超声速管流的加减速特性介绍

低速流体在管道内流动时，流体流经管道截面的流速与管道截面面积成反比，此现象对于高亚声速气流仍然适用，但是对于超声速气流，流经管道截面的气流流速随着管道截面面积变化的规律与亚声速气流截然不同。这导致亚声速气流管道与超声速气流管道的设计有极大的差异，例如飞机发动机喷管的设计。

5.4.1 喷管面积法则

超声速气流与亚声速气流在管道内的流速随着管道截面面积变化的规律，两者在本质上截然不同，关于这种现象可以用喷管面积法则（Nozzle area rule）加以说明。

1．公式推导

对于低速气体流经管道的问题，稳态流动必须满足体积流率守恒方程，也就是Q=AV= constant ，式中A与V分别代表管道的截面面积与气流的平均流速，因此可以得出低速流体在管道内流动时，流体流速与截面面积成反比，但是这是不考虑气体压缩性的结果。气体实际上具有压缩性，如果考虑压缩性，对于气体流经管道的问题，气体的稳态流动必须满足质量流率守恒方程，也就是=ρAV，式中、ρ、A与V分别代表气流的质量流率、气体密度、管道的截面面积与气流的平均流速。在研究稳态一维的气体流经管道问题时，首先将质量流率守恒方程与伯努利方程分别微分就得到稳态一维的质量守恒微分方程与动量守恒微分方程dP +ρVdV=0。再加上声速a的数学定义能够得到此关系式即称为喷管面积法则。

2．物理定义

喷管面积法则是稳态一维气流流经管道时，截面面积的变化量与流速的变化量和马赫数之间的通用关系式。如果气流为亚声速，是负值。因此当气体流经管道，管道的截面面积变大会造成管内气体的流速降低。反之，管道的截面面积变小会造成管内气体的流速增加。如果气流的流速为超声速，也就是气体的流速高于声速，即是正值。因此当气体流经管道，管道的截面面积变大会造成管内气体的流速增加。反之，管道的截面积变小会造成管内气体的流速减小，这与低速管流的流动规律相反，如图5-30所示。

图5-30 气体流经管道時流速随面积变化

5.4.2 超声速气流管道的设计

从喷管面积法则可以看出，气体流经管道产生超声速气流的必要条件之一是管道的截面必须先收缩后扩张。这就是要产生亚声速气流，发动机的喷管必须使用渐缩喷管（Converging nozzle），而要产生超声速气流，发动机的喷管必须使用收敛-扩张型喷管（Convergeingdiverging nozzle，或称细腰喷管或者拉伐尔喷管）的原因，两种喷管如图5-31所示。

从图5-31中可以看出，在细腰喷管中，亚声速流（Ma＜1.0）必定发生在收缩段中，超声速气流（Ma＞ 1.0）只能出现在扩张段中，而声速气流（Ma= 1.0）则出现在最窄的截面处，称之为喷管喉道（Nozzle throat）。此外还发现，细腰喷管中喉道气流到达声速后，气流质量流率会被局限在声速时的质量流率，也就是喷管喉部的气流超过声速后，气流的质量流率将会保持相同，并维持在最大值，这种现象称为阻塞条件（Choked condition）。

图5-31 渐缩喷管与收敛-扩张型喷管

【例5-11】

试证明，并探讨马赫数Ma对气体的压缩性的关系。

【解答】

（1）公式证明：

① 根据稳态一维的动量守恒微分方程dP +ρVdV=0，可以得到dP =-ρ Vd V ，从而得到。

② 因为声速的数学定义代入中，因此可以得到。

③ 故得证。

（2）从中，可以看出，速度相对变化量dV/V一定时，密度的相对变化量dρ/ρ取决于Ma的大小，当Ma很小时，dρ/ρ接近0，反之，Ma较大，dρ/ρ不能够被忽略。一般而言，气流的马赫数小于0.3，dρ/ρ的量忽略不计，也就是把气体的密度视为一个常数（即 ρ= constant），即不可压缩流体的假设。

【例5-12】

试叙述当气体流经管道时，亚声速流与超声速流在管道内的流速与压力随着管道截面面积变化的规律。

【解答】

从喷管面积法则与稳态一维的动量守恒微分方程式dP +ρVdV=0⇒dp =-ρ Vd V 中可以得到

（1）当气体流经管道时，如果气流为亚声速流，管道截面面积变大会造成管内气体流速降低与压力升高。反之，管道的截面面积变小时会造成管内气体的流速增加与压力降低。

（2）当气体流经管道时，如果气流为超声速流，管道的截面面积变大会造成管内气体的增加与压力降低。反之，管道的截面面积变小会造成管内气体的流速减小与压力升高。

5.4.3 超声速喷管内的流动性质变化

要使管道内的气流达到超声速，必须使用收敛-扩张型喷管。工程上，收敛-扩张型喷管在超声速和超高声速风洞以及超声速飞机、火箭的发动机中得到广泛应用。根据喷管面积法则、动量守恒微分方程、理想气体方程以及阻塞现象可以推知，当收敛-扩张型喷管正常工作时，管道内流动的气体首先会在收敛段不断膨胀，气流的速度沿着气流的流向不断地增加，而压力、温度和密度不断地减小，至最小截面（喉道）处，速度达到声速，气体的质量流率因阻塞现象达到最大值；在扩散段，气流速度沿着气流流向进一步增加到超声速，而压力、温度和密度进一步减小直到与外界大气相同。温度、压力、速度和密度变化的情形如图5-32所示，至于亚声速喷管，也就是渐缩喷管内的流动性质变化，可以依照第3章与第4章的内容自行推导，在此不多论述。

图5-32 收敛-扩张型喷管在正常工作时的性质变化情形

【例5-13】

如图5-32 所示，如果收敛-扩张型喷管的气流在扩散段为超声速，喷口喉道处的马赫数为多少？

【解答】

根据喷管面积法则，如果收敛-扩张型喷管的气流在扩散段为超声速，在喷管喉道处的马赫数刚好为1.0。

5.4.4 气体在喷管内的流动状态与特点

由喷管面积法则可知，如果要使喷管出口处的气流不超过声速，必须使用渐缩喷管，而如果要使喷管出口处的气流达到超声速，则必须使用收敛-扩张型喷管。研究指出，气体在喷管内的流动状态主要由喷管内气体的总压 tP与喷管出口处压力 eP或喷管出口的外界压力 bP之间的关系来决定。

1．气体在喷管内的流动参数

工程应用中的喷管一般都比较短，可以将管内视为无黏绝热气体流动过程，也就是等熵流动过程，同时为了简化问题研究，通常使用平均速度的概念，并将其视为稳态一维的流动，因此对喷管气体流动状态的讨论可使用稳态一维等熵流动公式来研究。当然采用收敛-扩张型喷管产生超声速气流时，气体流动过程可能会有激波的出现。在不出现激波，或出现激波时的激波前后的流动区域都可视为等熵流动。在渐缩喷管出口处的最大流速为声速，也就是其马赫数为 1.0，而如果收敛-扩张型喷管内有超声速气体流动，则收敛-扩张型喷管喉道处，流动马赫数必须为1.0。所以研究喷管内气体的流动状态时，马赫数等于1.0的气体状态最为重要，称为临界状态。

（1）停滞参数的定义与计算。所谓气体的停滞参数（Stagnation parameter）是探讨气体在等熵过程中将动能全部转化为热能的参数，也就是研究将气体流动速度降到零时的状态参数，一般也常将停滞参数称为总参数（Total parameter）。有关停滞参数的讨论，重点通常放在气体等熵流动时，停滞压力 Pt、停滞温度Tt和停滞密度 ρt与气流的压力P、温度T和密度ρ以及气流的马赫数Ma之间的关系式；。由于等熵流动过程是假设气体流动并无能量的损耗，所以其总压 Pt和总温 Tt保持不变。

（2）临界状态参数的定义与计算。

不管是亚声速喷管（渐缩喷管）或者是超声速喷管（收敛-扩张型喷管）在马赫数等于 1.0时的气体状态都称为临界状态，而该状态对应的压力P、温度T和密度ρ称为临界压力、临界温度和临界密度，分别用符号 P*、 T*和 ρ*表示。因此将 Ma= 1.0代入描述气体等熵状态流动的关系式中即可以得到以及。对于空气而言，如果γ=1.4，则 P*=0.528 3Pt、T *= 0. 833 3Tt以及 ρ*= 0.633 9ρt。

2．亚声速喷管内气体的流动状态

渐缩喷管加速的最大界限是喷管出口处的速度达到声速，因此渐缩喷管主要用于亚声速范围，又称为亚声速喷管。如图5-33 所示渐缩喷管实验的示意图，渐缩喷管外接一个高压储气箱，里面气体停滞压力 Pt、停滞温度Tt和停滞密度 ρt。在此定义气体喷管出口处的压力与喷管出口后的外界压力分别为 Pe和 Pb，而马赫数Ma等于 1.0的出口压力为 P*。实验发现，气体压力在喷管出口处到达 P*之前，随着 Pe/Pt或 Pb/Pt的值变小，气体速度增加。

图5-33 渐缩喷管实验

研究指出，气体在渐缩喷管中的流动状态，可以分成亚声速流动状态与临界流动状态两种，如图5-34所示。

图5-34 渐缩喷管内流动状态类型

（1）参考压力的选取。如果要判定喷管内气体的流动状态，首先必须找出判定流动状态所需的参考压力值P参考，然后由气体在喷管出口处压力 Pe与总压 Pt的比值或者气体在喷管出口后的外界压力Pb与总压Pt的比值来决定气体在喷管内的流动状态。气体在渐缩喷管出口处的最大流速为声速，该状态的压力值即选择为参考压力值P参考，也就是气体在渐缩喷管流动时选取的参考压力值为临界流动状态压力 P*，并以 Pe/Pt或 Pb/Pt的值为判定依据。

（2）流动状态类型的区分与特点。研究指出，在渐缩喷管中的气流，可以分成亚声速流动与临界流动。

① 亚声速流动状态。如果喷管内气体流速均为亚声速，则称为亚声速流动状态，例如：当气流 Pe/Pt=1.0时，气体在喷管内的流速为0，也就是整个喷管内无流动，如图5-34线条a所示。在 Pe/ Pt＞P/Pt的出口处，随着 Pe/Pt值变小，喷管出口处气流速度会增加，因为喷管出口处的压力 Pe大于临界流动状态压力 P*，所以此时为亚声速流动状态，如图5-34中线条b和线条c所示。必须注意的是，如果 Pe/Pt的值越小，喷管出口处气体速度就越大，所以线条c比线条b的气体在喷管出口处的速度要大。而在亚声速流动状态下，喷管出口后的外界压力会与喷管出口处的压力相等，也就是 Pe=Pb。

② 临界流动状态。随着 Pe/Pt继续减少，喷管内气体的流速不断增加。当 Pe/Pt减少到P*/Pt时，气体在喷管出口处的速度会达到声速，也就是喷管出口处速度的马赫数等于1.0，此时喷管内的质量流率为最大质量流率，Pe=Pb，而气体在该状态称为临界流动状态。当喷管出口处 Ma= 1.0，也就是 Pe/Pt=P */Pt时，如果Pb＜Pe，则气体在喷管内并未达到完全膨胀（Complete expansion），于是气体在喷管出口产生膨胀波，通过膨胀波，气体压力才会和外界压力相等，这种流动状态通常称为欠膨胀流动状态（Under expansion flow state）。

【例5-14】

如图5-35 所示，渐缩喷管外接一个高压储气箱且储气箱内空气的压力为2.5×105 pa，密度为2.64 kg/m3，温度为300 K，出口面积为20 cm2，喷管出口外界压力（背压）Pb为105 Pa，在此假设等熵指数γ=1.4，请问

图5-35 渐缩喷管外接高压储气箱

（1）气体在喷管出口处的速度能否达到声速？

（2）气体在喷管出口处的声速值与喷管内的质量流率是多少？

（3）气体在喷管出口外的速度能否超过声速？

【解答】

3．超声速喷管内气体的流动状态

如果要使管道内的气流达到超声速，必须使用收敛-扩张型喷管，因此收敛-扩张型喷管又称为超声速喷管。在工程上，收敛-扩张型喷口在超声速和超高声速风洞以及超声速飞机和火箭的发动机中得到广泛应用。实验发现，虽然收敛-扩张型喷管可以使喷管出口处达到超声速，但是是否能够实现还必须视喷管出口处压力 Pe与总压 Pt的比值而定。

（1）收敛-扩张型喷管的实验说明。如图5-36所示收敛-扩张型喷管实验的示意图，喷管外接一个高压储气箱，储气箱中气体的压力、温度和密度即为气体在收敛-扩张型喷管中流动时的停滞压力 Pt、停滞温度Tt和停滞密度 ρt。在此定义气体在喷管出口处的压力与喷管出口后的外界压力分别为 Pe和 Pb，而喷管喉道处的压力为 P*。

图5-36 收敛-扩张型喷管实验

从实验中发现，气体在喷管内的流动状态会随着 Pe/Pt与 Pb/Pt值的降低而发生改变，其可以分成亚声速流动、临界流动、过度膨胀流动、完全膨胀流动与欠膨胀流动五种类型，如图5-37所示。

图5-37 收敛-扩张型喷管内流动状态类型

（2）参考压力的选取。

和亚声速喷管（渐缩喷管）判定喷管内气体的流动状态一样，如果想判定超声速喷管（收敛-扩张型喷管）内气体的流动状态，首先必须找出判定流动状态所需的参考压力，不同的是超声速喷管必须选取两个参考压力：一个是临界流动状态时的出口压力 Pe临界；另一个则是设计压力P设计。

① 临界流动状态时出口压力的定义。在超声速喷管内的流动状态中，气体在喷管喉道处的速度首先达到声速，称为气体的临界流动状态，此时对应的喷管出口压力称为临界流动状态出口压力，用符号 Pe临界表示。当喷管内的 Pe/Pt值从1.0降到 Pe临界/Pt值时，如果 Pe/Pt值继续降低，喷管内的气体质量流率会保持在最大质量流率max的状态，这种现象称为阻塞。

② 设计压力的定义。所谓设计压力是指气体在超声速喷管出口处的速度开始保持在超声速的出口压力，用符号P设计表示，也就是超声速喷管开始正常工作时的出口压力。

判定超声速喷管内气体的流动状态时，必须以临界流动状态出口压力 Pe临界和设计压力P设计为参考，并以 Pe/Pt或 Pb/Pt的值为判定依据。

（3）流动状态类型的区分与特点。研究指出，气流在超声速喷管中的状态，可以分成亚声速流动、临界流动、过度膨胀流动、完全膨胀流动与欠膨胀流动五种。

① 亚声速流动状态。当气流在超声速喷管出口处的压力 Pe与总压 Pt之比 Pe/Pt=1.0时，气体在管内的流速为0，也就是整个喷管内无流动，如图5-38中线条a所示。当喷管出口处的压力 Pe大于 Pe临界时，随着 Pe/Pt值变小，喷管出口处气体的速度增加。当气体在喷管内的Pe/Pt值在 1.0～Pe临界/Pt时，气体在超声速喷管中的流速均为亚声速，如图5-37 中线条b所示。所以 Pe/Pt值在 1.0～Pe临界/Pt的流动状态称为亚声速流动状态，且喷管出口后的外界压力 Pb会与喷管出口处的压力 Pe相等，也就是 Pe=Pb。

② 临界流动状态。当气流在超声速喷管开始到达声速，也就是在喷管喉道的压力开始达到 P*时的状态称为气体的临界流动状态，如图5-37中线条c所示。此时对应的出口压力为临界流动状态出口压力 Pe临界。此流动状态下气体在喷管内的质量流率是喷管内能达到的最大值max。

③ 过度膨胀流动状态。当喷管出口处的压力 Pe与总压 Pt之比在 Pe临界/Pt～ P设计/Pt时，气流会在适当的位置产生一道正激波，如图5-37 中线条d、e和f所示，而线条g因为无适当位置所以会产生一系列激波，直到出口处的压力Pe等于Pb为止。这种气体的流动状态称为过度膨胀流动状态（Upper expansion flow state）。

④ 完全膨胀流动状态：当喷管出口处的压力 Pe与总压 Pt之比 Pe/Pt=P设计/Pt时，气流在喷管出口处达到完全膨胀，气流的 Ma＞ 1.0，也就是气体在喷管出口处的流动速度为超声速。因此对应的流动状态称为完全膨胀流动状态（Fully expanded flow state）。

⑤ 欠膨胀流动状态。当 Pe/Pt=P设计/Pt时，如果 Pb＜Pe，则气体在喷管内并未达成完全膨胀（Complete expansion），气体在喷管出口处会产生膨胀波，气流通过膨胀波后，压力才会和外界压力 Pb相等，所以这种流动状态通常称为欠膨胀流动状态（Under expansion flow state），且气流通过膨胀波，流速还会增加。

【例5-15】

如图5-38 所示，收敛-扩张型喷管外接一个高压储气箱且储气箱内空气的压力为 2.5×105 pa，密度为2.64 kg/m3，温度为300 K，如果气体在喷管出口处的流动速度为超声速，问气体在喷管喉道的马赫数与压力值是多少？假设等熵指数γ=1.4。

图5-38 收敛-扩张型喷管外接高压储气箱

【解答】

（1）因为气体在喷管出口处的流动速度为超声速，所以喷管喉道的马赫数 Ma= 1.0。

（2）因为气体在喷管喉道的马赫数为 1.0，对于等熵指数γ=1.4的空气，气体在喷管喉道的压力 P*= 0.528 3Pt=0.528 3× 2.5×105=1.320 75×105 (pa)。

课后练习

（1）什么是马赫数？什么是飞行马赫数？什么是局部马赫数？

（2）以相同的速度飞行时，飞机的飞行高度和温度对飞行马赫数有何影响？

（3）空气的压缩性与马赫数的大小有什么关系？

（4）在扰动传递过程中，亚声速气流与超声速气流之间的最大差异是什么？

（5）试述膨胀波的形成原因与气流流经膨胀波前后性质的变化情形。

（6）试述普朗特-迈耶角ν(Ma)的定义是什么？

（7）试述普朗特-迈耶角ν(Ma)计算公式的不适用范围在哪里？

（8）如果超声速气流通过膨胀波区，起始气流Ma1=2，最终气流 Ma2=2.1，等熵指数γ= 1.4，问气流偏折角 Δθ 是多少？

（9）试述激波的形成原因以及气流流经激波前后性质的变化情形。

（10）超声速飞机发动机内压缩机组件中的叶栅剖面，其中有一段设计成内凹的弯曲壁面形式，其原因为何？

（11）什么是激波角？激波角的范围如何？激波的强度与激波角的关系如何？

（12）马赫角的大小与马赫数的关系如何？

（13）脱体激波的形成原因是什么？

（14）超声速飞机的机头与机翼设计成尖头薄翼的原因是什么？

（15）如图5-39 所示，如果超声速气流流经有限角度δ的内凹壁面时，如果 Ma1=2.0，δ= 10°，问激波角、波后马赫数以及激波前后压力比、温度比和总压比是多少？

图5-39 斜激波前后流动性质

（16）在研究超声速气流通过斜激波的过程时可以假设它为等熵过程吗？请论述其原因。

（17）在研究超声速气流通过斜激波的过程时可以假设它为绝热过程吗？请论述其原因。

（18）如图5-40 所示，如果超声速气流流经有限角度δ的内凹壁面时形成了斜激波，问斜激波前的总压力Pt1是否等于波后的总压力Pt2？请论述其原因。

图5-40 斜激波前后总压变化

（19）超声速气流通过弱斜激波时，马赫数的变化规律是什么？

（20）超声速气流通过强斜激波时，马赫数的变化规律是什么？

（21）临界马赫数的意义如何？

（22）现代高亚声速飞机的飞行速度必须低于临界马赫数的原因是什么？

（23）现代高亚声速飞机提高临界马赫数，从而增加飞机飞行速度的原理是什么？

（24）飞机飞行的速度区间划分原则是什么？

（25）在飞机飞行速度区间的划分中，跨声速流的速度区间大约是多少？请论述为什么飞机无法在跨声速流的速度区间内持续飞行。

（26）高亚声速飞机延迟临界马赫数的方法是什么？

（27）声爆现象对地面造成影响的强度与飞行高度和飞行马赫数的关系如何？

（28）声爆云是否总是伴随着声爆现象产生？

（29）声爆云是否只有在飞机做超声速飞行时才会产生？

（30）飞机的头部激波（脱体激波）是怎样产生的？

（31）发动机的喷管要产生超声速气流必须使用细腰喷管的原因是什么？

（32）当气体流经管道，亚声速流和超声速流在管道内的流速变化与管道截面面积变化之间的关系如何？

（33）如果气体在发动机喷管内产生超声速，其在喷管喉道的速度是多少？

（34）如图5-41所示，渐缩喷管外接高压储气箱，储气箱内空气的压力为1.65×105 Pa，喷管出口外界压力（背压） Pb为105 Pa，假设等熵指数γ=1.4，在喷管出口处的速度能否达到声速？

图5-41 渐缩喷管接高压储气箱之流及参数

（35）如图5-42 所示，收敛-扩张型喷管外接高压储气箱且储气箱内空气的压力为 2.5×105 Pa，密度为2.64 kg/m3，温度为300 K，如果气体在喷管喉道处的压力值为1.6×105 Pa，空气在喷管内的流动是何种状态？

图5-42 收敛-扩张型喷管接高压储箱之流场参数

（36）如图5-42所示，收敛-扩张型喷管外接一个高压储气箱且储气箱内空气的压力为2.5×105 Pa，密度为2.64 kg/m3，温度为300 K，如果气体在喷管喉道处的压力值为1.320 75×105 Pa，空气在喷管内流动时是否会发生阻塞条件？