在大型有限元软件中应用约束方程往往是需要在整体坐标系下的。这就需要把跨尺度界面在局部坐标系下建立的节点位移约束方程通过坐标转换矩阵转换到整体坐标系下，以方便在大型有限元软件中应用。同梁单元从局部坐标系转换到整体坐标系的方法类似，首先有坐标转换矩阵如下：其中lx′X，lx′Y，lx′Z是局部坐标系x′轴对整体坐标系X，Y，Z轴的三个方向余弦。......
2023-08-26
方向余弦及坐标系转换矩阵的优势
【摘要】：线性代数中如何对同一向量在不同坐标系进行描述？很容易得到从NED坐标系到机体坐标系的坐标变换矩阵：很容易证明正交矩阵的乘积依然是正交矩阵，因此RB/N同样是正交矩阵，这意味着从机体坐标系到NED坐标系是T1的逆，对应是RB/N的逆矩阵，读者在这里一定会欣喜若狂，因为正交矩阵在计算中最优秀的品质就是它的逆等于转置，所以在任何硬件中都很容易求得这个逆变换：RN/B=RB/N-1=RTB/N。
实现从NED坐标系到机体坐标系的数据变换有什么意义呢？无人机的旋转运动相对于无人机自身是没有任何意义的，只有相对于地面才有意义。因此我们需要用坐标系间的相对变化描述旋转运动，具体到无人机系统就是NED坐标系和机体坐标系。但如何来描述坐标系间的旋转呢？（请思考问题：坐标系对应线性代数的哪些知识？线性代数中如何对同一向量在不同坐标系进行描述？）
读者可以联系线性代数中的基础知识——线性变换来理解。坐标系间的数据转换本质上就是同一向量在不同基下的描述，这些基彼此之间可以通过线性变换获得，而矩阵就是进行线性变换的专门工具。
图6.10 欧拉角描述旋转运动 （图片来源：参考文献[3]）
可以把无人机任意一次旋转按次序拆分为三个部分：绕Zb轴的偏航运动，绕Yb轴的俯仰运动，绕Xb轴的横滚运动。每一次运动用一个旋转矩阵来描述就成了下面的形式：
请读者注意，这三个矩阵都是斜对称阵，喜欢数学的朋友可以自行思考，肯定可以挖掘出很多有趣的内容。此处需要读者记住的是斜对称阵的特征向量两两相互独立，且上面这三个斜对称阵中包含的正交向量都是单位向量。也正因为这样，我们可以通过这几个斜对称阵来进行基变换（T1）。
很容易得到从NED坐标系到机体坐标系的坐标变换矩阵（方向余弦矩阵）：
很容易证明正交矩阵的乘积依然是正交矩阵，因此RB/N同样是正交矩阵，这意味着从机体坐标系到NED坐标系是T1的逆，对应是RB/N的逆矩阵，读者在这里一定会欣喜若狂，因为正交矩阵在计算中最优秀的品质就是它的逆等于转置，所以在任何硬件中都很容易求得这个逆变换：RN/B=RB/N-1=RTB/N。
当我们有了这些旋转矩阵后能用它们做些什么？这个问题会在后面无人机控制的相关内容中进行讲解，但不妨在此处记下这样一个问题，以提醒我们当遇到任何一个理论、技术、知识时都要思考一下“它对我有什么意义？我该如何使用它？在实际系统中需要注意什么？”
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