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2023-06-23
多目标优化的基本原理详解
【摘要】：“min／max”表明目标函数可以为最大化或者最小化。与单目标优化问题相比，多目标优化问题更加复杂。在具有多个目标函数的优化问题中，通常存在有一组无法进行相互比较的解，而不存在唯一最优解，因此多目标优化问题的最优解是一组折中解，称为非支配解或Pareto最优解。图9-2非支配解及Pareto前沿3）偏好结构多目标优化问题的求解中通常存在一组无法进行相互比较的解，取这组解中符合决策者偏好的最优解为最终决策结果。
1）多目标优化问题
单目标优化问题可表示为
式中，x∈Rn表示具有n个决策变量的向量，f（x）为目标函数，gi（x）为约束条件，由目标函数和约束条件就构成了可行解区域。“min／max”表明目标函数可以为最大化或者最小化。为方便统一，本节讨论问题都是最小化目标问题。在决策空间中，可行区域通常用S来表示：
多目标问题通常表述为
多目标优化问题需要在决策空间和判据空间中用图像表示，其中决策空间中的可行区域用S表示，判据空间中的可行区域用Z表示：
式中，z∈Rq表示具有q个目标函数的向量。Z表示S中点的像的集合，因此S限制为Rn上的非负象限，而Z却没有限制。
与单目标优化问题相比，多目标优化问题更加复杂。当问题具有单个目标函数时，优化目标是找寻最优解，最优解要优于其他所有的解。当问题具有多个目标函数时，如果问题中的多个目标函数彼此不矛盾，显然可以通过单目标优化方法找到唯一的最优解满足各目标函数都达到最优。而优化问题中的各目标之间往往无法通过统一标准进行比较，甚至彼此矛盾，所以在各目标函数都取最优的解不一定存在，本节所研究问题模型中的目标函数即是彼此矛盾冲突的。
2）多目标优化问题解的概念
多目标优化问题与单目标优化问题之间差异较大。单目标优化问题具有确定的唯一最优解。在具有多个目标函数的优化问题中，通常存在有一组无法进行相互比较的解，而不存在唯一最优解，因此多目标优化问题的最优解是一组折中解，称为非支配解或Pareto最优解。在此给出多目标优化问题中的重要概念Pareto支配及相应多目标优化解的概念。
定义1.1：（Pareto支配）称向量u=（u 1，…，u k）支配向量v=（v 1，…，v k），当且仅当∀i∈｛1，…，k｝，u i≤v i且存在j∈｛1，…，k｝，使得ui＜v i成立。
由以上定义可得：
定义1.2：（Pareto最优解）称决策变量x*∈S⊂Rn为Pareto最优解，当且仅当不存在另一个决策变量x∈S使得F（x）支配F（x*），即F（x）≺F（x*）。
由Pareto最优解构成Pareto最优解集P*，F（P*）=｛F｜x∈P*｝为多目标问题的Pareto前沿，如图9-2所示。
图9-2 非支配解及Pareto前沿
3）偏好结构
多目标优化问题的求解中通常存在一组无法进行相互比较的解，取这组解中符合决策者偏好的最优解为最终决策结果。偏好定义为依据决策者对目标重要性判断对非支配解的排序结果，可以是对某一目标的侧重或是所有目标的妥协。决策的过程即为根据决策者的给定偏好将非支配解进行排序操作，获得最终解也称最优妥协解。
对于解u和v，两者之间的偏好关系可以用一组关系来表示：
（1）u优于v，则称对u的偏好比v大，记为u≻v。
（2）v优于u，则称对v的偏好比u大，记为u≺v。
（3）u与v相等，则称u与v具有同等偏好，记为u～v。
（4）两者之间偏好未定义，记为u？v。
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