相平面与相轨迹的基本概念

2023-06-28 理论教育版权反馈

【摘要】：相平面上的状态点随时间变化描绘出来的曲线称为相轨迹。由此，在相平面上将布满与不同的初始条件相对应的一簇相轨迹。相平面图直观地表明一阶或二阶系统在各初始条件下的运动过程。相平面法与描述函数法不同，描述函数法实质是令系统线性部分不动，而将其非线性部分线性化。为了便于理解相平面及相轨迹等概念，下面举例说明。图7-27例7-6系统的相平面图该图为具有不同起始点一簇同圆心的相轨迹。

二阶时不变系统（可以是线性的，也可以是非线性的）一般可用下列常微分方程描述：

式中，f（x， pagenumber_ebook=221,pagenumber_book=210 ）是x（t）和（t）的解析函数。方程式（7-17）的解既可以用x（t）与t的关系曲线表示，也可以将时间t作为参变量，用（t）和x（t）的关系曲线来表示。现以x（t）为横坐标，（t）为纵坐标而组成的直角坐标平面称为相平面，这时系统在某一时刻t的状态就可以用相平面上的一个点（x， pagenumber_ebook=221,pagenumber_book=210 ）来描述。t=0的初始条件为x（0）、（0），其对应于相平面的一个初始点。状态随时间的转移对应于相平面上状态点的移动。相平面上的状态点随时间变化描绘出来的曲线称为相轨迹。对于不同的初始条件，根据解的存在与唯一性定理，微分方程必有不同的解与之一一对应。由此，在相平面上将布满与不同的初始条件相对应的一簇相轨迹。由这样一簇相轨迹所组成的相平面图像叫相平面图。相平面图直观地表明一阶或二阶系统在各初始条件下的运动过程。相平面法与描述函数法不同，描述函数法实质是令系统线性部分不动，而将其非线性部分线性化。相平面法是令系统非线性部分原封不动，而将高阶系统线性部分简化为二阶。所以上述两种方法各有侧重，互补长短，若同时用两种方法分析一个系统，则分析结果更加全面。对于二阶系统而言，它的某一状态都对应于相平面上的一个点，系统运动可以在相平面上表示出来。系统状态随时间的改变对应于相平面上点的移动。根据绘制出的x- pagenumber_ebook=221,pagenumber_book=210 相轨迹图，研究非线性系统的稳定性和动态性能。