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2023-06-23
MATLAB在非线性系统分析中的优越应用
【摘要】：本节主要讨论MATLAB在描述函数法分析中的应用。振荡频率与振荡幅值如图7-42可知分别为（方法二）线性部分的频率特性为具有死区继电特性的描述函数及相对描述函数：在程序文件方式下执行以下MATLAB程序OK1.m，在同一复平面上绘制非线性特性的相对负倒描述函数与线性部分的Nyquist曲线。非线性系统自激振荡时有运行以下程序，由，求自激振荡的振幅X。
本节主要讨论MATLAB在描述函数法分析中的应用。
例7-12 已知具有死区继电特性的非线性控制系统如图7-41所示，其中继电特性参数为M=1.7，死区特性参数为Δ=0.7，应用描述函数法作系统分析系统是否存在自激振荡？若有自激振荡，须求出自激振荡的振幅x与角频率ω。
图7-41 具有死区继电特性的非线性控制系统结构图
解：（方法一）
（1）带死区的继电型非线性环节的描述函数为
其负倒数函数为
当X为变量，由Δ开始增加时，
曲线从负无穷处出发沿负实轴增加，相角始终为-π，所以
曲线位于平面G0（jω）的负实轴上，幅值大小
随着X的增加先减后增，在X增加到
时，有极大值。
作
曲线。
（2）在图上作G（jω）曲线，当ω=140时，G（jω）曲线穿过实轴。
（3）当M=1.7，Δ=0.7时，
曲线的端点值为
因此，曲线与
在1.56e-jπ处两次相交，两次相交的X值分别为
具有死区继电特性非线性系统的G（jω）曲线和
曲线关系如图7-42所示。
图7-42 具有死区继电特性非线性系统的G（jω）曲线和
曲线
对于A点邻域，被G（jω）曲线包围的段上，X是增幅的；不被G（jω）曲线包围的段上，X是减幅的。因此在A点邻域，扰动作用使得系统的运动脱离A点，而在B点邻域两边的运动，基于奈氏稳定性判据而形成自激振荡。振荡频率与振荡幅值如图7-42可知分别为
（方法二）
（1）线性部分的频率特性为
（2）具有死区继电特性的描述函数及相对描述函数：
（3）在程序文件方式下执行以下MATLAB程序OK1.m，在同一复平面上绘制非线性特性的相对负倒描述函数与线性部分的Nyquist曲线。
运行该程序，在同一复平面上绘制非线性特性的相对负倒描述函数与线性部分的Nyquist曲线如图7-43所示。
图7-43 相对负倒描述函数与Nyquist曲线
由于具有死区继电特性的描述函数是自激振荡振幅X的实函数，其相对负倒描述函数也是自激振荡振幅X的实函数，其虚部为零，曲线在负实轴上，与系统线性部分Nyquist曲线的交点也在横坐标上。
（4）利用交点在横坐标上，其虚部为零，求交点的角频率ω与交点的
。
分母有理化后，运行以下程序，由上式分子虚部为零求交点的角频率ω。
symswn;
n=simple(j*(1-0.01*j*w)*(1-0.005*j*w))
运行结果为
n=i+3/200*w-1/20000*i*w^2
交点虚部为零，运行以下程序求交点的角频率ω。
[w]=solve(‘1-1/20000*w^2=0’)
程序运行结果：
w=[100*2^(1/2)]
[-100*2^(1/2)]
即交点的角频率ω=141.4rad/s。
运行以下程序，将ω=141.4rad/s代入线性部分的频率特性计算交点的K0G（j141.4）。
程序运行结果：
A=3.7271
即交点的
（5）在此应用相对描述函数的概念。非线性系统自激振荡时有
运行以下程序，由
，求自激振荡的振幅X。
程序运行结果：x=
可见方法一与方法二所得结果非常接近。
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