中心对称的平面几何问题：矩形面积与四边形面积求解

2023-07-03 理论教育版权反馈

【摘要】：请说明理由．若矩形ABCD面积为6，求四边形BDEG的面积．（第9题）10．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称……

1．把一个图形绕着某个点旋转_________，如果它能够与另一个图形_________________，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做_________________．

2．中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过_________，而且被________所平分；中心对称的两个图形是_________．

1．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（）．

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

2．关于某一点成中心对称的两个图形，下列说法中正确的有（）．

①这两个图形完全重合；②对称点的连线互相平行；③对称点所连的线段相等；④对称点的连线相交于一点；⑤对称点所连的线段被同一点平分；⑥对应线段互相平行或在同一直线上，且一定相等．

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

3．如图，点O是▱ABCD的对称中心，EF是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成两部分，四边形ABFE和四边形EFCD的面积分别记为S1，S2，那么S1，S2之间的关系为（）．

A．S1＞S2 B．S1＜S2

C．S1＝S2 D．无法确定

（第3题）

4．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（）．

A．∠ABC＝∠A′C′B′ B．OA＝OA′

C．BC＝B′C′ D．OC＝OC′

（第4题）

（第5题）

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（）．

A．（0，0） B．（－1，0）

C．（－1，－1） D．（0，－1）

6．如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是6，AB＝6，则△DOC中CD边上的高是________．

（第6题）

7．如图，已知AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是_________．

（第7题）

8．如图，已知四边形ABCD和点P，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于点P成中心对称．

（第8题）

9．如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称．

（1）四边形BDEG是菱形吗？请说明理由．

（2）若矩形ABCD面积为6，求四边形BDEG的面积．

（第9题）

10．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称……如此作下去，则△B2 018A2 019B2 019的顶点A2 019的坐标是________．

（第10题）

11．如图所示，△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示，设每个小正方形的边长为1．

（1）画出△ABC绕点O旋转180°后的图形；

（2）设点A的对应点为点D，B的对应点为点E，C的对应点为点F，则四边形ACDF的面积________．

（第11题）

12．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

（1）如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．

［感悟］解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．

（2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．

求证：BE＋CF＞EF，若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．

（第12题）