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2025-09-29
奇点与奇线：探寻物理中的巨大奥秘
【摘要】：这种情况下的奇点称为稳定节点。图7-34中心点以上二阶非线性系统的相轨迹结论列于表7-3，供分析时参考。表7-3二阶非线性系统的相轨迹2.奇线奇线是特殊的相轨迹，表示系统的平衡位置不是一点，而是一个区域，究竟在该区域的哪一点平衡，则由初始条件决定。系统的运动最终会趋向于极限环内的奇点，或远离极限环。
1.奇点
相平面上同时满足
=0和f（x，
）=0的点称为奇点。通过奇点的相轨迹的斜率是不定的，因为
在图形上则表现为有多条相轨迹通过该点，或相轨迹趋近或离开该点。
当f（x，
）=0时，必有
=0，在奇点处
=0，
=0，所以奇点是系统的平衡点，并且奇点都在x轴上。
下面讨论系统的奇点在相平面原点上的情况，为不失一般性，如果奇点不在原点，则可利用坐标轴的平移，把原点定在奇点上。以二阶线性定常系统为例进行讨论。
设描述二阶线性定常系统自由运动的特征方程式为
当阻尼比为不同的取值范围，奇点的性质与名称以及相轨迹的走向分别如下。
（1）稳定焦点
当0＜ζ＜1，式（7-20）的特征方程有一对共轭复根，位于复平面的左半平面上，根的分布、相平面图和典型的自由运动解分别如图7-29（a）、（b）、（c）所示，系统的自由运动为收敛于平衡点的周期性衰减振荡。这种情况下的奇点称为稳定焦点。
图7-29 稳定焦点
（2）不稳定焦点
当-1＜ζ＜0，式（7-20）的特征方程有一对位于复平面右半平面的共轭复根，根的分布、相平面图和典型的自由运动解分别如图7-30（a）、（b）、（c）所示，相轨迹曲线都是从原点向外发散的，自由运动呈周期地发散振荡。这种情况下的奇点称为不稳定焦点。
图7-30 不稳定焦点
（3）稳定节点
当ζ＞1，式（7-20）的特征方程有两个负的实根，根的分布、相平面图和典型的自由运动解分别如图7-31（a）、（b）、（c）所示，系统的自由运动是非周期性地趋向于平衡点。这种情况下的奇点称为稳定节点。
图7-31 稳定节点
（4）不稳定节点
当ζ＜-1时，式（7-20）的特征方程有两个位于正实轴的根，根的分布、相平面图和典型的自由运动解分别如图7-32（a）、（b）、（c）所示，相轨迹曲线都是从原点向外发散的，系统的自由运动是背离平衡点向外发散的，这种情况下的奇点称为不稳定节点。
(https://www.chuimin.cn)
图7-32 不稳定节点
（5）鞍点
当描述系统自由运动的特征方程式为
此时，特征方程有两个实根，一个在正实轴上，另一个在负实轴上，根的分布、相平面图和典型的自由运动解分别如图7-33（a）、（b）、（c）所示，这种情况下的奇点称为鞍点。
图7-33 鞍点
（6）中心点
当ζ=0，式（7-20）的特征方程有一对共轭虚根，根的分布、相平面图和典型的自由运动解分别如图7-34（a）、（b）、（c）所示。系统的自由运动为不衰减的正弦振荡，相平面图是一簇围绕着原点的椭圆。这种情况下的奇点称为中心点。
图7-34 中心点
以上二阶非线性系统的相轨迹结论列于表7-3，供分析时参考。
表7-3 二阶非线性系统的相轨迹
2.奇线
奇线是特殊的相轨迹，表示系统的平衡位置不是一点，而是一个区域，究竟在该区域的哪一点平衡，则由初始条件决定。最常见的奇线是极限环，非线性系统产生自激振荡，则在相平面上表现为有一个稳定的极限环。极限环是一条封闭的相轨迹，它附近的相轨迹都渐近地趋向它或从它离开。
极限环分为稳定极限环、不稳定极限环和半稳定极限环。
（1）稳定极限环。如果由极限环外部和内部起始的相轨迹都趋向于这个极限环，任何较小的扰动使系统离极限环后，最后相轨迹仍然回到这个环上，这样的极限环叫作稳定极限环。
（2）不稳定极限环。如果由极限环外部和内部起始的相轨迹都从极限环发散出去，任何较小的扰动使系统离开极限环后，系统状态将远离极限环或趋向平衡点，这样的极限环称为不稳定极限环。具有不稳定极限环的系统，其平衡点是小范围内稳定而大范围内是不稳定的。
（3）半稳定极限环。如果有极限环外部起始的相轨迹渐近地趋向于极限环，由内部起始的相轨迹从极限环发散出去；或者由外部起始的相轨迹从极限环发散出去，由内部起始的相轨迹渐近地趋向于极限环，这样的极限环称为半稳定极限环，具有这种极限环的系统不会产生自振荡。系统的运动最终会趋向于极限环内的奇点，或远离极限环。
非线性控制系统可能没有极限环，也可能有一个极限环或数个极限环。现将二阶系统的各类极限环列于表7-4，供分析时参考。
表7-4 二阶非线性系统的几种极限环
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