保险风险模型：索赔额与时间间隔相依关系

2023-07-06 理论教育版权反馈

【摘要】：基本的保险风险模型研究源于1903年瑞典精算师Filip Lundberg的博士论文，但直到1955年，以Haral d Cra mér为首的瑞典学派才将Lundber g的工作奠定在坚实的数学基础之上，从而得到了我们熟知的Cra mér-Lundber g风险模型。如果上述条件中索赔发生的时间间隔是一列i.i.d.的非负随机变量序列且具有有限均值，那么模型（1.1）就是标准更新风险模型。因此，本书重点讨论索赔额与索赔发生时间间隔具有一定相依关系的风险模型。

基本的保险风险模型研究源于1903年瑞典精算师Filip Lundberg的博士论文，但直到1955年，以Haral d Cra mér为首的瑞典学派才将Lundber g的工作奠定在坚实的数学基础之上，从而得到了我们熟知的Cra mér-Lundber g风险模型。

设保险公司在时刻t（≥0）的盈余可表示为

其中x是保险公司的初始资本，c是保费收入率（其往往还需要满足一定的安全负荷条件），｛Xk；k≥1｝是索赔额序列，N（t）表示到时刻t时发生的索赔次数。如果模型（1.1）满足如下四个条件：

（1）索赔额｛Xk；k≥1｝是一列独立同分布（i.i.d.）的随机变量序列，具有共同的非格点分布函数F以及有限均值；

（2）索赔发生在随机时刻0＜τ1＜τ2＜…a.s.；

（3）到时刻t的索赔次数为N（t）=sup｛n≥1：τn≤t｝，其中索赔发生的时间间隔θ1=τ1，θk=τk-τk-1，k≥2，是一列i.i.d.的随机变量序列且服从参数为λ的指数分布；

（4）索赔额｛Xk；k≥1｝与索赔发生时间间隔｛θk；k≥1｝相互独立；

则称其为Cra mér-Lundber g风险模型。

如果上述条件中索赔发生的时间间隔是一列i.i.d.的非负随机变量序列且具有有限均值，那么模型（1.1）就是标准更新风险模型。标准更新风险模型也称Sparre-Andersen风险模型，它是Cramér-Lundber g风险模型的一般化，由Andersen（1957）提出并建立。

在Cramér-Lundber g风险模型中，计数过程｛N（t），t≥0｝是一个强度为λ的齐次Poisson过程，即N（0）=0，N（t）具有独立增量且对任意的s，t≥0，

在更新风险模型中的计数过程｛N（t），t≥0｝通常称为更新过程，即将Poisson过程做以下推广：保留索赔发生的时间间隔序列的独立性和同分布性，但允许分布可以任意，而不必局限为指数分布。在上述两个风险模型中，人们通常假设索赔额｛Xk；k≥1｝与索赔发生时间间隔｛θk；k≥1｝之间是相互独立的，这是为了在数学上更容易处理。但是，这个假设在保险实务中是非常不现实的，例如保险公司（车险）规定上一年过多的索赔将导致下一年保费折扣降低，那么很多小额索赔可能不会报告给保险公司，从而使得下一次索赔发生的时间滞后了。这就说明，索赔额大小与索赔发生时间间隔之间是存在着一定的相依关系的。因此，本书重点讨论索赔额与索赔发生时间间隔具有一定相依关系的风险模型。由于保险公司在运作中还可能遇到其他各种各样的问题，所以往往还需要对风险模型添加各种附加条件，以使得模型更接近保险公司的实际运作情况，这就使得对于破产理论的研究更加富有挑战性。

保险风险模型：索赔额与时间间隔相依关系

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