试述调和函数的定义、特性及应用。调和函数的意义。调和函数的特性。工程数学或高等数学发现，如果一个函数u(x,y)为调和函数，则该函数具备“可迭加”的特性。证明如果流体为x-y平面理想流体，流体在流动时的流线函数φ为调和函数，则函数具有迭加性。......
2023-06-29
流线函数和速度势函数：基本概念与应用
【摘要】：虽然流线函数以及速度势函数的基本概念与计算，已经在第7章中说明，但是为了考虑本章内容的连贯性，在此以x-y平面理想流体流场为例做重点的描述及说明。流线函数φ和速度势函数Φ同时存在的判定方程式是什么？
虽然流线函数以及速度势函数的基本概念与计算，已经在第7章中说明，但是为了考虑本章内容的连贯性，在此以x-y平面理想流体流场为例做重点的描述及说明。
8.1.1 理想流体的定义
所谓理想流体的假设是指流体在流动的过程同时满足不可压缩流与非黏性流或者无旋流或位势流的条件，它假设流体流动时，密度ρ变化与黏度μ均为0，因此理想流体流动又称为不可压缩非黏性流、不可压缩无旋流或者不可压缩势流。理想流体是一种假想的流体，因为任何流体的流动实际上都具有黏性，虽然使用“理想流体”的假设可以大幅地简化流体流动问题计算或求解的难度，但仅能解决某些低速流动问题，而且使用理想流体假设及其衍生的数学模型方程组去处理流体流动问题可能会影响计算的精确度，甚至计算结果可能会与实际现象相违背，例如达朗贝尔悖论就是使用理想流体与实测结果产生矛盾最有名的实例。但是不可否认，理想流体的假设对早期的流体力学理论发展运动规律的研究占有极为重要以及不可磨灭的作用。研究者仍然会使用理想流体假设及其衍生的数学模型方程组去处理某些简单以及精度要求不高的工程流动计算问题，并寻找流体流动规律。
8.1.2 流线函数的存在条件与计算
对于一个x-y平面不可压缩流体流动过程，也即流动满足
=0的判定方程式，流线函数φ必定存在，且对于一个x-y平面不可压缩流场，流线函数φ与流体在x轴方向和y轴方向的速度分量u和v的关系方程式分别是
与
。
8.1.3 速度势函数的存在条件与计算
对于无旋流体流动过程，也即流动满足
的判定方程式，速度势函数Φ必定存在，且对于一个x-y平面非旋性流体流场，速度势函数Φ与流体在x轴方向和y轴方向的速度分量u和v的关系方程式分别是
。
8.1.4 流线函数与速度势函数同时存在的条件
如前所述，流线函数φ必须在二维不可压缩流场的条件下才能够存在，而速度势函数Φ必须在无旋流场的条件下才能够存在，所以流线函数φ和速度势函数Φ必须在二维不可压缩的无旋流场才能够同时存在。如同第7章的内容证明，如果流线函数φ和速度势函数Φ同时存在，则流线函数和速度势函数两者彼此正交。
【例8-1】
流线函数φ和速度势函数Φ同时存在的判定方程式是什么？
【解答】
流体必须为平面理想流体流动时，流线函数φ和速度势函数Φ才能够同时存在，所以流体流动过程必须同时满足
=0和
= 0的条件，所以
和
为流线函数φ和速度势函数Φ同时存在的判定方程式。
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