系统的闭环特征方程为取其模值得模值方程为取其相角得相角方程为模值方程和相角方程成为根轨迹方程，从这两个方程可以看出，模值方程与增益K*有关，而相角方程与增益K*无关。所以，相角方程式决定闭环根轨迹的充分必要条件，而模值方程主要用来确定根轨迹上各点对应的开环增益值。，sn为闭环极点，在根轨迹图中用Δ表示。......
2025-09-29
绘制相轨迹的方法
【摘要】：常用相轨迹的绘制方法主要有解析法、图解法和实验法。解析法是先求微分方程的解，然后再绘制相轨迹的方法，如例7-6的解法。图解法是一种不必求出微分方程的解，而是通过某种逐步作图的顺序，直接在相平面上画出相轨迹的方法。利用等倾线分布图绘制相轨迹。在每条等倾斜线上画出相应的a值短线，所有短线的总体就形成了相轨迹的切线方向场。对照图7-28和图7-27可见，相轨迹是个圆，和解析法得到的结果一样。图7-28例7-7系统相轨迹
常用相轨迹的绘制方法主要有解析法、图解法和实验法。解析法是先求微分方程的解，然后再绘制相轨迹的方法，如例7-6的解法。本节着重介绍应用图解法绘制相轨迹。图解法是一种不必求出微分方程的解，而是通过某种逐步作图的顺序，直接在相平面上画出相轨迹的方法。当微分方程用解析法求解比较复杂、困难甚至不可能时，对于非线性系统，图解法尤为重要。图解法有等倾线法、圆弧近似法（δ法）多种，本节仅介绍等倾线法。等倾线法的基本思想是：先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线方向场，如果我们能用简便的方法确定出相平面中任意一点相轨迹的斜率，则该点附近的相轨迹便可用过这点的相轨迹切线来近似。然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。
由于
则，
式中，d
/dx表示相平面上相轨迹点（x（t），
（t））切线的斜率，若取斜率为常数，则该式可改写成
该式称为相轨迹的等倾线方程。对于相平面上满足上式的各点，经过它们的相轨迹的斜率都等于a，若将这些具有相同斜率的点连成一线，则此线称为相轨迹的等倾线。
利用等倾线法绘制相轨迹的一般步骤如下。
（1）由给定系统求出式
的等倾线方程。
（2）根据等倾线方程在相平面上画出等倾线分布图，给定不同的a值，尽可能多地在相平面上画出不同的等倾线。一般地，等倾线的条数愈多，作图精度愈高。
（3）在每条等倾线上标明其对应的a值切线方向场。
（4）利用等倾线分布图绘制相轨迹。即从初始点出发，沿着“切线方向场”各点切线方向将这些短线段用光滑的曲线连接起来，便得到系统的一条相轨迹。(https://www.chuimin.cn)
下面通过具体例子说明如何用等倾斜线法绘制相轨迹。
例7-7 利用等倾斜线法绘制例7-6系统的相轨迹。
解：已知系统的微分方程
=-x。
由式（7-8）可以写出该系统的相轨迹方程为
令
，则等倾线方程为
显然，等倾线是通过相平面坐标原点的直线，其斜率为
而a是相轨迹通过等倾线时切线的斜率。令a为不同的值，就可以求出不同的β值，见表7-2。
表7-2 β与a的关系值表
据此可以绘出具有不同斜率的一簇等倾斜线，见图7-28。在每条等倾斜线上画出相应的a值短线，所有短线的总体就形成了相轨迹的切线方向场。假设初始条件为x（0）=x0，x（0）=0，则可以从起点（x0，0）出发，沿方向场绘制出系统的相轨迹。对照图7-28和图7-27可见，相轨迹是个圆，和解析法得到的结果一样。
图7-28 例7-7系统相轨迹
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