者提出了各种放宽索赔额与索赔发生时间间隔的独立性假设的非标准更新风险模型，如Albrecher和Boxma（2004，2005），Albrecher和Teugels（2006），Biard等（2008），Asimit和Badescu（2010）等等。目前使用最频繁的是Asimit和Badescu（2010）提出的｛（Xk，θk）；k≥1｝是i.i.d的随机对序列且与具有相依分量的一般随机对（X，θ）同分布这一假设。我们也主要采用Asimit和Badescu（2010）提出并经Li等（2010）改进后的假设，具体形式如下。

假设A 一般随机对（X，θ）满足当x→∞时，

对所有t∈［0，∞）一致成立，其中h（·）：［0，∞）→（0，∞）是某个可测函数且。

当t不在θ的取值范围时，（2.2）式中的条件概率就看成无条件概率且h（t）=1，且显然有E h（θ）=1。Li等（2010）列举了一些常用的copula函数（诸如Ali-Mikhail-Haq copula函数，Farlie-Gumbel-Morgenstern copula函数以及Frank copula函数等），并说明它们都满足（2.2）式中的等价关系，从而说明（2.2）式定义了一类较为广泛的相依结构，而且还包含了部分正负相依结构。

在索赔额｛Xk；k≥1｝与索赔发生时间间隔｛θk；k≥1｝具有一定相依结构的条件下，给出本节的主要结论。

定理2.2 考虑更新风险模型（2.1），其中｛（Xk，θk）；k≥1｝是一i.i.d.的随机对序列，并与满足假设A的一般随机对（X，θ）同分布，F∈D且J-F＞0。假设Lévy过程｛L（t）；t≥0｝与｛（Xk，θk）；k≥1｝相互独立，且存在某个p＞J+F使其Laplace指数满足ø（p）＜0，那么对所有满足P（τ1≤T）＞0的0＜T≤∞，有

注2.1 假设A中的相依结构式是在给定索赔之间的等待时间的条件下，通过索赔额的条件尾概率来描述的，因此相关的时依风险模型其实应该是与等待时间相依的风险模型。显然，本节所得时依更新风险模型的渐近破产概率将Tang等（2010）和Li（2012）中对正则变尾族和广义正则变尾族的结果推广到了控制变尾族这一更大的重尾分布族，具有一定的理论意义。

由于当F∈C时LF=1，从而可以直接从定理2.1推得如下结论。

推论2.1 考虑更新风险模型（2.1），如果F∈C且，那么在定理2.1的假设条件下，对所有满足P（τ1≤T）＞0的0＜T≤∞，有