流线函数和速度势函数的可迭加性

2023-06-29 理论教育版权反馈

【摘要】：试述调和函数的定义、特性及应用。调和函数的意义。调和函数的特性。工程数学或高等数学发现，如果一个函数u(x,y)为调和函数，则该函数具备“可迭加”的特性。证明如果流体为x-y平面理想流体，流体在流动时的流线函数φ为调和函数，则函数具有迭加性。

理论研究证明，在流体的流动过程中平面理想流体的流线函数φ和速度势函数Φ会满足拉普拉斯方程式（Laplace equation），也就是满足∇2φ=0与∇2Φ=0形式的方程式。在工程数学或高等数学中发现，凡是能够满足拉普拉斯方程式的函数称为调和函数（Harmonic function），其函数具备“可迭加”的特性，所以可以推知“如果流体为平面理想流体，在流动的过程中，流线函数φ和速度势函数Φ两者具备迭加的特性，也就是具有可迭加特性”。基于流线函数和速度势函数的迭加特性，在研究平面理想流体时，可以将复杂的流线函数或速度势函数用简单且已知的函数予以迭加来表示，然后由其求出速度表达式或者流场内各点的速度，进而求出流场内各点的压力，然后由各点的速度及压力两个运动参数的变化获得流体流动的运动规律。流线函数和速度势函数的迭加性概念和方法使得原本需要多个联立方程式，甚至需要计算机演算才能获得平面理想流体流动速度的求解过程转变为只需使用流线函数φ和速度势函数Φ与流动流体速度关系计算式的人工求解，这样使得求解过程的难度获得大幅降低。

【例8-2】

试述调和函数的定义、特性及应用。

【解答】

（1）调和函数的意义。如果一个具有连续性的函数u(x,y)，能够满足拉普拉斯方程∇ 2 u=0，则该函数为调和函数。

（2）调和函数的特性。工程数学或高等数学发现，如果一个函数u(x,y)为调和函数，则该函数具备“可迭加”的特性。

（3）调和函数的应用。调和函数的概念可推广于高维空间的物理特性运算，一般常用于工程数学、流体力学、空气动力学、弹性力学、电磁学以及热传学等方面的计算。

【例8-3】

证明如果流体为x-y平面理想流体，流体在流动时的流线函数φ为调和函数，则函数具有迭加性。

【解答】

（4）根据调和函数的定义与特性，凡是满足拉普拉斯方程的函数即为调和函数，即具有可迭加的特性，因此可证，如果流体为x-y平面理想流体，流体在流动时的流线函数φ为调和函数，且具有迭加性。

【例8-4】

证明如果流体为x-y平面理想流体，流体在流动时的速度势函数Φ为调和函数，因而其具有迭加性。