在实际进行3S/2S变换时，也可以按照式（7-6）的形式进行计算，不会影响变换结果，即根据式可求出反变换即2S/3S变换的变换矩阵在实际进行2S/3S变换时，也可以写成图7-3两相静止和旋转坐标系的磁通势空间矢量2.2S/2R变换从两相静止坐标系αβ到旋转坐标系MT之间的等效变换称为2S/2R变换，其中S表示静止，R表示旋转。其中αβ坐标系是静止的，MT坐标系以角速度ω1旋转，M轴与α轴之间的夹角φ随时间变化。......
2025-09-29
方向余弦及坐标系转换矩阵的优势
【摘要】：线性代数中如何对同一向量在不同坐标系进行描述？很容易得到从NED坐标系到机体坐标系的坐标变换矩阵：很容易证明正交矩阵的乘积依然是正交矩阵，因此RB/N同样是正交矩阵，这意味着从机体坐标系到NED坐标系是T1的逆，对应是RB/N的逆矩阵，读者在这里一定会欣喜若狂，因为正交矩阵在计算中最优秀的品质就是它的逆等于转置，所以在任何硬件中都很容易求得这个逆变换：RN/B=RB/N-1=RTB/N。
实现从NED坐标系到机体坐标系的数据变换有什么意义呢？无人机的旋转运动相对于无人机自身是没有任何意义的，只有相对于地面才有意义。因此我们需要用坐标系间的相对变化描述旋转运动，具体到无人机系统就是NED坐标系和机体坐标系。但如何来描述坐标系间的旋转呢？（请思考问题：坐标系对应线性代数的哪些知识？线性代数中如何对同一向量在不同坐标系进行描述？）
读者可以联系线性代数中的基础知识——线性变换来理解。坐标系间的数据转换本质上就是同一向量在不同基下的描述，这些基彼此之间可以通过线性变换获得，而矩阵就是进行线性变换的专门工具。
图6.10 欧拉角描述旋转运动 （图片来源：参考文献[3]）
可以把无人机任意一次旋转按次序拆分为三个部分：绕Zb轴的偏航运动，绕Yb轴的俯仰运动，绕Xb轴的横滚运动。每一次运动用一个旋转矩阵来描述就成了下面的形式：
(https://www.chuimin.cn)
请读者注意，这三个矩阵都是斜对称阵，喜欢数学的朋友可以自行思考，肯定可以挖掘出很多有趣的内容。此处需要读者记住的是斜对称阵的特征向量两两相互独立，且上面这三个斜对称阵中包含的正交向量都是单位向量。也正因为这样，我们可以通过这几个斜对称阵来进行基变换（T1）。
很容易得到从NED坐标系到机体坐标系的坐标变换矩阵（方向余弦矩阵）：
很容易证明正交矩阵的乘积依然是正交矩阵，因此RB/N同样是正交矩阵，这意味着从机体坐标系到NED坐标系是T1的逆，对应是RB/N的逆矩阵，读者在这里一定会欣喜若狂，因为正交矩阵在计算中最优秀的品质就是它的逆等于转置，所以在任何硬件中都很容易求得这个逆变换：RN/B=RB/N-1=RTB/N。
当我们有了这些旋转矩阵后能用它们做些什么？这个问题会在后面无人机控制的相关内容中进行讲解，但不妨在此处记下这样一个问题，以提醒我们当遇到任何一个理论、技术、知识时都要思考一下“它对我有什么意义？我该如何使用它？在实际系统中需要注意什么？”
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