下面对这些评价理论和方法作一扼要介绍。效用理论就是用数学方法描述效用和效用函数的关系，并根据评价者给定的效用值的大小进行方案评价。......
2023-07-15
非线性系统相平面分析：理论及方法
【摘要】：应用线性系统相平面分析的方法和结论，绘出各区域的相轨迹。例7-8 设一阶非线性系统的微分方程为试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。图7-37系统相平面图例7-10 具有饱和非线性特性的控制系统如图7-38所示，试用相平面法分析系统的阶跃响应。
1.非线性系统的相平面分析法的一般步骤
（1）根据非线性特性的分段情况，用几条分界线将相划分为几个现行区域。
（3）应用线性系统相平面分析的方法和结论，绘出各区域的相轨迹。
（4）根据系统状态变化的连续性，在各区域的交界线上，将相轨迹彼此衔接成连续曲线，即构成完整的线性系统相平面图。
（5）根据所得的非线性微分方程的相轨迹讨论系统的稳定性与稳态误差。
2.分析中的关键术语
（1）开关线或转换线：将各线性区域的分界线称为开关线。
（2）转换点：在开关线上相轨迹发生改变的点。
（3）实奇点：每个区域内有一个奇点，如果这个奇点在本区域之内，这种奇点称实奇点。
（4）虚奇点：如果奇点落在本区域之外，称为虚奇点。
表明该区域相轨迹不可能汇集于虚奇点。二阶非线性系统中，只可能有一个实奇点，而与这个实奇点所在区域邻接的所有其他区域都可能有虚奇点。
例7-8 设一阶非线性系统的微分方程为
试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。
解：令
=0得
-x+x3=x(x2-1)=x(x-1)(x+1)=0
系统平衡状态
xe=0,-1,+1
式中，xe=0：稳定的平衡状态；
xe=-1，+1：不稳定平衡状态。
计算列表7-5，画出相轨迹如图7-35所示。
图7-35 系统的相轨迹
表7-5
可见，当
时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当
时，系统发散；x（0）＜-1时，x（t）→-∞；x（0）＞1时，x（t）→∞。
注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个
～x平面上任意分布。
例7-9 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
解：（1）系统方程为
令
，得平衡点：xe=0。
系统特征方程及特征根：
计算列表7-6。
表7-6
用等倾斜线法绘制系统相平面图如图7-36所示。
图7-36 例7-9系统相平面图
（2）系统方程为
由式①得：
式③代入②得：
得平衡点：xe=0
由式④得特征方程及特征根为
画相轨迹，由④式得
计算列表7-7。
表7-7
用等倾斜线法绘制系统相平面图如图7-37所示。
图7-37 系统相平面图
例7-10 具有饱和非线性特性的控制系统如图7-38所示，试用相平面法分析系统的阶跃响应。
解：非线性特性的数学表达式为
线性部分的微分方程式为
考虑到r-c=e，上式又可以写成
输入信号为阶跃函数，在t＞0时有，
，因此有
根据已知的非线性特性，系统可分为三个线性区域。
Ⅰ区：系统的微分方程为
按前面确定奇点的方法，可知系统在该区有一个奇点（0，0），奇点的类型为稳定焦点。图7-38（a）为Ⅰ区的相轨迹，它们是一簇趋向于原点的螺旋线。
Ⅱ区：系统的微分方程为
设一般情况下，初始条件为e（0）=e0，
则上式的解为
对上式求一次导数，得
故当初始条件e′0=-KM时，相轨迹方程为e′=-KM。
当e′0≠-KM时，相轨迹方程为
由此可作出该区的相轨迹，如图7-38（b）所示，相轨迹渐进于直线
=-KM。
Ⅲ区：此时系统的微分方程为
将Ⅱ区相轨迹方程中的KM改变符号，即得Ⅲ区的相轨迹方程
该区的相轨迹如图7-38（b）所示。
将以上各区的相轨迹连接起来，便是系统的整个相平面图，如图解7-38（c）所示。
假使系统原来处于静止状态，则在阶跃输入作用时，相轨迹的起始点应为e（0）=R，
（0）=0。此时的系统的相平面图如图7-38（d）所示。由图可知，系统在阶跃输入作用时，系统是稳定的，其稳态误差为零。动态过程具有衰减振荡性质，最大超调量可从图中量得。
图7-38 非线性系统的相平面图
例7-11 含有继电特性的非线性控制系统结构如图7-39所示，系统可采用下面的一组方程来描述。
图7-39 含有继电特性的非线性控制系统
当研究系统的自由运动时，r=0，注意到e=-c，
，可以把非线性系统转变为按输出c来分段，则上述方程组可改写为
设：K=0.1，e0=20，m=0.5，M0=380，T=0.5。
我们在（c-
）相平面上画相轨迹，如图7-40所示。
图7-40 相平面图（m=0.5）
下面讨论系统的几个主要参数对系统运动的影响。
（1）继电特性的回差（数值m）对系统运动的影响。
继电特性的m值可以取-1到+1间任何一个数值。
m值的减小使相轨迹从相平面的一个区域转换到另一区域的时间后移，转换时的速度（
）的绝对值增大，加剧了运动的振荡过程。在某一m值下，相平面图上会出现一个稳定的极限环，系统的运动最后成为稳定的等幅振荡。在这种情况，系统不能正常工作。
（2）线性部分的时间常数和传递系数对系统运动的影响。
在相平面的Ⅰ区，相轨迹是直线，其斜率为-1/T。当T增加时，斜率的绝对值减小，相轨迹变平。这将会加剧运动的振荡过程。K的增大使在Ⅱ，Ⅲ区的相轨迹的渐近线离相平面的横轴越远。这样，当相轨迹从相平面的一个区域转移到另一个区域时有较大的速度（
）的绝对值增大。所以，K的增大会加剧运动的振荡过程。
综上所述，相平面法一般可解决下列问题：
（1）相平面上可以清晰地表示出系统在各种初始条件下的所有可能的运动；
（2）相平面上可用奇点来分析系统的稳定性；
（3）相平面上可用极限环来分析系统的自振稳定性；
（4）由相轨迹可以求出系统的瞬态响应。
上面介绍的相平面分析法原则上仅适用于二阶系统。但是，相平面分析法的概念可以扩展到高阶系统中去。对三阶系统，在三维空间内图解作图比较困难，而当阶数高于三阶时，绘出描述运动的相轨迹是不可能的。现代控制理论的状态空间分析法适用于在n维空间内对系统进行动态分析和综合，它是相平面法的推广。
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