规则2：根轨迹的对称性。会合角是指根轨迹进入会合点处的切线与实轴正方向的夹角。规则8：根轨迹的起始角与终止角。终止角的计算公式如下：如图4-7所示，z1点的终止角计算式为图4-7根轨迹的终止角规则9：根轨迹与虚轴交点及临界根轨迹增益。设根轨迹上的一点sk确定，则可根据模值方程求出对应的K*和K。例4-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数，试绘制K从0→∞变化时闭环的根轨迹图。......
2023-06-28
绘制相轨迹的方法
【摘要】：常用相轨迹的绘制方法主要有解析法、图解法和实验法。解析法是先求微分方程的解，然后再绘制相轨迹的方法，如例7-6的解法。图解法是一种不必求出微分方程的解，而是通过某种逐步作图的顺序，直接在相平面上画出相轨迹的方法。利用等倾线分布图绘制相轨迹。在每条等倾斜线上画出相应的a值短线，所有短线的总体就形成了相轨迹的切线方向场。对照图7-28和图7-27可见，相轨迹是个圆，和解析法得到的结果一样。图7-28例7-7系统相轨迹
常用相轨迹的绘制方法主要有解析法、图解法和实验法。解析法是先求微分方程的解，然后再绘制相轨迹的方法，如例7-6的解法。本节着重介绍应用图解法绘制相轨迹。图解法是一种不必求出微分方程的解，而是通过某种逐步作图的顺序，直接在相平面上画出相轨迹的方法。当微分方程用解析法求解比较复杂、困难甚至不可能时，对于非线性系统，图解法尤为重要。图解法有等倾线法、圆弧近似法（δ法）多种，本节仅介绍等倾线法。等倾线法的基本思想是：先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线方向场，如果我们能用简便的方法确定出相平面中任意一点相轨迹的斜率，则该点附近的相轨迹便可用过这点的相轨迹切线来近似。然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。
由于
则，
式中，d
/dx表示相平面上相轨迹点（x（t），
（t））切线的斜率，若取斜率为常数，则该式可改写成
该式称为相轨迹的等倾线方程。对于相平面上满足上式的各点，经过它们的相轨迹的斜率都等于a，若将这些具有相同斜率的点连成一线，则此线称为相轨迹的等倾线。
利用等倾线法绘制相轨迹的一般步骤如下。
（1）由给定系统求出式
的等倾线方程。
（2）根据等倾线方程在相平面上画出等倾线分布图，给定不同的a值，尽可能多地在相平面上画出不同的等倾线。一般地，等倾线的条数愈多，作图精度愈高。
（3）在每条等倾线上标明其对应的a值切线方向场。
（4）利用等倾线分布图绘制相轨迹。即从初始点出发，沿着“切线方向场”各点切线方向将这些短线段用光滑的曲线连接起来，便得到系统的一条相轨迹。
下面通过具体例子说明如何用等倾斜线法绘制相轨迹。
例7-7 利用等倾斜线法绘制例7-6系统的相轨迹。
解：已知系统的微分方程
=-x。
由式（7-8）可以写出该系统的相轨迹方程为
令
，则等倾线方程为
显然，等倾线是通过相平面坐标原点的直线，其斜率为
而a是相轨迹通过等倾线时切线的斜率。令a为不同的值，就可以求出不同的β值，见表7-2。
表7-2 β与a的关系值表
据此可以绘出具有不同斜率的一簇等倾斜线，见图7-28。在每条等倾斜线上画出相应的a值短线，所有短线的总体就形成了相轨迹的切线方向场。假设初始条件为x（0）=x0，x（0）=0，则可以从起点（x0，0）出发，沿方向场绘制出系统的相轨迹。对照图7-28和图7-27可见，相轨迹是个圆，和解析法得到的结果一样。
图7-28 例7-7系统相轨迹
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