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2023-11-03
重尾分布及其子族的研究
【摘要】：在风险理论中，索赔额分布可分为两大类：一类是轻尾分布，另一类是重尾分布。满足（1.4）式的F构成了整个重尾分布族，一般将重尾分布全体记作K。对重尾分布族的研究历来已久，由于其在应用概率领域，特别是分枝过程、排队论及风险理论等领域的广泛应用，人们对其的研究也越来越热。由于重尾分布族过于宽泛，考虑到保险等领域的实际需要，引入一些重尾分布子族。图1-2清楚地给出了各重尾分布子族之间的关系。
在风险理论中，索赔额分布可分为两大类：一类是轻尾分布，另一类是重尾分布。由于重尾分布已经被越来越多的学者认为是非寿险中个体索赔额的标准分布，首先介绍几类重要的重尾分布族以及它们的基本性质。
设随机变量X的分布函数为F（x）=P（X≤x），-∞＜x＜∞，其尾分布函数为
。我们约定对一切实数x，均有¯F（x）＞0。
定义1.2 如果随机变量X（其分布函数为F（x））不存在指数阶矩，即对任意的s＞0，若
则称随机变量X或分布函数F是重尾的；如果存在某个s＞0使得EesX有限，则称随机变量X或分布函数F是轻尾的。
满足（1.4）式的F构成了整个重尾分布族，一般将重尾分布全体记作K。根据定义1.2，如果随机变量X的期望不存在，那其自然是重尾的，因此一般考虑期望存在的情况。对重尾分布族的研究历来已久，由于其在应用概率领域，特别是分枝过程、排队论及风险理论等领域的广泛应用，人们对其的研究也越来越热。
由于重尾分布族过于宽泛，考虑到保险等领域的实际需要，引入一些重尾分布子族。如无特殊说明，均假设随机变量非负（即考虑支撑在［0，∞）上的分布）。下面就介绍一些重要的重尾分布子族，它们在后续章节中经常会被用到。
（1）
族：对任意的y，有
则称分布函数F属于长尾分布族，记作
。
（2）D族：对任意的0＜y＜1（或等价地y=1/2），有
则称分布函数F属于控制变尾分布族，记作F∈D。
（3）S族：对任意的n≥2（或等价地n=2），有
=1-Fn*（x），Fn*（x）表示F的n重卷积，则称分布函数F属于次指数分布族，记作F∈S。
其中
（4）C族：如果
则称分布函数F属于一致变尾分布族，记作F∈C。
（5）ERV族：如果存在0≤α≤β＜∞，对任意的y＞1，有
则称分布函数F是广义正则变尾分布，记作F∈ERV（-α，-β）。广义正则变尾族ERV是所有的ERV（-α，-β）（0≤α≤β＜∞）的并集。
（6）R族：如果存在α≥0使得对所有的y＞0，有
则称分布函数F是正则变尾分布，记作F∈R-α；R-α族包含了很多常用的分布，比如Pareto分布，Burr分布和t分布等。正则变尾族R是所有的R-α（0≤α＜∞）的并集。
对于上述提到的重尾分布子族，有如下的包含关系：
(1)R⊂ERV⊂C⊂
∩D⊂S⊂
⊂K；
(2)D⊄S，S⊄D。
关于这些包含关系的证明可以参考Embrechts等（1997）以及Cai和Tang（2004）。Cline和Sa morodnitsky（1994）构造了一些例子来说明C族严格包含ERV族且严格包含于D族；Embrechts等（1997）给出了Peter-Paul分布并说明它属于D族但不属于
族。图1-2清楚地给出了各重尾分布子族之间的关系。
图1-2 重尾子族关系表
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2023-11-03
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