c*与用拉普拉斯变换法分析连续系统的暂态响应相似，用Z变换法分析离散系统的暂态响应，根据闭环脉冲传递函数和输入信号，求出离散系统输出信号c*。例8-14 二阶系统如图8-21所示，求单位阶跃响应。，于是得离散时间c*-t图如8-22所示：1.闭环零、极点分布与暂态响应的一般关系离散系统的单位阶跃响应：图8-22例8-14二阶系统离散时间2.极点λi在z平面不同位置时的暂态响应情况极点λi在z平面不同位置时的暂态响应如图8-23所示。......
2023-06-28
离散系统稳定性分析
【摘要】：②K=5时，z2+1.792z+0.368=0解得z1=-0.237，z2=-1.555因为z2在单位圆外，所以系统是不稳定的。双线性变换，同时有分析离散系统的稳定性时，先令，代入离散系统的特征方程进行ω变换，再用劳斯判据判其稳定性。例8-16 设离散控制系统的方框图如图8-28所示。比较加采样开关前后系统的稳定性可知，采样开关的引入会使系统的稳定性变坏。
1.线性离散系统稳定的充要条件
闭环离散系统稳定的充要条件是闭环极点均在z平面上的单位圆内，即｜λi｜＜1。
2.s平面与z平面的映射关系
设 s=σ+jω 则z=eTs=eσT·ejωT
当σ=0，s=jω，z=1·ejωT
即s平面的虚轴映射为z平面上为以原点为圆心的单位圆周，为临界稳定区域。当σ＜0时，
，即左半s平面映射为z平面上单位圆内域，为稳定区域。如图8-26所示。
图8-26 s平面与z平面的映射关系
例8-15 如图8-27所示系统中，设采样周期T=1秒，试分析当K=4和K=5时系统的稳定性。
图8-27 例8-15系统结构图
开环脉冲传函为
闭环脉冲传函为
系统的闭环特征方程为
(z-1)(z-e-T)+Kz(1-e-T)=0
①K=4时，z2+1.16z+0.368=0
解得z1=-0.580+j0.178，z2=-0.580-j0.178
因为z在单位圆内，所以系统是稳定的。
②K=5时，z2+1.792z+0.368=0
解得z1=-0.237，z2=-1.555
因为z2在单位圆外，所以系统是不稳定的。
3.劳斯稳定判据在离散系统中的应用
离散系统不能直接使用劳斯稳定判据。需要采用ω变换，或称双线性变换，将z平面上单位圆周映射到新坐标系中的虚轴。
双线性变换
，同时有
分析离散系统的稳定性时，先令
，代入离散系统的特征方程进行ω变换，再用劳斯判据判其稳定性。
例8-16 设离散控制系统的方框图如图8-28所示。采样周期T=0.1s，试求使系统稳定的K的取值范围。
图8-28 例8-16离散控制系统的方框图
解：开环脉冲传递函数为
将T=0.1s代入上式可得
系统的闭环脉冲传递函数为 
系统的特征方程为1+G（z）=0，将G（z）代入上式，整理得
z2+(0.632K-1.386)z+0.368=0
令
，代入上式得
化简后得0.632Kω2+1.264ω+（2.736-0.632K）=0
根据上式写出劳斯表为
要使系统稳定，劳斯表中第一列各项系数均要大于零。即2.736-0.632K＞0所以0＜K＜4.32，使系统稳定K的取值范围为0～4.32。
比较加采样开关前后系统的稳定性可知，采样开关的引入会使系统的稳定性变坏。
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