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2023-06-24
探讨典型非线性描述函数
【摘要】：下面计算几种典型非线性特性的描述函数。当非线性环节中不包含储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位差与ω无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。所以3.饱和特性的描述函数当输入为x=Asinωt，且A大于线性区宽度a时，饱和特性的输出波形如图7-13所示。图7-18两个非线性环节串联等效图例7-2 求如图7-19所示两个非线性特性串联后总的描述函数N。表7-1典型非线性特性的描述函数续表
描述函数可以从定义式（7-8）出发求得，一般步骤是：
（1）首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入作用下的输出波形，并写出输出波形y（t）的数学表达式；
（2）利用傅氏级数求出y（t）的基波分量；
（3）将求得的基波分量代入定义式（7-8），即得N（A）。
下面计算几种典型非线性特性的描述函数。
①理想继电器特性的描述函数
当输入为x（t）=Asinωt时，理想继电器特性的输出波形如图7-11所示。
图7-11 理想继电器输入输出波形图
输出y（t）的傅立叶（Fourier）级数形式：
由于输出周期方波信号是奇函数，则傅氏级数中的直流分量与基波偶函数分量的系数为零A0=A1=0，而基波奇函数分量的系数为
所以，基波分量为
由公式（7-8）得理想继电器特性的描述函数：
即N（A）的相位角为零度，幅值是输入正弦信号A的函数。一般情况下，描述函数是输入信号幅值A和频率ω的函数。当非线性环节中不包含储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位差与ω无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量，若非线性环节的正弦响应为关于t的奇对称函数，即
2.滞环特性的描述函数
当输入为x（t）=Asinωt时，滞环特性的输出波形如图7-12所示。
图7-12 滞环特性输入输出波形图
因为y（t）关于原点对称的，则有A0=0。
所以
3.饱和特性的描述函数
当输入为x（t）=Asinωt，且A大于线性区宽度a时，饱和特性的输出波形如图7-13所示。
当输入为正弦信号，输出信号为
图7-13 饱和非线性特性输入输出波形图
显然其输出信号y（t）是单值奇对称，因此A0=A1=0，而
式中，ψ1=arcsin（a/A）
由公式（7-8）可得饱和特性的描述函数为
由上式可见，饱和特性的N（A）也是输入正弦信号幅值A的函数。这说明饱和特性等效于一个变系数的比例环节，当A＞a时，比例系数总小于k。
4.继电器特性的描述函数
当输入为x（t）=Asinωt，继电器特性的输出波形如图7-14所示。
图7-14 继电器特性的输入输出波形图
所以y（t）关于原点对称的，则有A0=0，
5.组合非线性特性的描述函数
以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线性特性，完全可以利用这种方法求出其描述函数，但计算也复杂得多。此时也可以将复杂的非线性特性分解为若干个简单非线性特性的组合，即串并联，再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线性特性的描述函数。
（1）非线性特性的并联计算
设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是单值函数，即它们的描述函数都是实数，如图7-15所示。
图7-15 两个非线性环节并联
当输入为x（t）=Asinωt时，则两个环节输出的基波分量分别为输入信号乘以各自的描述函数，即
y11(t)=N1Asinωt
y21(t)=N2Asinωt
总输出为
y1(t)=(N1+N2)Asinωt
故总的描述函数为
由此可见，若干个非线性环节并联后的总的描述函数，等于各非线性环节描述函数之和。当N1和N2是复数时，该结论仍成立。
例7-1 图7-16为一个具有死区的非线性环节，求描述函数N（A）。
图7-16 例7-1具有死区的非线性特性
解：由图7-17可见，该死区非线性特性可分解为一个死区继电器特性和一个典型死区特性的并联，其描述函数为
图7-17 例7-1具有死区的非线性特性的并联分解图
（2）非线性特性的串联计算
若两个非线性环节串联，如图7-18所示，其总的描述函数不等于两个非线性环节描述函数的乘积，必须首先求出这两个非线性环节串联后等效的非线性特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。
图7-18 两个非线性环节串联等效图
例7-2 求如图7-19所示两个非线性特性串联后总的描述函数N（A）。
解：这是一个死区特性和一个饱和特性相串联。根据各串联环节输入输出之间的关系，可以等效为一个死区加饱和的非线性特性。
为求得这个等效非线性特性的描述函数，又可将其分解为两个具有完全相同线性区斜率k=2和不同死区宽度死区特性的并联相减，如图7-19所示，故总的描述函数为
图7-19 例题7-2两个非线性特性串联图
表7-1列出了常见的非线性系统特性及其描述函数N（A），供分析时参考。理想继电特性、死区继电特性、饱和特性、死区特性最好能记住！
表7-1 典型非线性特性的描述函数
续表
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