平面不可压缩势流的迭加运算

2023-06-29 理论教育版权反馈

【摘要】：+φn的特性，即在平面不可压缩势流中流线函数与速度势函数的可迭加特性。实际上，偶极流本身并无太大的物理及工程实际意义，但它与某些基本的平面不可压缩势流迭加后，可以进一步地利用迭加运算法得到重大实际意义的平面不可压缩位势流的流动解。

前面介绍了几种简单的平面不可压缩势流（平面理想流体的流动），重要的不只是它们能代表怎样的实际流动，而在于它们是多数复杂平面不可压缩势流迭加运算中所需的基本组成流动，如果将这几种基本流动组合在一起，就能够形成许多有重要意义的复杂流动，这样就无须耗费巨大的费用去实验，就能模拟流体的流动情况并获得某些流动规律，有利于某些流体现象的初步研究。这里以均匀等速流、源流和汇流以及势涡流基本流动为例，叙述如何利用平面不可压缩势流的迭加运算来获得流体流动规律。

8.4.1 迭加运算的原理

如前所述，平面不可压缩势流在流动时流线函数φ和速度势函数Φ同时存在并满足拉普拉斯方程，也就是φ和Φ是满足∇2φ=0与∇2φ=0的调和函数。拉普拉斯方程是线性齐次方程，方程解具备可以迭加的特性，也就是流线函数或速度势函数的线性组合仍然能够满足拉普拉斯方程，即满足式中 φ1、 φ2、 φ3、 …、φn和Φ1、Φ2、Φ3、 … 、Φn分别是简单平面不可压缩势流的流线函数与速度势函数解，而φ和Φ分别是流线函数与速度势函数的组合解，因此平面不可压缩势流具有 φ= φ1+φ2+φ3+…+φn和 φ= φ1+φ2+φ3+…+φn的特性，即在平面不可压缩势流中流线函数与速度势函数的可迭加特性。在流体力学或空气动力学的问题研究中，利用这一特性将某些基本或者已知的平面不可压缩势流的流线函数或者速度势函数的解组合成复杂平面不可压缩势流的流线函数或者速度势函数的解，再利用第7章介绍的求解流体流速方法得出速度解并利用伯努利公式找出压力解，从而获得流动规律，大幅降低求解过程的难度。

8.4.2 问题研究的运算过程

一般而言，问题研究的过程大抵可分成四个步骤，说明如下。

1．找出组合流动的流线函数和速度势函数

平面不可压缩势流可按迭加运算原理将某些基本或者是已知组成流动的流线函数（φ1、 φ2、 φ3、 … 、φn）和速度势函数（Φ1、 Φ2、 Φ3、 … 、Φn）组合成研究问题的流线函数φ和速度势函数Φ，从而进一步求解较为复杂的流动规律。

2．找出组合流动的速度分量

利用第 7 章介绍的求解流体流速方法，从满足平面不可压缩流的判定式∇·V→=0中找出速度分量与流线函数之间的关系式或从满足的条件找出速度分量与速度势函数之间的关系式，进而获得要研究的流速表达式。

3．找出组合流动的压力或压力分布情况

从步骤2得到的流速表达式求出流速，再利用伯努利方程获得流体流动的压力或压力分布情况。

4．找出组合流动的运动规律

在平面不可压缩流动问题研究中，只要探讨流体在流场内的流速与压力变化，就可获得流体流动规律。

一般可视问题或研究需要，选择第1～2步或全部步骤依序执行。

8.4.3 均匀等速流与源流的迭加运算

均匀等速流与源流的迭加相当于均匀等速流绕着半无限体的流动，这种类型的迭加运算在工程研究上的推广，就是采用很多不同强度的源流，沿x轴排列，使它和匀速直线流迭加，形成和实际物体轮廓线完全一致或较为吻合的边界流线。这样无须费用巨大的实验，就能初步地估计均匀流体流经物体上游端，例如流经桥墩或门墩的前半部的水流速度和压力分布。

1．组合流动之流线函数与速度势函数的计算与获得

pagenumber_ebook=194,pagenumber_book=187

图8-8 均匀等速流与源流迭加后形成的流动

2．组合流动之流速的计算与获得

pagenumber_ebook=194,pagenumber_book=187

3．驻点位置的获得

pagenumber_ebook=194,pagenumber_book=187

8.4.4 环流与汇流的迭加运算

环流（势涡流）与汇流迭加组成的平面不可压缩势流称为螺旋流（Spiral flow），在旋风燃烧室、离心式喷油嘴和离心式除尘器等设备中，流体自外沿着圆周切向进入，又从中央不断流出，这样的流体流动就类似于环流与汇流的迭加。

1．组合流动之流线函数与速度势函数的计算

假设环流以速度环流量Γ逆时针方向旋转，而汇流以汇流强度q从四周沿着径向方向朝